山东省济南市2013届高三一模文科数学试题

山东省济南市 2013 届高三高考模拟考试 文科数学试题
本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页. 考试时间 120 分 钟,满分 150 分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类 写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 用 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用 涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 1.锥体的体积公式: V ? 2.方差 s ?
2

1 3

S h ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高;

1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ], 其中 x 为 x1 , x 2 ,? , x n 的平均数. n

第 I 卷(选择题
是符合题目要求的.

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一项

1. 已知全集 U ? {0,1,2,3,4,5,6} ,集合 A ? {1, 2} , B ? {0,2,5} ,则集合 (CU A) ? B ? A.{3,4,6} B.{3,5} C.{0,5} D.{0,2,4}
开 始

2. 设复数 z ? (3 ? 4i )(1 ? 2i ) ( i 是虚数单位) ,则复数 z 的虚部为 A. ? 2 3. 若 a ? 3
0 .6

B. 2 , b ? log 3 0.2 , c ? 0.6 ,则
3

C. ? 2i

D. 2i

n=6, i=1

A. a ? c ? b C. c ? b ? a
2

B. a ? b ? c D. b ? c ? a

n 是奇数 是 n=3n-5 i=i+1

否 n n= 2

4. 设 x ? R ,则“ x ? 3 x ? 0 ”是“ x ? 4 ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

n=2 是 输出 i 结 束
第 5 题图



5. 若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 A.2 B.3 C.4 D.5 6. 已知两条直线 l1 : ( a ? 1) x ? 2 y ? 1 ? 0 ,

-1-

l2 : x ? ay ? 3 ? 0 平行,则 a ?
A.-1 C.0 或-2
2

B.2 D.-1 或 2

7. 若抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点在直线

x ? 2 y ? 2 ? 0 上,则该抛物线的准线方程为
A. x ? ?2 B. x ? 4 C. x ? ?8 D. y ? ?4

8. 等差数列 {a n } 中, a 2 ? a8 ? 4 ,则它的前 9 项和 S 9 ? A.9 B.18 C.36 D.72

9. 已知函数 f ( x ) ? 2 sin(?x ? A. [ k? ? C. [ k? ?

?
6

)(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则 f ( x ) 的单调递增区间
B. [ 2 k? ? D. [ k? ?

?

?

3

, k? ? , k? ?
1

?

5? ]( k ? Z ) 6 6 ]( k ? Z )

?
6

, 2 k? ?

?
3

]( k ? Z )

?

3

6

, k? ?

?
3

]( k ? Z )

10. 函数 y ? x ? x 3 的图象大致为

11. 一个几何体的三视图如右图所示,则它的体积为 A.

20 3

B.

40 3
6 x?

C. 20

D. 40

12. 若函数 f ( x ) ? 2 sin(

?

?
3

)( ?2 ? x ? 10 ) 的图象与 x 轴交于点
第 11 题图

A,过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B、C 两点,则

(OB ? OC ) ? OA ?
A.-32 B.-16 C.16 D.32

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 为了均衡教育资源,加大对偏远地区的教育投入,调查了某地若干户家庭的年收入 x(单 位:万元)和年教育支出 y(单位:万元) ,调查显示年收入 x 与年教育支出 y 具有线性

? 相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程: y ? 0.15 x ? 0.2 .由回归直线方程
可知,家庭年收入每增加 1 万元,年教育支出平均增加____________万元.

-2-

?x ? y ? 5 ? 0 ? 14. 已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 3 y 的最小值是 ?x ? 3 ?
15. 下列命题正确的序号为 . ①函数 y ? ln( 3 ? x ) 的定义域为 (?? ,3] ; ②定义在 [ a , b ] 上的偶函数 f ( x ) ? x ? ( a ? 5) x ? b 最小值为 5 ;
2

.

