2010年深圳市高三年级第一次调研考试理科数学(含答案)

绝密★启用前

试卷类型:A

2010 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否正确;之后 务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号,同时,将 监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、不污损。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上。不按要求填涂的,答案无效。 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答。漏涂、错涂、多涂的答 案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回。 参考公式: 圆锥的侧面积 S ? ? rl ,其中 r 是圆锥的底面半径, l 是圆锥母线长. 圆柱的的侧面积 S ? 2? rl ,其中 r 是圆柱的底面半径, l 是圆柱母线长.

2010.3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,有且只 有一项是符合题目要求的.
1.设 a ? R ,若(a ? i)2 i ( i 为虚数单位)为正实数,则 a ? A.2 B.1 C.0 D. ?1

2.设集合 M ? {x | x ? 1 ? 2} , N ? {x | x( x ? 3) ? 0} ,那么“ a ? M ”是“ a ? N ”的 A.必要而不充分条件 C.充分必要条件 B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

3.如图 1,一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一个正 三角形构成的相同的图形, 俯视图是一个半径为 3 的圆 (包括圆心) 则 . 该组合体的表面积等于 A. 15? B. 18? C. 21? D. 24?
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正视图、侧视图

2 3
?

俯视图

图1

4.曲线 y ? sin x , y ? cos x 与直线 x ? 0 , x ? A. ? 2 (sin x ? cos x)dx
0

?
2

所围成的平面区域的面积为 B. 2? 4 (sin x ? cos x)dx
0

?

?

C. ? 2 (cos x ? sin x)dx
0

?

D. 2? 4 (cos x ? sin x)dx
0

?

5.已知函数 f ( x)? x ? 2x , g( x)? x ? ln x , h( x)? x ? x ? 1 的零点分别为 x1, 2, 3 ,则 x1, 2, 3 的大小关 x x x x 系是 A. x1 ? x2 ? x3 C. x1 ? x3 ? x2 B. x2 ? x1 ? x3 D. x3 ? x2 ? x1

6.若曲线 C : x2 ? y 2 ? 2ax ? 4ay ? 5a2 ? 4 ? 0 上所有的点均在第二象限内,则 a 的取值范围为
? A.(??, 2)
? C.(1, ?)

? B.(??, 1)
? D.(2, ?)

7.已知三个正态分布密度函数 ?i ( x) ?
i ? 1, , )的图象如图 2 所示,则 2 3

1 2?? i

?

( x ? ?i )2 2? i2

e

y



x?R



y ? ?1 ( x) y ? ? 2 ( x) y ? ? 3 ( x)

A. ?1 ? ?2 ? ?3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3 B. ?1 ? ?2 ? ?3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3 C. ?1 ? ?2 ? ?3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3 D. ?1 ? ?2 ? ?3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3

O


x

2

8.设 a1 , a 2 ,?, a n 是 1,2,?, n 的一个排列,把排在 a i 的左边且比 a i 小的数的个数称为 a i 的顺序 .. .
2 ? n .如在排列 6,4,5,3,2,1 中,5 的顺序数为 1,3 的顺序数为 0.则在 1 至 8 数( i ? 1, , , )

这八个数字构成的全排列中,同时满足 8 的顺序数为 2,7 的顺序数为 3,5 的顺序数为 3 的不同排列 的种数为 A.48 B.96 C.144 D.192

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)
9.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S9 ? 81 ,则 a2 ? a5 ? a8 ? ________ . 10.已知(1 ? 2x)4 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ,则 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 4a4 =__________. 11.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? 12 x 的焦点重合,则 m ? ____________. m 3

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12.若不等式 | x ? 1| ? | x ? 3| ? a ? ____________ .

4 对任意的实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 a
开始
输入m , n

13.图 3 中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除
m ? 2010 , n ? 1541 ,则输出 m ?

法 .若输 入

___ .

(注:框图中的的赋值符号“=”也可以写成“←”或
求m除以n的余数r

“:=”)

m?n

n?r
r ?0?




