吉林省延边二中2014-2015学年高二数学上学期期中试题 文


吉林省延边二中 2014-2015 学年高二数学上学期期中试题 文
(满分 140 分,其中附加题 20 分,时间 120 分钟) 一、选择题(每小题 4 分,共 48 分,每题只有一项是符合要求的) 1.若 p、q 是两个简单命题,“p 或 q”的否定是真命题,则必有( ) A.p 真 q 真 B.p 假 q 假 C.p 真 q 假 D.p 假 q 真 2.已知 ?ABC 满足: A.2

?B ?

?

3 , AB ? 3, AC ? 7 ,则 BC 的长(
C.1 或 2 D.无解



B.1

3. 在 ?ABC 中,若 a cos B ? b cos A ,则 ?ABC 的形状一定是( A.锐角三角形 C.直角三角形 B.钝角三角形 D.等腰三角形 ( )



4.如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是

1 1 ? A. a b

B. ab ? b

2

C. ?ab ? ?a

2

1 1 ?? b D. a ?

5.设 f(n)=2+24+27+210+?+23n+1(n∈N),则 f(n)等于 2 A. (8n-1) 7 -1) 2 B. (8n+1-1) 7 2 C. (8n+3-1) 7 D. 2 (8n + 4 7

6.目标函数 z ? 2 x ? y ,变量 x, y 满足 A.

?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

,则有(



z max ? 12, z min ? 3

B.

z max ? 12, z 无最小值

C. z min ? 3, z 无最大值

D. z 既无最大值,也无最小值

1 b ?1, 2? ,则不等式 x ? a 的解集为 7.若不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为
2

3 ?2 ? ? ? ??, 0 ? ? ? ? , ?? ? ? , ?? ? ? B. ?2 ? A. ? 3
8. 已知 2a ? 3b ? 4, 则 4 ? 8 的最小值为
a b

?3 ? ? , ?? ? ? C. ? 2

D.

? ??, 0 ? ? ? ?

2 ? , ?? ? ?3 ?

A. 2

B. 4

C. 8

D. 16
1

9. 设命题甲: | x ? 1|? 2 ,命题乙: x ? 3 ,则甲是乙的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

) .

10. 某观察站 C 与两灯塔 A 、 B 的距离分别为 a 米和 b 米,测得灯塔 A 在观察站 C 西偏北

60? ,灯塔 B 在观察站 C 北偏东 60? ,则两灯塔 A 、 B 间的距离为
A.

a 2 ? b2

B.

a2 ? b2 ? ab

C.

a2 ? b2 ? ab

D.

a 2 ? b 2 ? 3ab 米


11 等差数列 A. ?4

{an } 的公差为 2,且 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a2 等于(
B. ? 6 C. ?8 D. ?10

12. 如果数列

{an } 满足 a1 ? 1 ,当 n 为奇数时, an?1 ? 2an ;当 n 为偶数时, an?1 ? an ? 2 ,则下
( )

列结论成立的是 A. 该数列的奇数项成等比数列,偶数项成等差数列 B. 该数列的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列 C. 该数列的奇数项各项分别加 4 后构成等比数列 D.该数列的偶数项各项分别加 4 后构成等比数列

二、填空题 (每小题 4 分,共 16 分.将最简答案填在答题纸相应位置) 13.已知命题 p:不等式 x2+ x+1≤0 的解集为 R ,命题 q :不等式 x-2 ≤0 的解集为 x-1

{x|1<x≤2},则命题“p∨q”“p∧q”“?p”“?q”中真命题的个数有________个.

14.已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列,则其最大角的余弦值为________.

15. 已知数列{an}的前 n 项和是

Sn = n2 + n + 1, 则数列的通项 an=__

3 S 16. .△ABC 中,a、b、c 成等差数列,∠B=30°, ?ABC = 2 ,那么 b =

2

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分). 17. (本小题 10 分)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin B+ b bcos2A= 2a.(1)求 ;(2)若 c2=b2+ 3a2,求 B. a

18. (本小题 10 分)已知函数 f ( x ) = | x ? a | ? | x ? 2 | . (Ⅰ)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (Ⅱ) 若 f ( x ) ≤ | x ? 4 | 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围.

p : 1?
19. (本小题 12 分) 已知

x ?1 ≤2 ? q : x2 ? 2x ?1? m2 ≤ 0 ? m ? 0? 3 , ,若 p 是

?q

的必要而不充分条件,求实数 m 的取值范围.

20. (本小题 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn; 且向量

a ? (n, S n ), b ? (4, n ? 3) 共线.

