历年全国数学建模试题及解法归纳


历年全国数学建模试题及解法归纳

赛题 93A 非线性交调的频率设计 93B 足球队排名 94A 逢山开路 94B 锁具装箱问题 95A 飞行管理问题 95B 天车与冶炼炉的作业调度 96A 最优捕鱼策略 96B 节水洗衣机 97A 零件的参数设计 97B 截断切割的最优排列 98A 一类投资组合问题 98B 灾情巡视的最佳路线 99A 自动化车床管理 99B 钻井布局 00A DNA 序列分类

解法 拟合、规划 图论、层次分析、整数规划 图论、插值、动态规划 图论、组合数学 非线性规划、线性规划 动态规划、排队论、图论 微分方程、优化 非线性规划 非线性规划 随机模拟、图论 多目标优化、非线性规划 图论、组合优化 随机优化、计算机模拟 0-1 规划、图论 模式识别、 Fisher 判别、 人工 神经网络

00B 钢管订购和运输 01A 血管三维重建

组合优化、运输问题 曲线拟合、曲面重建

赛题 01B 公交车调度问题 02A 车灯线光源的优化 02B 彩票问题 03A SARS 的传播 03B 露天矿生产的车辆安排 04A 奥运会临时超市网点设计 04B 电力市场的输电阻塞管理 05A 长江水质的评价和预测 05B DVD 在线租赁 06A 出版社书号问题 06B Hiv 病毒问题 07A 人口问题 07B 公交车问题

解法 多目标规划 非线性规划 单目标决策 微分方程、差分方程 整数规划、运输问题 统计分析、 数据处理、 优化 数据拟合、优化 预测评价、数据处理 随机规划、整数规划 整数规划、 数据处理、 优化 线性规划、回归分析 微分方程、数据处理、优化 多目标规划、动态规划、图 论、0-1 规划

08A 照相机问题 08B 大学学费问题

非线性方程组、优化 数据收集和处理、统计分 析、回归分析

2009 年 A 题制动器试验台的控制方法分析 工程控制 2009 年 B 题 眼科病床的合理安排 排队论,优化,仿真,综 合评价 2009 年 C 题 卫星监控 几何问题,搜集数据

2009 年 D 题 会议筹备

优化

赛题发展的特点: 1. 对选手的计算机能力提出了更高的要求:赛题 的解决依赖计算机,题目的数据较多,手工计算不能完成,如 03B, 某些问题需要使用计算机软件,01A。问题的数据读取需要计算机技 术,如 00A(大数据),01A(图象数据,图象处理的方法获得), 04A(数据库数据,数据库方法,统计软件包)。计算机模拟和以算 法形式给出最终结果。 2. 赛题的开放性增大 解法的多样性,一道赛题可用多种解法。开放 性还表现在对模型假设和对数据处理上。 3. 试题向大规模数据处理方向发展 4. 求解算法和各类现代算法的融合 2006 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 A 题评阅要点

本题考察的重点是:从决策问题的海量的、不完全的、甚至错漏 (带有噪音、错误、异型)的数据中分析出决策的逻辑结构和提取有 用的数据(附录中许多数据是没有用的!)以及依赖数据信息,进而 构建数学模型的能力。 本题的资源优化配置模型是规划问题,其中也包括一些预测模型。 因此,理解并且实现优化问题的基础结构是取得基本分值的必要条 件。 1、目标函数的构成成分 主要包括销售额表达式 (注意如果作者利用了附录数据说明中的 假设,则赢利与销售额等价),可以以课程为单位,也可以以学科为 单位;包括由市场信息产生的对于不同课程的调控因子(竞争力系 数);由于数据说明中的提示,也应该包括每个课程的申报需求量的 “计划准确性因子”(学生用词会不同)。当然,前两点更重要些。