输出m

结束
图3

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)
14. (坐标系与参数方程选做题)

在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 x ? 2t ? 1 , (参数 t ? R ) ,以直角坐标原点为极 y ? 4 ? 2t . 点, x 轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系.在此极坐标系中,若圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos? , 则圆心 C 到直线 l 的距离为_________. 15. (几何证明选讲选做题) 如图 4,已知 PA 是⊙ O 的切线, A 是切点,直线 PO 交⊙ O 于 B 、C 两点,
A D

?

D 是 OC 的 中 点 , 连 结 AD 并 延 长 交 ⊙ O 于 点 E . 若 PA ? 2 3 ,
?APB ? 30? ,则 AE =__________.
P B
O
?

C

E


4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x)? 2sin(ωx ? )sin(ωx ? )(其中 ? 为正常数, x ? R )的最小正周期为 ? . 6 3 (1)求 ? 的值; (2)在△ ABC 中,若 A ? B ,且 f ( A) ? f ( B) ?

?

?

BC 1 ,求 . AB 2
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17. (本小题满分 12 分) 如图 5,已知直角梯形 ACDE 所在的平面垂直于平面 ABC ,?BAC ? ?ACD ? 90? ,?EAC ? 60? ,
AB ? AC ? AE .

E

D

(1)在直线 BC 上是否存在一点 P ,使得 DP // 平面 EAB ?请证明你 的结论; (2)求平面 EBD 与平面 ABC 所成的锐二面角 ? 的余弦值.

A B
图5

C

18. (本小题满分 14 分)
( 已知 f ( x)是二次函数, f ? x)是它的导函数,且对任意的 x ? R , f ? x)? f ( x ? 1)? x2 恒成立. (

(1)求 f ( x)的解析表达式; (2) t ? 0 , 设 曲线 C :y ? f ( x)在点 P(t , f (t ))处的切线为 l ,l 与坐标轴围成的三角形面积为 S(t ). 求
S(t )的最小值.

19. (本小题满分 14 分) 某投资公司在 2010 年年初准备将 1000 万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择: 项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利 30% ,也可能亏损 15% , 7 2 且这两种情况发生的概率分别为 和 ; 9 9 项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利 50% ,可能亏损 30% ,也 1 3 1 可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为 、 和 . 5 3 15 (1)针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由; (2) 若市场预期不变, 该投资公司按照你选择的项目长期投资 (每一年的利润和本金继续用作投资) , 问大约在哪一年的年底总资产(利润+本金)可以翻一番? (参考数据: lg 2 ? 0.3010 , lg3 ? 0.4771 )

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20. (本小题满分 14 分) 已知 A 、 B 分别是直线 y ? 点. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;
3 3 x和y?? x 上的两个动点,线段 AB 的长为 2 3 , P 是 AB 的中 3 3

?? ??? ? ? (2) 过点 Q(1 , 0) 作直线 l(与 x 轴不垂直) 与轨迹 C 交于 M 、N 两点, y 轴交于点 R . R ?M 与 若M ? Q ???? ???? RN ? ? NQ ,证明: ? ? ? 为定值.



21. (本小题满分 14 分) 在单调递增数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且 a2n?1 , a n , a n1 成等差数列, a2n , a2n ?1 , a2 n ? 2 成等比数 2 2 ? 列, n ? 1 , 2 , 3 , ? . (1)分别计算 a 3 , a 5 和 a 4 , a 6 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式(将 a n 用 n 表示) ; 1 4n (3)设数列 { } 的前 n 项和为 S n ,证明: Sn ? , n ? N* . an n?2

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说明: 1、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制订相应的评分细则. 2、对于计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的 错误,就不再给分. 3、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 D 5 A 6 D 7 D 8 C

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题)
9. 27 . 10. -8 . 11. 6 . 12.

(?? , 0) ? {2}



13.

67 .

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)
14.

2



15.

10 7 7



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 sin( ωx ? (1)求 ? 的值; (2)在△ ABC 中,若 A ? B ,且 f ( A) ? f ( B ) ? 解: (1)∵ f ( x ) ? 2 sin(ωx ?

