山东省临沂市2017届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案


高三年级期末教学质量抽测试题 理科数学 2017.01 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选顶中,只 有一项是符合题目要求的. 1.i 为虚数单位,复数

2i 在复平面内对应的点到原点的距离为( ) 1? i
C. 2 D.1

A.

1 2

B.

2 2

2 2.已知集合 A= 3, a ,B= ?2,1 ? a, b? ,且 A∩B= ?1? ,则 A∪B=( )

?

?

A. ?0,1,3?

B. ?1, 2,3?

C. ?1, 2, 4?

D. ?0, 1, 2,3?

3.下列说法正确的是( ) A.命题“2≥1”是假命题 B.命题“ ?x ? R, x ? 1 ? 0 ”的否定是: ?x0 ? R, x02 ? 1 <0
2
a b a b C.命题“若 2 ? 2 ,则 a ? b ”的否命题是“若 2 ? 2 ,则 a≤b”

D. “ x ? 1 ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”充分不必要条件
2

4.函数 y ?

xa x ? a ? 1? 的图象的大致形状是( x

)

5.某兴趣小组有男生 20 人,女生 10 人,从中抽取一个容量为 5 的样本,恰好抽到 2 名男生 和 3 名女生,则①该抽样可能是系统抽样;②该抽样可能是随机抽样:③该抽样一定不是分 层抽样;④本次抽样中每个人被抽到的概率都是 其中说法正确的为( )
-1-

1 . 5

A.①②③

B.②③

C.②③④

D.③④

6.设 D,E,F 分别△ABC 的三边 AB,BC,CA 的中点,则 EA ? DC =( ) A. BC

uu r

uuu r

uuu r

B. 3DF

uuu r

C. BF

uuu r

D.

r 3 uuu BF 2
)

7.一个圆柱的正视图是面积为 6 的矩形,它的侧面积为( A. 8? B. 6? C. 4? D. 3?

8.若 tan ? ? 3 ,则 cos 2 ? ? ? A. ?

? ?

??

?? 2? ? ? cos ? ? ? ? ? ( 4? 4? ?
D.



3 5

B. ?

4 5

C.

3 5

4 5

9.已知过双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? ?? b ? 0 ? 的左焦点 F ? ?c,0? 和虚轴端点 E 的直线交双曲线 a 2 b2

右支于点 P,若 E 为线段 EP 的中点,则该双曲线的离心率为( ). A. 5 ? 1 B. 5 C.

5 ?1 2

D.

5 2

10 .函数 f ? x? ? Asin ?? x? ? ? ? A? 0,? ? 0, ? ?

? ?

??

? 的部分图 2?

象如图所示,其中 f ?

?? ? ? ? 0, ?3?

? 7? ? f? ? ? ?2 ,给出下列结论: ? 12 ? ? ?

①最小正周期为 ? ; ② f ? 0? ? 1; ③函数 y ? f ? x ?

??

? 是偶函数; 6?

④f?

? 12? ? 11

? ? 14? ? ?? f ? ? ;⑤ f ? x ? ? ? ? 13 ?
)

? 4? ? f? ? x? ? 0 . ? 3 ?

其中正确结论的个数是( A.5 B.4

C.3 D.2

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把 答案填在题中横线上. 11 . 若 函 数

-2-

f ? x ? ? 2x ? 3,且f ? m ?1? ? 5,则m ? __________.
12.执行如图所示的程序框图,则输出 k 的值为__________.

? x ? 1, ? 13 . 如 果 实数 x , y 满足 不 等 式 组 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 目 标函 数 z ? 3x ? 2 y 的 最 大 值是 ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?
_________. 14.若 2 是函数 f ? x ? ? x3 ? ax ? a ? R ? 的零点,则在 ? 0, a ? 内任取一点 x0 ,使 ln x0 ? 0 的概 率是_________. 15.直线 ax ? 2by ? 2 ? 0 与圆 x ? y ? 2 相切,切点在第一象限内,则
2 2

1 1 ? 的最小值为 a 2 b2

_________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中 , 内 角 A , B , C 对 边 的 边 长 分 别

a, b, c ,

?? ? f ? x ? ? 2sin x cos ? x ? A? ? sin ? B ? C ?? x ? R ? ,函数 f ? x ? 的图象关于点 ? , 0 ? 对称. ?3 ?
(I)求 A; (II)若 b ? 6,?ABC 的面积为 6 3 ,求 AC ? CB 的值.