2、约束条件构成 对于出版社来说,所谓产能主要是人力资源,即策划、编辑和版 面设计人员的分布形成主要约束;此外,书号总量(500)也应该作 为约束条件;同时,在数据说明中指出的“满足申请书号量的一半” 也应该以约束方式表达。 3、规划变量 可以以每个课程的书号数量,也可以以学科的书号数作为变量, 但是得到的结果会有所不同。 实现以上三点,对于问题的理解是比较全面的,应该得到基本分 值。 进一步提高的分值来源于实现上述三点的具体模型的考虑和建模 水平。 1)如果注意到数据说明中提示的,同一课程的教材在价格和销 售量的同一性,销售额表达式是比较容易表示的:构造每个课程的、 用书号数表达的销售额,然后将所有书号的销售额的表达式累加,形 成总社的销售额的基本表达式,这是目标函数的主体部分。 2)市场信息产生的对于不同课程的调控因子(也称竞争力系数) 的表示,是一个信息不足情况下的决策模型。主要是满意度和市场占 有率的恰当表示和计算(由附件 2),以及两个指标的联合形成竞争 力系数问题,这里既可以使用拟合模型,也可以使用各种多因素分析 模型等等,方法不同。对这个问题解决的优劣,可以导致明显的评分 差别。 其中应该特别注意需求信息是否重复使用的问题,也就是说,如 果在构造销售额表达式时已经使用了课程的销售数据, 则不同课程的 支持强度的不同,主要由市场竞争力参数表达。 3)在优化问题中,应该恰当地表示“计划准确性因子”,数据 给出的计划销量和实际销量之比应该是比较合适的表示。 4)加上前述约束条件构成适当的规划问题。 比较好的实现以上四点,应该得到 80%的分值。 最后剩余分值是:计算出结果,创造性,论文表述和格式。

[注 1] 以下给出建模所需信息和附录数据表的关系: 在问卷调查表的调查目的中提示了满意度和市场占有率是竞争 力的主要组成,也提示了数据依据(附录 1);课程级销售额以及销 售额与利润的等价性关系(附录 3),满意度和市场占有份额由问卷 调查数据表检索计算产生(附录 2),各个课程的需求的书号数(附 录 4)和“计划准确性因子”(附录 3),人力资源(附录 5)。其 中附录 1 只是让学生了解市场调查的方法。 [注 2] 学生会提出附录 5 和 4 之间在书号数与人力资源上的差别, 事实上人力资源和分配到的书号数没有直接的单一因果联系 (如临时 雇用人员、临时增加书号等)。附录 4 的书号总和的计算错误是实 际数据的错误,但是与解题无关(学生采用哪组数据应该都是可以 的)。

附件:对问题更详细的分析过程(供参考) 本题背景是:某出版社总社汇总各个分社提交的出版需求计划, 然后根据市场信息、在总社产能允许的条件下,将给定数量的书号进 行分配,以期在此分配方案下,出版的图书产生最好的经济效益。由 于企业的生产是市场导向的, 因此市场信息是对分社计划进行调整的 主要依据,同时要考虑产能的限制。这是一个资源配置的决策问题, 因此需要分析决策的信息依据以及决策的逻辑过程。 1、 决策的总体结构 市场信息 决策部门 分社计划信息 决策结果

各个分社提出的出版需求计划是决策的基础,而市场信息是调 整分社计划达到效益最大化的主要调节依据。在以上总体结构下,需 要将各个分社的计划信息和市场信息的信息产生结构分析清楚。 2、 分社计划信息 在附录 4 中给出了各个分社 06 年申请的书号计划数,即分社所 属课程的计划数的列表。该出版社中,分社是按学科划分的,学科之 下又有若干课程,问题的决策对象可以分两级:课程级以及学科级。