? ? ) sin( ωx ? ) (其中 ? 为正常数, x ? R )的最小正周期为 ? . 6 3
BC 1 ,求 . 2 AB

? ? ? ? ?? ? ) sin(ωx ? ) ? 2 sin(ωx ? ) cos?(ωx ? ) ? ? 6 3 6 3 2? ?
???????????4 分

? ? ? ? 2 sin( ωx ? ) cos( ωx ? ) ? sin( 2ωx ? ) . 6 6 3
而 f (x) 的最小正周期为 ? , ? 为正常数,

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2? ? ?, 2ω 解之,得 ? ? 1 . ?????????6 分 ? (2)由(1)得 f ( x ) ? sin( 2 x ? ) . 3 若 x 是三角形的内角,则 0 ? x ? ? , ? ? 5? ∴ ? ? 2x ? ? . 3 3 3 1 ? 1 令 f ( x) ? ,得 sin( 2 x ? ) ? , 3 2 2 ? ? ? 5? ∴ 2x ? ? 或 2x ? ? , 3 6 3 6 ? 7? 解之,得 x ? 或 x ? . 12 4
∴ 由已知, A , B 是△ ABC 的内角, A ? B 且 f ( A) ? f ( B ) ?

1 , 2
??????????10 分

? 7? ,B ? ,∴ C ? ? ? A ? B ? 4 12 ? sin BC sin A 4 ? 又由正弦定理,得 ? ? AB sin C sin ? 6
∴A? 识,以及运算求解能力. 17. (本小题满分 12 分)

? . 6 2 2 ? 2. 1 2

??????????12 分

说明:本题主要考查三角变换、诱导公式、三角函数的周期性、特殊角的三角函数值、正弦定理等基础知

? ? 如图 5, 已知直角梯形 ACDE 所在的平面垂直于平面 ABC , BAC ? ?ACD ? 90? , EAC ? 60? ,
AB ? AC ? AE .
(1)在直线 BC 上是否存在一点 P ,使得 DP // 平面 EAB ?请证明你的结论; (2)求平面 EBD 与平面 ABC 所成的锐二面角 ? 的余弦值. 解: (1)线段 BC 的中点就是满足条件的点 P . ??1 分 证明如下: 取 AB 的中点 F 连结 DP、PF、EF ,则

E

D

FP // AC , FP ?

1 AC , 2

???????2 分

取 AC 的中点 M ,连结 EM 、EC , ∵ AE ? AC 且 ?EAC ? 60? , ∴△ EAC 是正三角形,∴ EM ? AC . ∴四边形 EMCD 为矩形,

M
A

C

F
B

P

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∴ ED ? MC ?

1 AC .又∵ ED // AC ,???3 分 2

∴ ED // FP 且 ED ? FP , 四边形 EFPD 是平行四边形.????????4 分 ∴ DP // EF , 而 EF ? 平面 EAB , DP ? 平面 EAB , ∴ DP // 平面 EAB . ????????6 分

(2) (解法 1)过 B 作 AC 的平行线 l ,过 C 作 l 的垂线交 l 于 G ,连结 DG , ∵ ED // AC , ∴ ED // l ,

E

D

l 是平面 EBD 与平面 ABC 所成二面角的棱.??8 分
∵平面 EAC ? 平面 ABC , DC ? AC , ∴ DC ? 平面 ABC , 又∵ l ? 平面 ABC ,∴ l ? 平面 DGC , ∴ l ? DG ,

M
A

C

F
B

P

G

∴ ?DGC 是所求二面角的平面角.??????10 分 设 AB ? AC ? AE ? 2a ,则 CD ? ∴ GD ? GC2 ? CD2 ? 7a , ∴ cos? ? cos?DGC ?

3a , GC ? 2a ,

GC 2 7 . ? GD 7

?????????12 分

(解法 2)∵ ?BAC ? 90? ,平面 EACD ? 平面 ABC , ∴以点 A 为原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AC 为 y 轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,则 z 轴在平面

EACD 内(如图) .
设 AB ? AC ? AE ? 2a ,由已知,得 B(2a , 0 , 0) , E (0 , a , ∴ EB ? (2a , ? a , ? 3a) , ED ? (0 , a , 0) , 设平面 EBD 的法向量为 n ? ( x , y , z ) , 则 n ? EB 且 n ? ED , ∴?

3a) , D(0 , 2a , 3a) .
?????????8 分

z

E

D

?n ? EB ? 0 ,

?n ? ED ? 0 . ?2ax ? ay ? 3az ? 0 , ∴? ?ay ? 0 .