③若命题 p : 对 ?x ? R ,都有 x ? x ? 2 ? 0 ,则命题 ?p : ?x ? R ,有 x ? x ? 2 ? 0 ;
2 2

④若 a ? 0, b ? 0 , a ? b ? 4 ,则

1 1 ? 的最小值为 1 . a b

16. 若双曲线

x2 y2 ? ? 1 渐近线上的一个动点 P 总在平面区域 ( x ? m ) 2 ? y 2 ? 16 内,则实 9 16
.

数 m 的取值范围是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,边 a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,且满足 b cos C ? (3a ? c ) cos B . (1)求 cos B ; (2)若 BC ? BA ? 4 , b ? 4 2 ,求边 a , c 的值.

??? ??? ? ?

18. (本小题满分 12 分) 以下茎叶图记录了甲组 3 名同学寒假假期中去图书馆 A 学习 的次数和乙组 4 名同学寒假假期中去图书馆 B 学习的次数. 乙 组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 x 表示. (1)如果 x =7,求乙组同学去图书馆学习次数的平均数 和方差; (2)如果 x =9,从学习次数大于 8 的学生中选两名同学,求选 出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数 和大于 20 的概率.

甲组 9 1 2 0 1
第 18 题图

乙组 x 2 8 9

19. (本小题满分 12 分) 正项等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a4 ? 16 ,且 a 2 , a3 的等差中项为 S 2 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

n a 2 n ?1

,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

-3-

20. (本小题满分 12 分) 已知在如图的多面体中, AE ⊥底面 BEFC , AD // EF // BC ,
A
D

BE ? AD ? EF ?

1 2

BC , G 是 BC 的中点.
F

(1)求证: AB // 平面 DEG ; (2)求证: EG ? 平面 BDF .
B E
G

C

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

第 20 题图

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 和 F2,由 4 个点 M(-a,b)、N(a,b)、 a2 b2

F2 和 F1 组成了一个高为 3 ,面积为 3 3 的等腰梯形. (1)求椭圆的方程; (2)过点 F1 的直线和椭圆交于两点 A、B,求 ? F2AB 面积的最大值. 22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ( ax ? x ? 1)e ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R .
2 x

(1)若 a ? 1 ,求曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 a ? 0 ,求 f ( x ) 的单调区间; (3)若 a ? ?1 ,函数 f ( x ) 的图象与函数 g ( x ) ? 点,求实数 m 的取值范围.

1 3 1 2 x ? x ? m 的图象有 3 个不同的交 3 2

-4-

2013 年 3 月济南市高考模拟考试文科数学参考答案
1.C 2.B 3.A 4.B 5.C 6.D 7.A 8.B 9.D 10.A 11.B 12.D 13.0.15 14. ? 21 15.②③④ 16. ( ?? ,?5] ? [5,?? )

17. 解: (1)由正弦定理和 b cos C ? (3a ? c ) cos B ,得

sin B cos C ? (3sin A ? sin C ) cos B ,
化简,得 sin B cos C ? sin C cos B ? 3sin A cos B 即 sin B ? C) 3sin A cos B , ( ? 故 sin A ? 3sin A cos B .

…………………2 分

…………………4 分

3 ??? ??? ? ? (2)因为 BC ? BA ? 4 , 所以 BC ? BA ?| BC | ? | BA | ? cos B ? 4
??? ??? ? ? 所以 BC ? BA ? 12 ,即 ac ? 12 .
(1) …………………8 分

所以 cos B =

1

.

…………………6 分

又因为 cos B =

a2 ? c2 ? b2 2 ac
2

?