??? ? ??? ?

17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 中, Sn 为其前 n 项和, a2 ? a6 ? 6, S3 ? 5 . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)令 bn ?

1 ? n ? 2? , b1 ? 3, Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ,若 Tn ? m 对一切 n ? N ? 都成立,求 an?1an

m 的最小值.

18.(本小题满分 12 分) 某高中学校为展示学生的青春风采,举办了校园歌手大赛,该大赛分为预赛和决赛两个
-3-

阶段,参加决赛的学生按照抽签方式决定出场顺序,通过预赛,选拔出甲、乙等 5 名学生参 加决赛. (I)求决赛中学生甲、乙恰好排在前两位的概率; (Ⅱ)若决赛中学生甲和学生乙之间间隔的人数记为 X,求 X 的分布列及数学期望 EX.

19.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AD// BC, ?ADC ? 90 ,平面
?

PAD ? 底面 ABCD,Q 为 AD 的中点, PA ? PD ? 2, BC ?
(I)求证:平面 PQB ? 平面 PAD;

1 AD ? 1, CD ? 3 . 2

(II)在棱 PC 上是否存在一点 M,使二面角 M ? BQ ? C为30? ?若存在,确定 M 的位置;若不 存在,请说明理由.

20.(本题满分 13 分)

x2 y 2 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,其短轴的一个端点与两个焦点构成面积为 3 的正三角 a b
形,过椭圆 C 的右焦点作斜率为 k ? k ? 0? 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,线段 AB 的中 点为 P. (I)求椭圆 C 的标准方程; (II)过点 P 垂直于 AB 的直线与 x 轴交于点 D,试求 21.(本题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? x ? a ln ? x ? 2? ,且 f ? x ? 存在两个极值点 x1 , x2 ,其中 x1 ? x2 。
2

DP AB

的取值范围。

(I)求实数 a 的取值范围;

-4-

(II)证明不等式:

f ? x1 ? ?1 ? 0 x2

高三年级期期末教学质量抽测试题 理数 答案 2017.1

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.C 2.D 3.D 4.B 5.A 6.C 7.B 8.A 9.B 10.D

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分. 11. 2 12.7 13.1 14.

1 9 15. 4 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? f ( x) ? 2sin x cos( x ? A) ? sin( B ? C )

? 2sin x(cos x cos A ? sin x sin A) ? sin A -------------1 分

? f ( x) ? 2sin x cos x cos A ? 2sin 2 x sin A ? sin A ? sin 2x cos A ? cos 2x sin A
? sin(2 x ? A) -----------------------------------------3 分
因为函数 f ( x ) 的图象关于点 ( , 0) 对称.所以 f ( ) ? 0 ,---------4 分

π 3

?

3

即 sin(2 ?

π π ? A) ? 0 ,又? 0 ? A ?π ,? A ? . -------------------5 分 3 3

(Ⅱ)∵ b ? 6 ,△ABC 的面积为 6 3 ,

?

1 ? 6 ? c sin A ? 6 3 ,?c ? 4 ,------------------------------6 分 2 π ? 28 ,---------------------------7 分 3
---------------------------8 分

? a 2 ? 62 ? 42 ? 2 ? 6 ? 4 cos
?a ? 2 7 .
cos C ?

(2 7)2 ? 62 ? 42 2 7 ,---------------------------10 分 ? 7 2? 2 7 ? 6
2 7 ) ? ?24 .---------12 分 7

? AC ? CB ? 6 ? 2 7 cos(π ? C ) ? 12 7 ? (?
17.解:(Ⅰ) 设等差数列{an}的公差为 d,

??? ? ??? ?

-5-

由 a2+a6=6,S3=5 得 ?