? 3 ?x ? z, 解之得 ? 2 ?y ? 0 . ?
取 z ? 2 ,得平面 EBD 的一个法向量为

M
A

C
y

F

P

x

B

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n ? ( 3 , 0 , 2) .
又∵平面 ABC 的一个法向量为 n? ? (0 , 0 , 1) .

??????????10 分

cos ? ? cos ? n , n? ? ?

3 ? 0 ? 0 ? 0 ? 2 ?1 ( 3 ) 2 ? 0 2 ? 2 2 ? 0 2 ? 0 2 ? 12

?

2 7 .?????????12 分 7

说明:本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系,二面角的概念、求法等知识,以及空间想 象能力和逻辑推理能力. 18. (本小题满分 14 分) 已知 f (x) 是二次函数, f ?(x) 是它的导函数,且对任意的 x ? R ,

f ?( x) ? f ( x ? 1) ? x 2
恒成立. (1)求 f (x) 的解析表达式; (2)设 t ? 0 ,曲线 C : y ? f (x) 在点 P(t , f (t )) 处的切线为 l , l 与坐标轴围成的三角形面积为

S (t ) .求 S (t ) 的最小值.
解: (1)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (其中 a ? 0 ) ,则 f ' ( x) ? 2ax ? b , ??????2 分

f ( x ? 1) ? a( x ? 1) 2 ? b( x ? 1) ? c ? ax2 ? (2a ? b) x ? a ? b ? c .
由已知,得 2ax ? b ? (a ? 1) x2 ? (2a ? b) x ? a ? b ? c ,

?a ? 1 ? 0 ? ∴ ?2a ? b ? 2a ,解之,得 a ? ?1 , b ? 0 , c ? 1 , ?a ? b ? c ? b ?
∴ f ( x) ? ? x ? 1 .
2

??????5 分

(2)由(1)得, P(t , 1 ? t 2 ) ,切线 l 的斜率 k ? f ' (t ) ? ?2t , ∴切线 l 的方程为 y ? (1 ? t ) ? ?2t ( x ? t ) ,即 y ? ?2tx ? t ? 1 .
2 2

??????7 分

从而 l 与 x 轴的交点为 A(

t ?1 , 0) , l 与 y 轴的交点为 B(0 , t 2 ? 1) , 2t
2

(t 2 ? 1) 2 ∴ S (t ) ? (其中 t ? 0 ) . 4t (t 2 ? 1)( 3t ? 1)( 3t ? 1) ∴ S ' (t ) ? . 4t 2 3 当0 ? t ? 时, S ' (t ) ? 0 , S (t ) 是减函数; 3 3 当t ? 时, S ' (t ) ? 0 , S (t ) 是增函数. 3 ? 3? 4 3 ? ∴ [ S (t )]min ? S ? ? 3 ?? 9 . ? ?
说明:本题主要考查二次函数的概念、导数的应用等知识,以及运算求解能力.

??????9 分 ??????11 分

??????13 分 ??????14 分

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19. (本小题满分 14 分) 某投资公司在 2010 年年初准备将 1000 万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择: 项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利 30% ,也可能亏损 15% ,且 这两种情况发生的概率分别为

7 2 和 ; 9 9 3 1 1 、 和 . 5 3 15

项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利 50% ,可能亏损 30% ,也可能 不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为

(1)针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由; (2) 若市场预期不变, 该投资公司按照你选择的项目长期投资 (每一年的利润和本金继续用作投资) , 问大约在哪一年的年底总资产(利润+本金)可以翻一番? (参考数据: lg 2 ? 0.3010 , lg3 ? 0.4771 ) 解: (1)若按“项目一”投资,设获利 ?1 万元,则 ?1 的分布列为

?1
P

300

?150

7 9

2 9
?????????2 分

7 2 ? E?1 ? 300 ? ? (?150) ? ? 200 (万元). 9 9
若按“项目二”投资,设获利 ?2 万元,则 ?2 的分布列为:

?2
P

500

?300

0

3 5

1 3

1 15

3 1 1 ? E? 2 ? 500 ? ? (?300) ? ? 0 ? ? 200 (万元). ?????????4 分 5 3 15 7 2 2 2 又 D?1 ? (300 ? 200) ? ? (?150 ? 200) ? ? 35000 , ?????????5 分 9 9 3 1 1 D? 2 ? (500 ? 200)2 ? ? (?300 ? 200)2 ? ? (0 ? 200)2 ? ? 140000 ,?????????6 分 5 3 15
所以 E?1 ? E?2 , D?1 ? D?2 , 这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥. 综上所述,建议该投资公司选择项目一投资. (2)假设 n 年后总资产可以翻一番,依题意: 1000(1 ? 两边取对数得: n ? ?????????8 分

200 n ) ? 2000 ,即1.2n ? 2 ,???10 分 1000

lg 2 0.3010 ? ? 3.8053 . 2lg 2 ? lg 3 ? 1 2 ? 0.3010 ? 0.4771 ? 1
?????????13 分

所以大约 4 年后,即在 2013 年底总资产可以翻一番.

答:建议该投资公司选择项目一投资;大约在 2013 年底,总资产可以翻一番.???????14 分

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说明:本题主要考查离散型随机变量的期望和方差、对数的运算等知识,以及运用这些知识解决实际问题 的能力. 20. (本小题满分 14 分) 已知 A 、 B 分别是直线 y ?

3 3 x和 y ? ? x 上的两个动点,线段 AB 的长为 2 3 , 3 3

P 是 AB 的中点.
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 Q(1 , 0) 作直线 l (与 x 轴不垂直)与轨迹 C 交于 M 、N 两点,与 y 轴交于点 R .若 ???? ? ???? ??? ? ? ???? RM ? ? MQ , RN ? ? NQ ,证明: ? ? ? 为定值. 解: (1)设 P( x , y ) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) .

x1 ? x2 ? ?x ? 2 , ? ∵ P 是线段 AB 的中点,∴ ? ? y ? y1 ? y2 . ? ? 2

??????????2 分

3 3 x和y?? x 上的点, 3 3 3 3 ∴ y1 ? x1 和 y2 ? ? x2 . 3 3 ? x1 ? x2 ? 2 3 y , ? ∴? 2 3 x. ? y1 ? y2 ? 3 ? ??? ? 2 2 又 AB ? 2 3 ,∴ ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 12 .
∵ A、B 分别是直线 y ? ∴ 12 y ?
2

??????????4 分

??????????5 分

4 2 x ? 12 , 3
??????????6 分

x2 ? y 2 ? 1. ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 9

(2)依题意,直线 l 的斜率存在,故可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) . ?????????7 分 设 M ( x3 , y3 ) 、 N ( x4 , y 4 ) 、 R(0 , y5 ) ,

? y ? k ( x ? 1) , ? 则 M 、N 两点坐标满足方程组 ? x 2 2 ? 9 ? y ? 1. ? 2 2 2 2 消去 y 并整理,得 (1 ? 9k ) x ?18k x ? 9k ? 9 ? 0 ,
∴ x3 ? x 4 ?

??????????9 分 ??????????10 分

18k 2 , ① 1 ? 9k 2

x3 x4 ?

9k 2 ? 9 . 1 ? 9k 2



∵ RM ? ? MQ ,∴ ( x3 , y3 ) ? (0 , y5 ) ? ??(1 , 0) ? ( x3 , y3 )? .

? x3 ? ?(1 ? x3 ) , ∴ x3 ? ?(1 ? x3 ) .∵ l 与 x 轴不垂直,∴ x3 ? 1 , ? y 3 ? y 5 ? ??y 3 . x3 x4 ∴? ? ,同理 ? ? . ??????????12 分 1 ? x3 1 ? x4
即?
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( x ? x ) ? 2 x3 x4 x3 x . ? 4 ? 3 4 1 ? x3 1 ? x4 1 ? ( x3 ? x4 ) ? x3 x4 9 将①②代入上式可得 ? ? ? ? ? . 4
∴? ? ? ?