1 3

,

整理得, a ? c ? 40 .
2

(2)

…………………10 分

? a 2 ? c 2 ? 40 ?a ? 2 ?a ? 6 联立(1) (2) ? ,解得 ? 或? . ?c ? 6 ?c ? 2 ? ac ? 12

…………………12 分

18. 解(1)当 x=7 时,由茎叶图可知,乙组同学去图书馆学习次数是:7,8,9,12,所以平

7 ? 8 ? 9 ? 12 …………………3 分 ? 9; 4 1 7 2 2 2 2 2 方差为 s ? [( 7 ? 9) ? (8 ? 9) ? (9 ? 9) ? (12 ? 9) ] ? . ……………6 分 4 2
均数为 x ? (2)记甲组 3 名同学为 A1,A2,A3,他们去图书馆学习次数依次为 9,12,11;乙组 4 名同学为 B1,B2,B3,B4,他们去图书馆学习次数依次为 9,8,9,12;从学习次 数大于 8 的学生中人选两名学生,所有可能的结果有 15 个,它们是: A1A2,A1A3,A1B1,A1B3,A1B4,A2A3,A2B1,A2B3,A2B4,A3B1,A3B3,A3B4, B1 B3,B1B4,B3B4. …………………9 分

用 C 表示:“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于 20”这一事件, 则 C 中的结果有 5 个,它们是:A1B4,A2B4,A2B3,A2B1,A3B4, 故 选 出 的 两 名 同 学 恰 好 分 别 在 两 个 图 书 馆 学 习 且 学 习 的 次 数 和 大 于 20 概 率 为

-5-

P (C ) ?

5 1 ? . 15 3

…………………12 分

19. 解: (1)设等比数列 {an } 的公比为 q ( q ? 0) ,

? a1q 3 ? 16 ? a1 ? 2 ? 由题意,得 ? ,解得 ? . ? a1q ? a1q 2 ? 2 ( a1 ? a1q ) ?q ? 2 ?
所以 an ? 2 n . (2)因为 bn ? 所以 Tn ?

…………………4 分

…………………5 分

n a 2 n ?1

?

n 2
2 n ?1



…………………6 分

1 2 3 4 n ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? 2 n ?1 , 2 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n Tn ? ? 5 ? 7 ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 , 3 4 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1 n 所以 Tn ? ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 4 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 4 ? n ? 2 ? 4 ? 3n ? 2 1 2 2 n ?1 3 3 ? 2 2 n ?1 1? 4 8 16 ? 12 n 故 Tn ? ? . 9 9 ? 2 2 n ?1 20. 证明: (1)∵ AD / / EF , EF / / BC ,
∴ AD / / BC . ………………1 分

…………………8 分

…………………11 分

…………………12 分

又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD / / BG , ………………2 分

A

D

∴四边形 ADGB 是平行四边形,
F

∴ AB / / DG .

………………4 分
B

E
G C

∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG . ………5 分

(2)连结 GF ,四边形 ADFE 是矩形, ∵ DF // AE , AE ⊥底面 BEFC , ∴ DF ? 平面 BCFE , EG ? 平面 BCFE , ∴ DF ? EG .…………8 分 ∵ EF // BG , EF ? BE , ∴四边形 BGFE 为菱形,∴ BF ? EG , …………………11 分

又 BF I DF ? F , BF ? 平面 BFD , DF ? 平面 BFD , ∴ EG ? 平面 BDF .
-6-

…………………12 分

21. 解: (1)由条件,得 b= 3 ,且 所以 a+c=3.

2 a ? 2c 2

3 ?3 3,
…………………2 分

又 a ? c ? 3 ,解得 a=2,c=1.
2 2

所以椭圆的方程

x2 4

?

y2 3

? 1.

…………………4 分

(2) 显然, 直线的斜率不能为 0, 设直线方程为 x=my-1, 直线与椭圆交于 A(x1,y1), 2,y2). B(x

联立方程

? x2 y2 ?1 ? ? 3 ?4 ? x ? my ? 1 ?

,消去 x 得,

(3m 2 ? 4) y 2 ? 6 my ? 9 ? 0 ,

因为直线过椭圆内的点,无论 m 为何值,直线和椭圆总相交.