1 } nan 的前 n 项和 Tn。 (1)求数列{an}的通项公式。 (2)求数列 {
21. (本小题 12 分)解关于 x 的不等式: ax ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 .
2

附加题(本小题 20 分)

3

4

吉林省延边二中 2014-2015 学年度第一学期期中考试 高 二 数 学(文)答案

三、解答题 17.解:解 (1)由正弦定理,得 asin B=bsin A, 又 asin Asin B+bcos2A= 2a, b 所以 bsin2A+bcos2A= 2a,即 b= 2a.所以 = 2. a (2)由余弦定理和 c2=b2+ 3a2, 又 0°<B<180°,得 cos B= (1+ 3)a . 2c

1 由(1)知 b2=2a2,故 c2=(2+ 3)a2.可得 cos2B= . 2 又 cos B>0,故 cos B= 2 ,又 0°<B<180°,所以 B=45°. 2

18、 【解析】(1)当 a ? ?3 时,

f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3

x?2 x?3 ? ? 2? x?3 ? ?? ?? ?? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 或 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 或 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3
? ?x x ? 1
(2)原命题 或

x?4

?
在 [1, 2] 上恒成立

? f ( x) ? x ? 4

? x ?a ?2? x ? 4? x

在 [1, 2] 上恒成立

? ?2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立

1 ? m ≤ x ≤1 ? m ? m ? 0? 19 答案:解:由 x ? 2 x ? 1 ? m ≤ 0 得 .
2 2

A ? x? R x ? ?m 1 x? 或 ?m 1m ?, 0 ? 所以“ q ” :

?

?.

5

1?


x ?1 ≤2 3 得 ?2 ≤ x ≤10 ,所以

B ? x? R x? ? “ p” :

?

1 0 x或 ? ? 2

?.

? ? 由 p 是 q 的必要而不充分条件知

?m ? 0, ? B ? A ? ?1 ? m ≥ ?2, ? 0 ? m≤3 ?1 ? m ≤ 10. ?
故 m 的取值范围为 0 ? m ≤ 3 .

20.解: (1)

? a ? (n, S n ), b ? (4, n ? 3) 共线,∴n(n+3)-4Sn=0,

? Sn ?

n(n ? 3) n ?1 ? a1 ? S1 ? 1,当 n ? 2时, a n ? S n ? S n ?1 ? , 又a1 ? 1 4 2 满足此式, n?2 2 ? a n ?1 ? a n ? 1 2 为常数,∴数列{an}为等差数列

? an ?

?Tn ?
(2)

1 1 1 1 1 1 1 1 2n 2 ? ??? ? 2(1 ? ) ? 2( ? ) ? ? ? 2( ? )? a1 2a2 nan 2 2 3 n n ? 1 n ? 1 =2- n ? 1 <2

21、解: (1)当 a=0 时,原不等式可化为-x+1<0,即 x>1;

1? ? ?x? ? a ? <0, (2)当 a≠0 时,原不等式可化为 a(x-1) ? 1? ? ?x? ? a ? >0, ①若 a<0,则原不等式可化为(x-1) ?
1 1 1 由于 a <0,则有 a <1,故解得 x< a 或 x>1;

6

当 a=0 时,解集为{x|x>1};

1 当 0<a<1 时,解集为{x|1<x< a };
当 a=1 时,解集为 ? ;

1 当 a>1 时,解集为{x| a <x<1}.
22. (1)解 ∵bn+2=-bn+1-bn, ∴b3=-b2-b1=-3b1=3, ∴b1=-1;(3 分) (2)证明 ∵bn+2=-bn+1-bn①, ∴bn+3=-bn+2-bn+1②, ②-①得 bn+3=bn,(5 分) ∴(bn+1bn+2bn+3+n+1)-(bnbn+1bn+2+n)=bn+1bn+2(bn+3-bn)+1=1 为常 数, ∴数列{bnbn+1bn+2+n}是等差数列.(7 分) (3)解 ∵Tn+1=Tn·bn+1=Tn-1bnbn+1=Tn-2bn-1bnbn+1=?=b1b2b3?bn+1 当 n≥2 时 Tn=b1b2b2?bn(*), 当 n=1 时,T1=b1 适合(*)式 ∴Tn=b1b2b3?bn(n∈N*).(9 分) 1 ∵b1=- ,b2=2b1=-1, 2 3 b3=-3b1= ,bn+3=bn, 2 1 1 ∴T1=b1=- ,T2=T1b2= , 2 2 3 3 T3=T2b3= ,T4=T3b4=T3b1= T1, 4 4

7

3 T5=T4b5=T2b3b4b5=T2b1b2b3= T2, 4 3 T6=T5b6=T3b4b5b6=T3b1b2b3= T3, 4 ?? T3n+1+T3n+2+T3n+3=T3n-2b3n-1b3nb3n+1+ T3n-1b3nb3n+1b3n+2+T3nb3n+1b3n+2b3n+3 =T3n-2b1b2b3+T3n-1b1b2b3+T3nb1b2b3 3 = (T3n-2+T3n-1+T3n), 4 ∴数列{T3n-2+T3n-1+T3n)(n∈N*)是等比数列, 3 3 首项 T1+T2+T3= 且公比 q= ,(12 分) 4 4 记 Sn=T1+T2+T3+?+Tn, ①当 n=3k(k∈N*)时, Sn=(T1+T2+T3)+(T4+T5+T6)?+(T3k-2+T3k-1+T3k) 3? ?3? ? ?1-? ?k? 4? ?4? ? ? ?3? ? = =3?1-? ?k?, 3 ? ?4? ? 1- 4 3 ∴ ≤Sn<3;(15 分) 4 ②当 n=3k-1(k∈N*)时 Sn=(T1+T2+T3)+(T4+T5+T6)+?+(T3k-2+T3k-1+T3k)-T3k

? ?3? ? ?3? =3?1-? ?k?-(b1b2b3)k=3-4·? ?k ? ?4? ? ?4?
∴0≤Sn<3;(16 分)

8


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