??????????14 分

说明:本题主要考查直线与椭圆的的有关知识、求轨迹方程的方法,以及运算求解和推理论证能力. 21. (本小题满分 14 分) 在单调递增数列 {an } 中, a1 ? 1 , a 2 ? 2 ,且 a2n?1 , a2n , a2n?1 成等差数列, a2n , a2n?1 , a2n?2 成等 比数列, n ? 1 , 2 , 3 , ?.

a3 a5 a 4 a 6 和 的值; , , a1 a3 a2 a4 (2)求数列 {an } 的通项公式(将 an 用 n 表示) ; 4n 1 (3)设数列 { } 的前 n 项和为 S n ,证明: S n ? , n ? N* . n?2 an 9 解:解: (1)由已知,得 a3 ? 3 , a5 ? 6 , a4 ? , a6 ? 8 . ??????????2 分 2 2 1? 2 6 2?3 12 3 ? 4 ? (2) (证法 1) a1 ? ? , a3 ? ? , a5 ? ,……; 2 2 2 2 2 2
(1)分别计算

22 32 42 a2 ? , a4 ? , a6 ? ,……. 2 2 2
∴猜想 a2 n ?1

n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? , a2 n ? , n ? N* , 2 2

??????????4 分

以下用数学归纳法证明之. ①当 n ? 1 时, a2?1?1 ? a1 ? 1 , a2?1 ?

22 ? 2 ,猜想成立; 2
k (k ? 1) (k ? 1) 2 , a2 k ? , 2 2

②假设 n ? k (k ? 1, k ? N *) 时,猜想成立,即 a2 k ?1 ? 那么

a2( k ?1)?1 ? a2 k ?1 ? 2a2 k ? a2 k ?1 ? 2 ?
2 a2 k ?1 a2 k

a2( k ?1) ? a2 k ? 2 ?

(k ? 1)2 k (k ? 1) (k ? 1) ?(k ? 1) ? 1? , ? ? 2 2 2 2 ?(k ? 1)(k ? 2)? 2 (k ? 2) 2 ? (k ? 1) ? 1? 2 ? ? ? . 2 2 (k ? 1) 2 2
???????6 分

∴ n ? k ? 1 时,猜想也成立. 由①②,根据数学归纳法原理,对任意的 n ? N* ,猜想成立.

n ?1? n ?1 ? ? 1? ? 2 ? 2 ? ? (n ? 1)(n ? 3) ∴当 n 为奇数时, a n ? ; 2 8

2010 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)参考答案及评分标准

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?n ? ? ? 1? 2 ? 2 ? ? (n ? 2) . 当 n 为偶数时, a n ? 2 8 ? (n ? 1)(n ? 3) , n为奇数 ? ? 8 即数列 {an } 的通项公式为 a n ? ? . 2 ? (n ? 2) , n为偶数 ? 8 ? 7 ? (?1) n 1 2 1 (注:通项公式也可以写成 a n ? n ? n ? ) 8 2 16 a (证法 2)令 bn ? 2 n ?1 , n ? N* ,则 a 2 n ?1

2

????????9 分

2 a2 k ?1 ? a2 k ?1 a2 k ?3 2a2 k ? 2 ? a2 k ?1 a2k 2a bn?1 ? ? ? ? 2 k ?1 ? 1 a2 k ?1 a2 k ?1 a2 k ?1 a2k a 4 ? 2 k ?1 2a 2 k ?1 a 2 k ?1 4bn ? ?1 ? ?1 ? ?1 . a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 a 2 k ?1 1 ? bn 1? 2 a 2 k ?1 2(bn ? 1) (b ? 1) ? 2 1 1 1 ∴ bn ?1 ? 1 ? , . ? n ? ? 1 ? bn bn?1 ? 1 2(bn ? 1) 2 bn ? 1 1 1 1 1 1 从而 , ? ? (常数) n ? N* ,又 ? , bn?1 ? 1 bn ? 1 2 b1 ? 1 2 1 1 1 1 1 1 n 故{ } 是首项为 ,公差为 的等差数列,∴ ? ? (n ? 1) ? ? , 2 2 bn ? 1 bn ? 1 2 2 2 a n?2 n?2 解之,得 bn ? ,即 2 n ?1 ? , n ? N* . ??????????6 分 n a 2 n?1 n a a a a a ∴ a 2 n ?1 ? a1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? 2 n ?3 ? 2 n ?1 a1 a3 a5 a 2 n ?5 a 2 n ?3 3 4 5 n n ? 1 n(n ? 1) ? 1? ? ? ? ?? ? ? , 1 2 3 n ? 2 n ?1 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) ? a2 n?1 ? a2 n?1 (n ? 1) 2 2 2 从而 a2 n ? . (余同法 1)????????8 分 ? ? 2 2 2 a a (注:本小题解法中,也可以令 bn ? 2 n ? 2 ,或令 bn ? 2 n ,余下解法与法 2 类似) a2n a 2 n ?1 8 ? ? (n ? 1)(n ? 3) , n为奇数 1 ? (3) (法 1)由(2) ,得 . ?? an ? 8 , n为偶数 ? (n ? 2) 2 ? 1 4 4 ?1 显然, S1 ? ; ??????????10 分 ?1? ? a1 3 1? 2 当 n 为偶数时,