也就是说,可以以课程作为基本分配对象,学科数据可以通过汇总得 到;也可以先将数据汇总到学科,然后以学科作为配置单位。两种方 法计算结果会有所不同。 3、 市场信息 相关的市场信息主要包括两个方面:需求信息和竞争力信息, 包括它们的变化趋势。 3.1 需求信息。 课程级的销售额是决策的目标函数的基础组 分(附录 4 中提示了销售额与盈利的等价性)。在根据课程级的需求 计划计算销售额时, 需要用过去五年该课程的实际销售量去预测当年 的销售量。这样就已经考虑了市场的需求信息,因此在总社的进一步 分析中不必要重复使用这类市场信息。另一方面,由于分社有夸大需 求的倾向(附录 4 提示),将课程级的计划销售量与实际销售量之比 作为“计划准确性系数”,在课程级的销售额中作为权重是恰当的考 虑。 3.2 竞争力信息。企业在战略决策中的主要原则是:重点支持 竞争力强、竞争力发展趋势强的产品(题目中已经提示)。虽然企业 也要关注现实竞争力不强、但有潜力的产品,但这不是主要的决策原 则,这是一个恰当的简化。竞争力因素很多,但是对于本题,由于只 给出了两方面的数据(A. 对教材的课程级的满意度,B. 该出版社的 课程级的市场占有率),因此也只有用这两个数据产生对于各个课程 的不同的竞争力系数,这是总社的主要调控手段,应体现在规划问题 的目标函数中。 4、建模过程 如何从给定数据中提取需要的每项市场信息,是本题建模的关键 之一。 4.1 市场需求信息。这里主要是课程级的需求量预测。从历年 的销售数据,即已经出版过的同课程的历年销售数据,可得到目标函 数的主要表达式: [(课程级销量*平均书价)/当年的该课程的获得书号数]=该课 程的书号的平均销售额

4. 产品满意度。 2 在问卷调查中的本出版社的满意度 (课程级) 的均值除以所有出版社的满意值的均值,可以作为该课程的满意度, 这里“度”是率的含意。 4.3 市场份额占有率。 在问卷调查的统计中已经给出了关于 课程与出版社市场份额分布表, 而通过五年的市场份额分布表可以回 归出预测的市场份额占有率。 4.4 竞争力系数。以上两点可以产生单一的竞争力系数(通过 模型方法)加入到目标函数中,例如,可以从五年的历史数据拟合得 到加权系数,再进行加权求和等,方法各异。 由以上 4 点以及考虑到 3.1 中的“计划准确性系数”,可以构 成规划的目标函数。 4.5 约束条件:该社的产能即人力资源的约束,书号总量的限制 以及至少满足申请数一半的要求(附录 4),即可得到规划问题的完 整表示。 5、决策的逻辑结构

2006 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 B 题评阅要点 问题(1) 利用附件 1 的数据预测继续治疗的效果,或者确定最佳治 疗终止时间。 1.分析数据 随机取若干个病人,画出他们 CD4 和 HIV 浓度随时间 变化的图形(折线),可以看出 CD4 大致有先增后减的趋势,HIV 有 先减后增的趋势,启示应建立时间的二次函数模型(若先用一次函数 模型,应与二次函数模型做统计分析比较)。附件 1 中个别病人缺 CD4 或 HIV 数据(数据表中为空),计算时应注意。 2.建立模型 可能有以下形式的回归模型:

1) 总体回归模型 用全部数据拟合一个模型,如 yij=b0+b1tij+b2tij2, tij 为第 i 病人第 j 次测量时间,yij 为第 i 病人第 j 次测量值(CD4, HIV)或测量值与初始值之比。一次与二次函数模型比较,二次较优。

