山东省淄博市2017届高三3月模拟考试数学理试题 Word版含答案

淄博市 2016-2017 学年度高三模拟考试试题

理科数学

第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
? ? 1.已知集合 A ? x x2 ? 4 , B ? ?0,1, 2,3?,则 A B ? ( ).

A. ?

B.?0?

C.?0,1?

D.?0,1, 2?

2.已知 x ? 1? yi ,其中 x, y 是实数, i 是虚数单位,则 x ? yi 的共轭复数为( ). 1? i

A. 2 ? i

B. 2 ? i

C.1? 2i

D.1? 2i

3.下列命题为真命题的是( ).

A.若 x ? y ? 0 ,则 ln x ? ln y ? 0 B.“? ? ? ”是“函数 y ? sin(2x ??) 为偶函数”的充要条件
4 C. ?x0 ? (??, 0) ,使 3x0 ? 4x0 成立

D.已知两个平面?, ? ,若两条异面直线 m, n 满足 m ? ?, n ? ? 且 m / /? , n / /? ,则? / /?

4.设随机变量? 服从正态分布 N (3, 4) ,若 P(? ? 2a ? 3) ? P(? ? a ? 2) ,则 a 的值为

( ).

A. 5

B. 7

C. 3

D. 5

3

3

5.已知圆 C : (x ? a)2 ? ( y ? 2)2 ? 4(a ? 0) ,若倾斜角为 45°的直线 l 过抛物线的

y2 ? ?12x 焦点,且直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 3 ,则 a 等于 ( ).

A. 2 ?1

B. 2

C. 2 ? 2

D.1? 2

6.下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)上使减函数的为( ).

A. y ? log1 x
2

1
B. y ? x 2

C.

2x ? 2?x y?

2

D. y ? lg 2 ? x 2? x

7.设向量 OA ? (1, ?2) ,OB ? (a, ?1) ,OC ? (?b, 0) ,其中 O 为坐标原点, a ? 0,b ? 0 ,

若 A, B,C 三点共线,则 1 ? 2 的最小值为( ). ab

A.4

B.6

C.8

D.9

? x ? 0,

8.已知

x,

y

满足不等式组

?? ? ?

x

y ?

? 0, y ? m,



3

?

m

?

5

时,目标函数

z

?

3x

?

2y

的最大值的变

?? y ? 2x ? 4.

化范围是( ).

A.[7,8]

B.[7,15]

C.[6,8]

D.[6,15]

9.已知一个平放的各棱长为 4 的三棱锥内有一个小球,现从该三棱锥顶端向锥内注水,小球

慢慢上浮.当注入的水的体积是该三棱锥体积的 7 时,小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切 8
(小球完全浮在水面上方),则小球的表面积等于( ).

A. 7? 6

B. 4? 3

C. 2? 3

D. ? 2

10.如图所示,由直线 x ? a, x ? a ?1(a ? 0) , y ? x2 及 x 轴围成的曲边梯形的面积介于小

? 矩形与大矩形的面积之间,即 a2 ?

a

?

1 x

2

dx

?

(a

?

1)2

.类比之,若对

?n

?

N

?

,不等式

a

1 ? 1 ? ... ? 1 ? A ? 1 ? 1 ? ... ? 1 恒成立,则实数 A 等于( ).

n ?1 n ? 2 2n

n n ?1 2n ?1

A. ln 5 2

B. ln 2

C. 1 ln 2 2

D. 1 ln 5 2

第Ⅱ卷(共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上)

11.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是



12.函数 f (x) ?

A ( A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ) 的部分图像如图所示,则

sin(?x ? ?)

2

f (? )=



4

13.工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时,需要固定六个位置上的螺丝,首先随意 拧紧一个螺丝,接着拧紧距离它最远的第二个螺丝,再随意拧紧第三个螺丝,接着拧紧距离 第三个螺丝最远的第四个螺丝,第五个和第六个以此类推,则不同的固定方式有 种.

14.已知

A 为双曲线 C

:x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b

?

