版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第23讲解三角形应用举例学案(数学教案)

第 23 讲 例 解三角形应用举 考纲要求 能够运用正弦定 理、 余弦定理等知识和方 法解决一些与测量和几 何计算有关的实际问题. 考情分析 2015·湖北卷,13 2014·四川卷,13 分值:5 分 命题趋势 解三角形是三角函数的知 识在三角形中的应用,高考中 可单独考查,也可以与三角函 数、不等式、向量等综合考查. 1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线! ! ! 上方 ###的角叫仰角,在水平线! ! ! 下方 ###的角叫俯角(如图①). 2.方位角 从指北方向! ! ! 顺时针 ###转到目标方向线的水平角叫方位角,如 B 点的方位角为 α (如图②). 3.方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③) 1 (1)北偏东 α ,即由指北方向! ! ! 顺时针 ###旋转 α 到达目标方向. (2)北偏西 α ,即由指北方向! ! ! 逆时针 ###旋转 α 到达目标方向. (3)南偏西等其他方向角类似. 4.坡度(比) 坡角:坡面与水平面所成的! ! ! 二面角 ###的度数(如图④,角 θ 为坡角). 坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i 为坡度(比)). 5.解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位、近似计算的要求等. 1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”). 1 1 1 (1)公式 S= bcsin A= acsin B= absin C 适用于任意三角形.( √ 2 2 2 (2)东北方向就是北偏东 45°的方向.( √ (3)俯角是铅垂线与视线所成的角.( × ) ) ) ) ? π? (4)方位角大小的范围是[0,2π ),方向角大小的范围一般是?0, ?.( √ 2? ? 解析 (1)正确.三角形的面积公式对任意三角形都成立. (2)正确.数学中的东北方向就是北偏东 45°或东偏北 45°的方向. (3)错误.俯角是视线与水平线所构成的角. (4) 正确 . 方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,故大小的范围为 ? π? [0,2π ),而方向角大小的范围由定义可知为?0, ?. 2? ? 2.若点 A 在点 C 的北偏东 30°,点 B 在点 C 的南偏东 60°,且 AC=BC,则点 A 在点 B 的( B ) B.北偏西 15° D.北偏西 10° A.北偏东 15° C.北偏东 10° 解析 如图所示,∠ACB=90°.又 AC=BC, 2 ∴∠CBA=45°,而 β =30°, ∴α =90°-45°-30°=15°. ∴点 A 在点 B 的北偏西 15°. 3.如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,选定一点 C,测出 AC 的 距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则 A,B 两点的距离为( A A.50 2 m C.25 2 m 解析 由正弦定理得 B.50 3 m 25 2 D. m 2 ) AC·sin ∠ACB AB= = sin B 50× 1 2 2 2 =50 2(m). 4.在相距 2 千米的 A,B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则 A,C 两点之间的距离为! ! ! 6 ###千米. 解析 如图所示,由题意知∠C=45°, AC 2 由正弦定理得 = , sin 60° sin 45° ∴AC= 2 3 × = 6. 2 2 2 5. 一船向正北航行, 看见正东方向有相距 8 海里的两个灯塔恰好在一条直线上.继续航 行半小时后,看见一灯塔在船的南偏东 60°,另一灯塔在船的南偏东 75°,则这艘船每小 时航行! ! ! 8 ###海里. 3 解析 如图,由题意知在△ABC 中, ∠ACB=75°-60°=15°, ∠B=15°,∴AC=AB=8. 在 Rt△AOC 中,OC=AC·sin 30°=4. 4 ∴这艘船每小时航行 =8(海里). 1 2 一 距离问题 求解距离问题的一般步骤 (1)选取适当基线,画出示意图,将实际问题转化为三角形问题. (2)明确要求的距离所在的三角形有哪几个已知元素. (3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形. 【例 1】 要测量对岸 A,B 两点之间的距离,选取相距 3 km 的点 C,点 D,并测得∠ ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,则点 A,B 之间的距离为! ! ! ###km. 解析 如图,在△ACD 中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°, 5 ∴AC=CD= 3(km). 在△BCD 中,∠BCD=45°, ∠BDC=75°,∠CBD=60°. ∴BC= 3sin 75° 6+ 2 = . sin 60° 2 在△ABC 中,由余弦定理,得 AB2=( 3)2+? 6+ 2 ? 6+ 2?2 ? -2× 3× 2 ×cos 75°=3+2+ 3- 3=5,∴AB= 2 ? ? 5(km),即 A,B 之间的距离为 5 km. 4 二 高度问题 高度问题一般是把它转化成三角形的问题, 要注意三角形中的边角关系的应用, 若是空 间的问题要注意空间图形和平面图形的结合. 【例 2】 要测量电视塔 AB 的高度,在点 C 测得塔顶 A 的仰角是 45°,在点 D 测得塔 顶 A 的仰角是 30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,则电视塔的高度为! ! ! 40 ###m. 解析 设电视塔 AB 高为 x m,则在 Rt△ABC 中,由∠ACB=45°,得 BC=x.在 Rt△ADB 中,由∠ADB=30°,得 BD= 3x. 在

相关文档

高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第8节解三角形实际应用举例学案理北师大版(数学教案)
2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第23讲解三角形应用举例学案
2018年高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第23讲 解三角形应用举例 理
全国版版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第7讲解三角形的应用举例学案(数学教案)
全国通用版版高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形第22讲解三角形应用举例优选学案(数学教案)
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第23讲 解三角形应用举例实战演练 理
高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形第23讲解三角形应用举例课件理新人教A版
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第23讲 解三角形应用举例课件 理
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第23讲 解三角形应用举例名师课件 理
电脑版