2014年上海市学业水平考试高考数学试卷


2014 年上海市普通高中学业水平考试数学试卷
一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题.要求直接填写结果,每题填对得 3 分, 否则一律得 0 分. 1.若 4 ? 16 ,则 x =__________.
x

2.计算: i (1 ? i ) ? __________( i 为虚数单位). 3.1、1、2、2、5 这五个数的中位数是___________. 4.若函数 f ( x) ? x ? a 为奇函数,则实数 a ? __________.
3

5.点 O(0,0) 到直线 x ? y ? 4 ? 0 的距离是___________.

y?
6.函数

1 x ? 1 的反函数为_________________.

7.已知等差数列

{an } 的首项为 1,公差为 2,则该数列的前 n 项和 S n ? ____________.

cos ? ?
8.已知

1 3 ,则 cos 2? ? _______________.
?

9.已知 a, b ? R .若 a ? b ? 1 ,则 ab 的最大值是___________. 10. 在 10 件产品中有 3 件次品, 从中随机取出 5 件, 则恰含 1 件次品的概率是____________ (结果用数值表示). 11. 某货船在 O 处看灯塔 M 在北偏东 30 方向, 它以每小时 18 海里的速度向正北方向航行, 经过 40 分钟到达 B 处,看到灯塔 M 在北偏东 75 方向,此时货船到灯塔 M 的距离为 __________海里.
? ?

f ( x) ?
12.已知函数

x?2 x ? 1 与 g ( x) ? m x ? 1 ? m 的图象相交于 A 、 B 两点.若动点 P 满足

| PA ? PB |? 2 ,则 P 的轨迹方程是_______________________.
二、选择题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,每题有且只有一个正确答案.选对得 3 分,否则一律得 0 分. 13.两条异面直线所成角的范围是

(0, ) 2 (A) [0, ) 2 (C)

?

(0, ] 2 (B) [0, ] 2 (D)

?

?

?

14.复数 2 ? i ( i 为虚数单位)的共轭复数为 (A) 2 ? i (B) ? 2 ? i (C) ? 2 ? i (D)1 ? 2i

15.右图是下列函数中某个函数的部分图象,则该函数是 (A) y ? sin x (C) (B) y ? sin 2 x (D) y ? cos 2 x
2

y ? cos x
4

16.在 ( x ? 1) 的二项展开式中, x 项的系数为 (A)6 (B)4 (C)2 (D)1

17.下列函数中,在 R 上为增函数的是 (A) y ? x
2

(B) y ?| x |

(C) y ? sin x

(D) y ? x

3

cos? ? sin ? ? sin ? cos ? 18.
(A) cos 2? 19.设 (B) sin 2? (C)1 (D) ? 1

x0 为函数 f ( x) ? 2 x ? x ? 2 的零点,则 x0 ?
(B) (?1,0) (C) (0,1) (D) (1,2)

(A) (?2,?1)

20.若 a ? b , c ? R ,则下列不等式中恒成立的是

1 1 ? (A) a b

(B) a ? b
2

2

(C) a | c |? b | c |

a b ? 2 (D) c ? 1 c ? 1
2

21.若两个球的体积之比为 8:27,则这两个球的表面积之比为 (A)2:3 22.已知数列 (B)4:9 (C)8:27 (D) 2 2 : 3 3

{an } 是以 q 为公比的等比数列.若 bn ? ?2an ,则数列 {bn } 是
(B)以

(A)以 为公比的等比数列 (C)以 2q 为公比的等比数列

q

? q 为公比的等比数列

(D)以 ? 2q 为公比的等比数列

23.若点 P 的坐标为 ( a, b) ,曲线 C 的方程为 F ( x, y) ? 0 ,则“ F (a, b) ? 0 ”是“点 P 在 曲线 C 上”的 (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件