?2a1 ? 6d ? 6 ,---------------------------2 分 ? 3a1 ? 3d ? 5

a1=1, ? ? 解得? 2 -----------------------------------------------4 分 d= , ? ? 3
2 1 ∴an= n+ .------------------------------------------------5 分 3 3 (Ⅱ)当 n≥2 时,bn= 1

anan-1



1 ? 9? 1 - = ? ?,--------6 分 ?2n+1?·?2n-1? 2?2n-1 2n+1? ?3 3? ?3 3? ? ? ? ? 1

当 n=1 时,上式同样成立,-----------------------------------7 分 ∴Sn=b1+b2+?+bn 1 1 ? 9? 1 ? 9? 1 1 1 - = ?1- + - +?+ = ?1- ? ?,----------------9 分 3 3 5 2n-1 2n+1? 2? 2n+1? 2? 1 ? 1 ? 9 9? 9? 又 ? 1- 随 n 递增,且 ?1- < ·1≤m,----------------10 分 ? 2 n + 1 2 n +1? 2? 2? ? ? 2 又 m∈ N ,∴m≥5,----------------------------------------11 分 ∴ m 的最小值为 5.--------------------------------------------12 分 18.解: (Ⅰ)设“学生甲、乙恰好排在前两位”为事件 A ,则
2 3 A2 A P( A) ? 5 3 ? 1 .--------------------------------------3 分 10 A5
?

(Ⅱ)随机变量 X 的可能的值为 0,1,2,3.---------------------4 分

P( X ? 0) ?

1 4 C2 A4 2 ? , ------------------------------------5 分 5 5 A5

1 1 3 C3 C2 A3 P( X ? 1) ? ? 3 , ----------------------------------7 分 5 10 A5 1 1 2 C32C2 C2 A2 1 ? , --------------------------------9 分 5 5 A5 1 3 C2 A3 ? 1 . -----------------------------------10 分 5 10 A5

P( X ? 2) ?

P( X ? 3) ?

随机变量 X 的分布列为

X

0

1

2

3

-6-

P

2 5

3 10

1 5

1 10

-----------------------------------------------------11 分 因为 EX ? 0 ? 2 ? 1? 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? 1 ? 1 .------------------12 分

5

10

5

10

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) ? AD / / BC , BC ? 1 AD, Q 为 AD 的中点,

2

? DQ / / BC 且 DQ ? BC,
所以四边形 BCDQ 是平行四边形,-----------------------1 分

? BQ / /CD. ? ?ADC ? 90?,

??AQB ? 90?, 即 BQ ? AD.
∵PA=PD,? PQ ? AD.

-----------------------2 分

又 PQ ? BQ ? Q, ? AD ? 平面 PBQ. -----------------------4 分

? AD ? 平面 PAD, 所以平面 PQB⊥平面 PAD. -------------5 分
(Ⅱ) ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 又 PQ ? AD ,且 PQ ? 平面 PAD,

? PQ ? 平面 ABCD.

-----------------------6 分

以 Q 为原点, QA 为 x 轴, QB 为 y 轴, QP 为 z 轴建立空间直角坐标系, 则平面 BQC 的一个法向量 n ? (0, 01) ,,Q(0,0,0), P(0,0,3),C(?1,3,0).---7 分 设 满 足 条 件 的 点

M ( x, y, z )









???? ? ???? ? PM ? ( x, y, z ? 3), MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ? z),
令 PM ? tMC, 其中 t ? 0,

???? ?

???? ?

?x ? ? t , 1? t ? ? x ? t (?1 ? x) ? ? ? ? ? y ? t ( 3 ? y ) , ? ? y ? 3t , 1? t ? ? z ? 3 ? t ( ? z ) ? ?z ? 3 . ? 1? t ? ??? ? ???? ? 3t , 3 ), ----------9 分 在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3,0), QM ? ( ? t , 1? t 1? t 1? t
-7-

设平面 MBQ 的一个法向量 m ? ( x1 , y1 , z1 ). 则有 ?

? ?

3 y1 ? 0,

? ??tx1 ? 3ty1 ? 3z1 ? 0.

? 平面 MBQ 的一个法向量 m ? ( 3,0, t ). -----------------------10 分 ? 二面角 M ? BQ ? C 为 30?,

? cos30? ?
解得 t ? 3.

| n?m | |t | ? ? 3, 2 | n || m | 2 3? 0?t
-----------------------11 分

所以满足条件的点 M 存在, M 是棱 PC 的靠近点 C 的四等分点. ------12 分 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设右焦点的坐标为 (c, 0) ,易知面积为 3 的正三角形的边长为 2, 依题意知, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4, c ?