? y1 ? y 2 ?
S ?F2 AB =

6m 9 , y1 y 2 ? ? . 2 2 3m ? 4 3m ? 4

…………………6 分 ……………………8 分

1 2

F1 F2 y1 ? y 2 ? y1 ? y 2
m2 ? 1 ?4 (3m 2 ? 4 ) 2

? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 12

m2 ? 1 1 (m 2 ? 1 ? ) 2 3
…………………10 分

?4

1 2 1 m ?1? ? 3 9( m 2 ? 1)
2

,

令 t ? m ? 1 ? 1 ,设 y ? t ?
2

1 9t

,易知 t ? ( 0, ) 时,函数单调递减, t ? ( ,?? ) 函数单调

1

1

3

3

递增 所以 当 t= m ? 1 =1 即 m=0 时, y min ?
2

10 9
…………………12 分

S ?F2 AB 取最大值 3.
22. 解: (1)因为 f ( x ) ? ( x ? x ? 1)e ,
2 x

所以 f ?( x ) ? ( 2 x ? 1)e ? ( x ? x ? 1)e ? ( x ? 3 x )e ,
x
2 x 2 x

………………1 分 ………………2 分

所以曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 k ? f ?(1) ? 4e . 又因为 f (1) ? e , 所以所求切线方程为 y ? e ? 4e( x ? 1) ,即 4ex ? y ? 3e ? 0 .

………………3 分

-7-

(2) f ?( x ) ? ( 2 ax ? 1)e x ? ( ax 2 ? x ? 1)e x ? [ ax 2 ? ( 2 a ? 1) x ]e x ,

1 2a ? 1 时, f ?( x ) ? 0 ; ? a ? 0 ,当 x ? 0 或 x ? ? 2 a 2a ? 1 当0 ? x ? ? 时, f ?( x ) ? 0 . a 2a ? 1 所以 f ( x ) 的单调递减区间为 (?? ,0] , [ ? ,?? ) ; a 2a ? 1 单调递增区间为 [ 0,? …………………5 分 ]. a 1 1 ②若 a ? ? , f ?(x ) ? ? x 2 e x ? 0 ,所以 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ?? ,?? ) . 2 2
①若 ? …………………6 分 ③若 a ? ? 当?

2a ? 1 1 ,当 x ? ? 或 x ? 0 时, f ?( x ) ? 0 ; 2 a

2a ? 1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . a
2a ? 1 ] , [0, ?? ) ; a
…………………8 分
2 x

所以 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ?? ,? 单调递增区间为 [ ?

2a ? 1 ,0 ] . a

(3)由(2)知, f ( x ) ? ( ? x ? x ? 1)e 在 ( ?? ,?1] 上单调递减,在 [?1,0] 单调递增, 在 [0, ?? ) 上单调递减, 所以 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极小值 f ( ?1) ? ?

3 ,在 x ? 0 处取得极大值 f (0) ? ?1 . e
…………………10 分

由 g ( x) ?

1 3 1 2 x ? x ? m ,得 g ?( x ) ? x 2 ? x . 3 2

当 x ? ?1 或 x ? 0 时, g ?( x ) ? 0 ;当 ? 1 ? x ? 0 时, g ?( x ) ? 0 . 所以 g (x ) 在 ( ?? ,?1] 上单调递增,在 [?1,0] 单调递减,在 [0, ?? ) 上单调递增. 故 g (x ) 在 x ? ?1 处取得极大值 g ( ?1) ?

1 ? m ,在 x ? 0 处取得极小值 g (0) ? m . 6
…………………12 分

因为函数 f ( x ) 与函数 g (x ) 的图象有 3 个不同的交点,

? 3 1 ? f ( ?1) ? g ( ?1) 3 1 ?? ? ? m 所以 ? ,即 ? e 6 . 所以 ? ? ? m ? ?1 .…………14 分 e 6 ? f (0) ? g (0) ?? 1 ? m ?

-8-

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