0) 的右顶点,B1, B2 分别为虚轴的两个端点,

F 为右焦点,若 B2F ? AB1 ,则双曲线 C 的离心率是



15.在研究函数 f (x) ? x2 ? 4 ? x2 ?12x ? 40 的性质时,某同学受两点间距离公式启发,

将 f (x) 变形为 f (x) ? (x ? 0)2 ? (0 ? 2)2 ? (x ? 6)2 ? (0 ? 2)2 ,并给出关于函数 f (x)
以下五个描述:
①函数 f (x) 的图像是中心对称图形;②函数 f (x) 的图像是轴对称图形;

③函数 f (x) 在[0,6]上使增函数;④函数 f (x) 没有最大值也没有最小值;

⑤无论 m 为何实数,关于 x 的方程 f (x) ? m ? 0 都有实数根.

其中描述正确的是



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.)

16. 已知函数 f (x) ? 3 sin ?x cos?x ? sin2 ?x ?1(? ? 0) 相邻两条对称轴之间的距离为 ?. 2 (Ⅰ)求? 的值及函数 f (x) 的单调递减区间;

(Ⅱ)已知 a,b, c 分别为 ?ABC 中角 A, B,C 的对边,且满足 a ? 3, f ( A) ? 1,求 ?ABC 面积 S 的最大值. 17. 如图,四棱锥中 P ? ABCD,?ABC ? ?BAD ? 90? ,BC ? 2AD ,?PAB 与 ?PAD 都 是边长为 2 的等边三角形, E 是 BC 的中点. (Ⅰ)求证: AE / / 平面 PCD; (Ⅱ)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的大小.

18.为弘扬传统文化,某校举行诗词大赛.经过层层选拔,最终甲乙两人进入总决赛,争夺冠军. 决赛规则如下:①比赛共设有五道题;②双方轮流答题,每次回答一道,两人答题的先后顺 序通过抽签决定;③若答对,自己得 1 分;若答错,则对方得 1 分;④先得 3 分者获胜.已
知甲、乙答对每道题的概率分别为 2 和 3 ,且每次答题的结果相互独立. 34
(Ⅰ)若乙先答题,求甲 3:0 获胜的概率;

(Ⅱ)若甲先答题,记乙所得分数为 X ,求 X 的分布列和数学期望 EX .
19. 数列?an? 是公差为正数的等差数列, a2 和 a5 是方程 x2 ?12x ? 27 ? 0 的两实数根, ? ?bn 数列满足 3n?1bn ? nan?1 ? (n ?1)an .

(Ⅰ)求 an 与 bn ; (Ⅱ)设Tn 为数列的前 n 项和,求Tn ,并求Tn ? 7 时 n 的最大值. 20. 设 f (x) ? x ln x ? ax2 ? (2a ?1)x, a ? R .

(Ⅰ)令 g(x) ? f ?(x) ,求 g(x) 的单调区间;

(Ⅱ)当 a ? 0 时,直线 y ? t(?1 ? t ? 0) 与 f (x) 的图像有两个交点 A(x1,t), B(x2,t) ,且

x1 ? x2 ,求证: x1 ? x2 ? 2 .

21.已知椭圆 C



x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 经过点 (1,

3 ) ,离心率为 2

3 ,点 A 为椭圆 C 的 2

右顶点,直线 l 与椭圆相交于不同于点 A 的两个点 P(x1, y1), Q(x2 , y2 ) . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

(Ⅱ)当 AP ? AQ ? 0 时,求 ?OPQ 面积的最大值;

(Ⅲ)若直线 l 的斜率为 2,求证: ?OPQ 的外接圆恒过一个异于点 A 的定点.

淄博市 2016-2017 学年度高三模拟考试

一、选择题
1-5:CBDBD
二、填空题

6-10:ACACB

理科数学试卷答案

11. 12;

12. 4 3 ;

13.48;

14. 5 ?1 ;

15.

3

2

①③④.

三、解答题

16. 解:(Ⅰ) f (x) ? 3 sin ?x ? 1? cos 2?x ?1 ? sin(2?x ? ? ) ? 1 .

2

2

62

因为相邻两条对称轴之间的距离为 ? , 2
所以T ? ? ,即 2? ? ? ,所以? ? 1. 2?

所以

f

(x)

?

sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

?

1 2

.