2?

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? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? S n ? 8? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ??? ? ? 4?6 6 6?8 8 n ? ( n ? 2) ( n ? 2) 2 ? ?2? 4 4 ?? 1 ? ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 1 ? 8?? ? ? ? ? ??? ??? ? ??? ? ? n ? ( n ? 2 ) n ( n ? 2) ? ? ? ? ?? ?? 2 ? 4 2 ? 4 ? ? 4 ? 6 4 ? 6 ? ? 6 ? 8 6 ? 8 ? ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 ? 8?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? n n ? 2 ?? ?? 2 4 ? ? 4 6 ? ? 6 8 ?

1 ? 4n ?1 ; ? 8? ? ?? ?2 n? 2? n? 2
当 n 为奇数( n ? 3 )时, S n ? S n ?1 ?

??????????12 分

1 4(n ? 1) 8 ? ? an (n ? 1) ? 2 (n ? 1)(n ? 3)

?

? n ?1 4n 2 n ? 4n 8 4n ? 4? ? ? ? ? n ? 2 ? (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ? n ? 2 . n?2 ? n ? 1 (n ? 1)(n ? 3) n ? 2 ? 4n 综上所述, S n ? , n ? N* . ??????????14 分 n?2 8 ? ? (n ? 1)(n ? 3) , n为奇数 1 ? (解法 2)由(2) ,得 . ?? an ? 8 , n为偶数 ? (n ? 2) 2 ? 4n 以下用数学归纳法证明 S n ? , n ? N* . n?2 1 4 4 ?1 ①当 n ? 1 时, S1 ? ; ?1? ? a1 3 1? 2 1 1 1 3 4? 2 当 n ? 2 时, S 2 ? .∴ n ? 1 , 2 时,不等式成立.??11 分 ? ? 1? ? ? 2 ? a1 a 2 2 2 2?2 4k ②假设 n ? k (k ? 2) 时,不等式成立,即 S k ? , k?2 那么,当 k 为奇数时, 1 4k 8 S k ?1 ? S k ? ? ? a k ?1 k ? 2 (k ? 3) 2
? k 4(k ? 1) 2 k ? 1 ? 4(k ? 1) 8 4(k ? 1) ? 4? ? ? ? ? ; ?? 2 2 k ?3 k ? 3? k ?3 (k ? 2)( k ? 3) (k ? 1) ? 2 ? k ? 2 (k ? 3) 当 k 为偶数时, 1 4k 8 S k ?1 ? S k ? ? ? a k ?1 k ? 2 (k ? 2)(k ? 4) ?

? k 4(k ? 1) 2 k ? 1 ? 4(k ? 1) 8 ? 4? ? ? ? ? k ? 3 ? (k ? 2)(k ? 3)(k ? 4) k ?3 ? k ? 2 (k ? 2)(k ? 4) k ? 3 ? 4(k ? 1) ? . (k ? 1) ? 2 ?
∴ n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①②,根据数学归纳法原理,对任意的 n ? N* ,不等式 S n ?

4n 成立.??14 分 n?2

说明:本题主要考查等差数列、等比数列、递推数列的有关概念,考查归纳推理、数学归纳法、分类讨论、
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不等式的放缩等重要数学思想方法,并对学生的创新意识、推理论证能力、运算求解能力进行了考查. 命题人:李志敏、康达军、姚亮 审题人:石永生

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