24.如图,在底面半径和高均为 1 的圆锥中, AB 、CD 是底面 圆 O 的两条相互垂直的直径, E 是母线 PB 的中点.已知过 CD 与 E 的平面与圆锥的侧面的交线是以 E 为顶点的抛物线的一部 分,则该抛物线的焦点到锥圆顶点 P 的距离为

(A)1

3 (B) 2

6 (C) 2

10 (D) 4

三、解答题(本大题满分 48 分)本大题共有 5 题.解答下列各题必须写出必要的步骤. 25. (本题满分 7 分)

x?2 ?0 已知不等式 x ? 1 的解集为 A ,函数 y ? lg( x ? 1) 的定义域为集合 B ,求 A ? B .

26. (本题满分 7 分)
2 已知函数 f ( x) ? x ? 4 x ? a , x ? [?3,3] .若 f (1) ? 2 ,求 y ? f ( x) 的最大值和最小值.

27. (本题满分 8 分)

1 如图,在体积为 3 的三棱锥 P ? ABC 中, PA 与平 ?BAC ?

?
2 ,E 、

面 ABC 垂直, AP ? AB ? 1 ,

F 分别是 PB 、AB 的中点.求异面直线 EF 与 PC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).

28. (本题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 9 分.

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 2 C a 已知椭圆 : 的左焦点为 F ,上顶点为 B .

(1)若直线 FB 的一个方向向量为 (2)若 a ? 数 k 的值.

(1,

3 ) 3 ,求实数 a 的值;

2 ,直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C 相交于 M 、 N 两点,且 FM ? FN ? 3 ,求实

29.(本题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 8 分.

x2 y2 ? ? 1(n ? N * ) {a } a ? 0 ,双曲线 C n : an an?1 已知数列 n 满足 n .
2c c ? 4n ? 1 ,求 {an } 的通项公式; C 若 a1 ? 1 , a 2 ? 2 ,双曲线 n 的焦距为 n , n
(2) 如图, 在双曲线 的渐近线于点

C n 的右支上取点 Pn ( x pn , n) , P y C 过 n 作 轴的垂线, 在第一象限内交 n
的面积为

OP 记 ?OPn Qn Qn , 边结 n ,
lim S n
.(关于极限的运算, , 则

S n .若

lim a n ? 2
n ??

, 求 n??
n ??

还可参考如下

性 质 : 若

lim u n ? A(u n ? 0)

lim u n ?
n ??

A

)

2014 上海数学学业考试题
30.(本题满分 8 分) 已知直角三角形 ABC 的两直角边 AC、BC 的边长分别为 b, a ,如图,过 AC 边的 n 等分点

Ai 作 AC 边的垂线 d i ,过 CB 边的 n 等分点 Bi 和顶点 A 作直线 li ,记 d i 与 li 的交点为 P i (i ? 1, 2, , n ?1) 。 Pi ( ? 1 , 2 , , 是否存在一条圆锥曲线, 对任意的正整数 n ? 2 , 点 i n 1 ) ?

都在这条曲线上?说明理由.
B ... Bi ... B2 B1 C

A

A1

A2

...

Ai

...

31.(本题满分 8 分) 某人造卫星在地球赤道平面绕地球飞行, 甲、 乙两个监测点分别位于赤道上东经 131?和 147 ?,在某时刻测得甲监测点到卫星的距离为 1537.45 千米,乙监测点到卫星的距离为 887.64 千米。假设地球赤道是一个半径为 6378 千米的圆,求此时卫星所在位置的高度(结果精确 到 0.01 千米)和经度(结果精确到 0.01?). 【720.54 千米】

32.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分。 如果存在非零常数 c,对于函数 y ? f ( x) 定义域 R 上的任意 x,都有 f ( x ? c) ? f ( x) 成立, 那么称函数为“Z 函数” . (1)求证:若 y ? f ( x)( x ? R) 是单调函数,则它是“Z 函数” ; (2)若函数 g ( x) ? ax ? bx 时“Z 函数” ,求实数 a , b 满足的条件.
3 2


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