令 ? ? 2k? ? 2x ? ? ? 3? ? 2k? (k ? Z ) ,

2

62

解得 ? ? 2k? ? x ? 2? ? k? (k ? Z ) .

6

3

所以

f

(x)

的单调递减区间为

?? ?? 6

? k? , 2? 3

?

k?

? ??

(k ? Z) .

(Ⅱ)由

f

( A)

? 1得 sin(2A ?

?) 6

?

1 2

.因为 2A ?

? 6

?

? ??

? 6

, 13? 6

? ??

.

所以 2A ? ? ? 5? , A ? ? .

66

3

由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A,

即 ( 3)2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ? . 3

所以 bc ? 3 ? b2 ? c2 ? 2bc ,解得 bc ? 3.

当且 b ? c 仅当时等号成立.

所以

S?ABC

?

1 2

bc sin

A

?

1 2

?3?

3?3 3. 24

17. 解:(Ⅰ) 因为 ?ABC ? ?BAD ? 90? , BC ? 2AD , E 是 BC 的中点. 所以 AD / /CE , 且 AD ? CE , 四边形 ADCE 是平行四边形,所以 AE / /CD . AE ? 平面 PCD, CD ? 平面 PCD 所以 AE / / 平面 PCD. (Ⅱ)连接 DE、BD ,设 AE 交 BD 于 O ,连 PO ,

则四边形 ABED 是正方形,所以 AE ? BD .

因为 PD ? PB ? 2 , O 是 BD 中点,所以 PO ? BD . 则 PO ? PB2 ?OB2 ? 4 ? 2 ? 2 ,又 OA ? 2, PA ? 2 . 所以 ?POA 是直角三角形,则 PO ? AO ; 因为 BD? AE ? O ,所以 PO ? 平面 ABCD.
如图建立空间坐标系,
? ? ? ? 则 P(0,0,2), A(? 2,0,0), B(0,2,0) , E 2,0,0 , D 0,? 2,0 . ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 PA? ? 2,0,2 , PB ? 0,2,? 2 , PD ? 0,2,? 2 , AE ? 2 2,0,0 .

设 n1

?

(

x1,

y1,

z1

)

是平面

PAB的法向量,则

?? ?

n1

??n1

? ?

PA PB

? ?

0 0

?

??? ? ??

2x1 ? 2 y1 ?

2z1 ? 0 , 2z1 ? 0

取 x1 ? 1,则 y1 ? z1 ? ?1,所以 n1 ? (1, ?1, ?1) .

n2 ? (x2, y2, z2 )是平面 PCD 的法向量,

?? ?

n2

?

PD

?

0

?

???n2

?

PD

?

0

?

??? ?

2 y2 ?

2z2 ? 0 .

??n2 ? DC ? 0 ??n2 ? AE ? 0 ?? 2 2x2 ? 0

取 y2 ? 1,则 n2 ? ?0,1,?1?.

所以 cos n1 ? n2 ? n1 ? n2 ? n1 ? n2

0 3?

? 0, 2

所以平面 PAB与平面 PCD 所成二面角是 90°.

18. 解:(Ⅰ)分别记“甲、乙回答正确”为事件 A、B ,“甲 3:0 获胜”为事件 C ,则

P( A) ? 2 , P(B) ? 3 . 由事件的独立性和互斥性得:

3

4

P(C) ? P(BAB) ? P(B)P( A)P(B) ,

? 1?2?1 ? 1 . 4 3 4 24

(Ⅱ) X 的所有可能取值为. 0,1,2,3.

P(X ? 0) ? ( 2)2 ? 1 ? 1 , 3 49

P( X

? 1)

?

( 2)2 3

?

3?1 44

?

C21

?

1 3

?

2 ?(1)2 34

?

1 9

,

P( X

?

2)

?

( 2)2 3

? ( 3)2 4

?

C21

?

1 3

?

C21

?

1 ?(2)2 43

?

3 4

?(1)2 3

? ( 1 )2 4

?

2 3

?

61 216

,

P(X ? 3) ? 1? P(X ? 0) ? P(X ? 1) ? P(X ? 2) ? 107 . 216

(或 P( X

?

3)

?

(1)2 3

?

3 4

?

C21

?

1 3

?

2 ?(3)2 34

? (1)2 3

?