1 2 2 2 a ? 1, ?b ? a ? c ? 3, -------------2 分 2

所以,椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .---------------------------3 分 4 3

(Ⅱ)设过椭圆 C 的右焦点的直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,

将其代入

x2 y 2 ? ? 1 中得, (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 ,-------4 分 4 3

其中, ? ? 144(k 2 ? 1) ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 ,----------------------------5 分 , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 8k 3 ?6k ,----------------6 分 ? 2k ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ?. 2 ? ? 2

? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ?

因为 P 为线段 AB 的中点,所以,点 P 的坐标为 ?

故点 P 的坐标为 ?

? 4k 2 ?3k ? , 2 2 ? ,-----------------------------7 分 ? 3 ? 4k 3 ? 4k ?
1 , k
-8-

又直线 PD 的斜率为 ?

直线 PD 的方程为 y ?

?3k 1 4k 2 ? ? ( x ? ) ,------------------9 分 3 ? 4k 2 k 3 ? 4k 2

? k2 ? k2 ,0?, 令 y ? 0 得, x ? ,则点 D 的坐标为 ? 2 2 3 ? 4k ? 3 ? 4k ?

? k2 4k 2 ? ? ?3k ? 3 k4 ? k2 所以, | DP |? ? ,-------10 分 ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? 3 ? 4k 2 ? 3 ? 4k 3 ? 4 k ? ? 3 ? 4 k ?
又 | AB |?

2

2

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (k 2 ? 1)[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

? 64k 4 4(4k 2 ? 12) ? 12(k 2 ? 1) ? (k 2 ? 1) ? ? ? .-----------------11 分 2 2 3 ? 4k 2 ? 3 ? 4k 2 ? (3 ? 4k ) ?
3 k4 ? k2 | DP | k2 1 1 4k 2 ? 1 所以, ,-------------12 分 ? 3? 2 ? 1? 2 2 | AB | 12(k ? 1) 4 k ? 1 4 k ?1 3 ? 4k 2
又? k 2 ? 1 ? 1, ? 0 ?

1 1 1 1 ? 1, ?0 ? 1? 2 ? . k ?1 4 k ?1 4
2

所以,

| DP | 1 的取值范围是 (0, ). ------------------------------13 分 | AB | 4

21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题意, f ?( x) ? 2 x ?

a ( x ? ?2) ,-----------------1 分 x?2

∵函数 f ( x ) 存在两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , ∴关于 x 的方程 2 x ?

a ? 0, x?2

2 即 2 x ? 4 x ? a ? 0 在 (?2, ??) 内有两个不相等实根.--------------2 分

令 ? ( x) ? 2 x ? 4 x ? a ,
2

则?

?? ? 16 ? 8a ? 0, -----------------------------------------3 分 ? ( ? 2) ? 0. ?

解得 ?2 ? a ? 0 .所以,实数 a 的取值范围 (?2, 0) .-------------4 分

-9-

a ? ? x1 x2 ? ? 2 , ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? x1 ? x2 ? ?2, ? ?1 ? x ? 0. 2 ? ?

f ( x1 ) x12 ? a ln( x1 ? 2) 4 ∴ ? ? x2 ? ? 2( x2 ? 2) ln(? x2 ) ? 4 ,---------10 分 x2 x2 x2
令 ? x2 ? x ,则 0 ? x ? 1 ,且 令 F ( x) ? ? x ?

f ( x1 ) 4 ? ? x ? ? 2( x ? 2) ln x ? 4 , x2 x

4 ? 2( x ? 2) ln x ? 4(0 ? x ? 1) ,则------------------11 分 x 4 2( x ? 2) 4 4 F ?( x) ? ?1 ? 2 ? 2 ln x ? ? 2 ? ? 2 ln x ? 1(0 ? x ? 1) ------12 分 x x x x

∴ F ??( x) ? ?

8 4 2 2( x 2 ? 2 x ? 4) ? ? ? , x3 x 2 x x3

∵ 0 ? x ? 1 ,∴ F ??( x) ? 0 即 F ?( x) 在 (0,1) 上是减函数, ∴ F ?( x) ? F ?(1) ? 1 ? 0 ,∴ F ( x) 在 (0,1) 上是增函数,------------13 分 ∴ F ( x) ? F (1) ? ?1 ,即

f ( x1 ) ? ?1, x2

所以,

f ( x1 ) ? 1 ? 0 .------------------------------------14 分 x2

- 10 -


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