1? 4

3 4

? (2)2 3

? ( 3)2 4

?1 3

?C21

?

2 3

? (1)2 3

? C21

?

3 4

?

1 4

?

(1)2 3

? ( 1 )2 4

?

107 216

.)

X 的分布列为:

E(X ) ? 0? 1 +1? 1 ? 2? 61 +3? 107 = 467 . 9 9 216 216 216

19. 解:(Ⅰ)由 a1 ? a5 ? 12 , a1a5 ? 27 且 d ? 0 ,得 a1 ? 3, a5 ? 9 .

因此 d ? a5 ? a1 ? 2 , 3

a1 ? 1,因此 an ? 2n ?1.

3n?1bn ? n(2n ?1) ? (n ?1)(2n ?1) ? 4n ?1 ,

所以 bn

?

4n ?1 . 3n?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn

?

4n ?1 , 3n?1

因此 Tn

?

3 1

?

7 3

?

11 32

? ...?

4n ? 5 3n?2

?

4n ?1 3n?1

,

Tn 3

?

3 3

?

7 32

?

11 33

?

...

?

4n ? 5 3n?1

?

4n ?1 3n

.

相减得 2Tn 3

?

3

?

4 3

?

4 32

?

...

?

4 3n?1

?

4n ?1 , 3n

2Tn

? 3? 4?

1 3

(1

?

1 3n?1

)

?

?

4n

?

1

?

5

?

4n ? 5 .

3

1? 1

3n

3n

3

因此 Tn

?

15 2

?

4n ? 5 2 ? 3n?1

.

Tn

? Tn?1

?

4(n ?1) ? 5 2 ? 3n

?

4n ? 5 2 ? 3n?1

?

?(4n ? 3) 3n

?

0,

? ? 因此Tn ? Tn?1 ,即 Tn 为递增数列.

(或因为 bn

?

4n ?1 3n?1

?

0

,即 ?Tn ? 为递增数列.)

又 T3

?

59 9

?

7,T4

?

64 9

?

7

,

因此Tn ? 7 时 n 的最大值为 3.

20. 解:(Ⅰ)由 f ?(x) ? ln x ? 2ax ? 2a ,

可得 g(x) ? ln x ? 2ax ? 2a, x ?(0, ??) ,

则 g?(x) ? 1 ? 2a ? 1? 2ax .

x

x

当 a ? 0 时, x ?(0, ??) 时, g?(x) ? 0 ,函数 g(x) 单调递增;

当 a ? 0 时,x ? (0, 1 ) 时,g?(x) ? 0 ,函数 g(x) 单调递增;x ?( 1 , ??) 时,g?(x) ? 0 ,

2a

2a

函数 g(x) 单调递减;

所以,当 a ? 0 时,函数 g(x) 单调递增区间为 (0, ??) ;当 a ? 0 时,函数 g(x) 单调递增区

间为 (0, 1 ) ,单调递减区间为 ( 1 , ??) .

2a

2a

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ?(1) ? 0 .

当 a ? 0 时, f ?(x) 是增函数,且当 x ??0,1?时, f ?(x) ? 0 , f (x) 单调递减;

当 x ? (1, ??) 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 单调递增.

所以 f (x) 在 x ?1处取得极小值,且 fmin (x) ? f (1) ? a ?1 ? ?1 , 所以 0 ? x1 ? 1 ? x2 . f (x2 ) ? f (2 ? x1) ? f (x1) ? f (2 ? x1) ? x1 ln x1 ? ax12 ? (2a ?1)x1 ?[(2 ? x1) ln(2 ? x1) ? a(2 ? x1)2 +(2a ?1)(2 ? x1)] ? x1 ln x1 ? (2 ? x1) ln(2 ? x1) ? 2(x1-1). 令 h(x1) ? x1 ln x1 ? (2 ? x1) ln(2 ? x1) ? 2(x1-1),则
h?(x1) ? ln x1 ? ln(2 ? x1) ? ln x1(2 ? x1) ? ln[?? x1-1?2] ? 0 ,
于是 h(x1) 在(0,1)上单调递减,故 h(x1) ? h(1) ? 0 , 由此得 f (x2 ) ? f (2 ? x1) ? 0 即 f (x2 ) ? f (2 ? x1) . 因为 2 ? x1 ? 1, 2x2 ? 1, f (x) 在 (1, ??) 单调递增, 所以 x2 ? 2 ? x1 即 x1 ? x2 ? 2 .

?c 3

21.

解:(Ⅰ)由题意知:且

? ???a

? a 2 ? b2

2 ?

c

2



? ? ??

1 a2

4 ? b2

?1

? a?2

可得:

? ?

b ?1



??c ? 3

椭圆 C 的标准方程为 x2 ? y2 ? 1. 4

(Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时,设 l : x ? m ,与 x2 ? y2 ? 1联立得: 4

P(m, 1? m2 ),Q(m, ? 1? m2 ) .

4

4

由于

AP

?

AQ

?

0

,得

?m

?

2?2

?

? ?1? ?

m2 4

? ? ?

?

0 ,解得

m

?

6 5



m

?

2

(舍去).

此时 PQ ? 8 , ?OPQ 的面积为 24 .

5

25

当直线 l 的斜率不存在时,设 l : y ? kx ? m ,与 x2 ? y2 ? 1联立得: 4

? ? ? ? 4k2 ?1 x2 ? 8kmx ? 4 m2 ?1 ? 0 .

由 ? ? 0 ,得 4k 2 ? m2 ?1 ? 0 ;

? ? 且 x1 ? x2

?

8kmx 4k 2 ?1



x1

x2

?

4 m2 ?1 4k2 ?1

??? .

由于 AP ? AQ ? 0 ,

? ? 得: (x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1y2 ? (k2 ?1)x1x2 ? ?km ? 2?? x1 ? x2 ? ? m2 ? 4 ? 0 .

代入 ??? 式得:12k2 ? 5m2 ?16km ? 0 ,

即 m ? ? 6 k 或 m ? 2k (此时直线 l 过点 A ,舍去). 5

? ?? ? PQ ?

1? k2

(x1 ?

x2 )2

? 4x1x2

?

4 4k 2 ?1

1? k2

4k 2 ? m2 ?1 ,

m

点 O 到直线 l 的距离为: d ?

.

k2 ?1

?OPQ 的面积为 2 m 4k 2 ? m2 ?1 ,将 m ? ? 6 k 代入得:

4k 2 ?1

5

?OPQ 的面积为 24 ? 25

? 9 ? ( 1 )2 ? 7 ? 1 ?1 ? 24 .

256 k 2 ? 1 64 k 2 ? 1

25

4

4

?OPQ 面积的最大值为 24 . 25

(Ⅲ)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,联立方程 x2 ? y2 ? 1得: 4

? ? 17x2 ?16mx ? 4 m2 ?1 ? 0 ①.

设 ?APQ 的外接圆方程为:联立直线 l 的方程 y ? kx ? m 的:

? ? 5x2 ? (4M ? D ? 2E)x ? m2 ? mE ? F ? 0 ②.

方程①②为同解方程,所以: 17 ?

16m

4?m2 ?1?

?

.

5 4m ? D ? 2E m2 ? mE ? F

又由于外接圆过点 A?2,0? ,则 2D ? F ? ?4 .

从而可得到关于 D, E, F 的三元一次方程组:

? ? ?? ? ?

2D ? F ? ?4 D ? 2E ? 12 m
17

? ? ?

D ? 6m ? 24 17

,解得:

? ?

?

E ? 3m ?12 17

.

???mE

?

F

?

3 17

m2

?

20 17

???F

?

? 12m ? 17

20

代入圆的方程为: x2 ? y2 ? 6m ? 24 x ? 3m ?12 y ? 12m ? 20 ? 0 .

17

17

17

整理得: (x2 ? y2 ? 24 x ? 12 y ? 20) ? 3m (2x ? y ? 4) ? 0 ; 17 17 17 17

所以

? ?

x

2

?

??

?

y2

? 24 17
2x ?

x ? 12 y ? 17
y?4?0

20 17

?

0

,解得

??? x ?

? ??

y

? ?

30 17 8 17



?x

? ?

y

? ?

2 0

(舍去).

?APQ

的外接圆恒过一个异于点

A

的定点

? ??

30 17

,

8 17

? ??

.


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