用数据估计 b0,b1,b2, 对 CD4,b2<0, b1>0, t=-b1/2b2 达到最大;对 HIV,b2>0,b1<0, t=-b1/2b2 达到最小。一般在 25~30(周)CD4 达到 最大、HIV 达到最小。可以合理地确定最佳治疗终止时间。 2) 个人回归模型 用每个病人的数据拟合一个模型,如上式(bk 改 为 bik, k=0,1,2), 计算 bik 的均值和均方差,用均值同 1)可得 CD4 的最大点和 HIV 的最小点, 一般为 20~30 (周) 可对 CD4 统计 b2i<0, 。 b1i>0(存在正最大点)及 b2i>0(不存在最大点)的频率,对 HIV 统 计 b2i>0, b1i<0(存在正最小点)及 b2i<0(不存在最小点)的频率, 在一定条件下可以作为终止治疗与继续治疗的概率(一般为 0.6~0.8 与 0.3~0.2) 也可用 bik 的均值和均方差在一定分布的假定下直接计 ; 算这些概率。 注 1 建立几种模型相互比较、验证者较优。 注 2 不能只有模型,不做统计分析;对模型结果进行统计分析, 考虑与数据拟合程度、注意去除异常数据者较优 注 3 注意到有一些数据是当出现 CD4 下降、HIV 上升就及时结 束的,并做出适当考虑者较优。 注 4 注意到题目中 “艾滋病治疗的目的, 是尽量减少人体内 HIV 的数量,同时产生更多的 CD4,至少要有效地降低 CD4 减少的速度” , 并对结果做出适当考虑者较优

问题(2) 利用附件 2 的数据,评价 4 种疗法的优劣,并对较好疗法 预测继续治疗的效果,或者确定最佳治疗终止时间。 回归模型方法 1.分析数据 对于每种疗法随机取若干个病人,画出他们 CD4 随时 间变化的图形(折线),可以看出疗法 1~3 的 CD4 基本上水平, 略有下降,而疗法 4 有先增后减的趋势。启示应建立时间的一次 与二次函数模型,经统计分析比较,确定哪种较优。 2.建立模型 1)回归模型 可以引入 4(或 3)个 0-1 变量表示 4 种疗法建 立统一模型,或者对每种疗法各建立一个模型(一般来说前者较 优);仍可利用问题(1)中的各种模型。以总体回归模型为例,

分别用一次与二次时间函数模型进行比较,可知疗法 1~3 用一次模 型较优,且一次项系数为负,即 CD4 在减少,从数值看疗法 3 优于 疗法 2 和 1;疗法 4 用二次模型较优,即 CD4 先增后减,在 t=20 左 右达到最大。可以通过 4 条回归曲线进行比较,显示疗法 4 在 30 周之前明显优于其它。 年龄的处理:简单地增加年龄变量;按年龄分组,考虑不同年 龄的影响。 2)用假设检验做疗法有无显著性差异的两两比较 用 1 个 0-1 变量构造两种疗法的统一模型, 可以用 t 检验作回归系数是否为零的 假设检验(与回归系数置信区间是否含零点等价)。结果是疗法 1 与 2 无显著性差异,而疗法 1 与 3,2 与 3,3 与 4 均有显著性差异。



注意问题(1)的几个注。

线性规划模型方法 1. 数据分析 考虑到治疗的效果与患者的年龄有关,将患者按 年龄分组,如 14~25 岁,25~35 岁,35~45 岁及 45 岁以上 4 组。每组中 按照 4 种疗法和 4 个治疗阶段 (如 0~10 周, 10~20 周, 20~30 周, 30~40 周),构造 16 个决策单元。取 4 种药品量为输入,治疗各个阶段末 患者的 CD4 值与开始治疗时 CD4 值的比值为输出 2. 建立模型 利用相对有效性评价方法, 建立分式规划模型并 经过变换,转化为线性规划模型求解,对各年龄组患者在各阶段的治 疗效率进行评价。计算结果:对第 1 年龄组疗法 2 和 4 在整个治疗中 效率较高,在第 4 阶段仍然有效;对第 2 年龄组疗法 1 在第 1,2 阶 段有效;对第 3 年龄组疗法 1,2,3 在第 1 阶段有效;对第 4 年龄组 疗法 1,2 在第 1,2 阶段有效。表明只有 14~25 岁的年 4 种轻患者, 才能在治疗的最后阶段仍然有有效的疗法。 由线性规划模型的对偶形式建立预测模型,对各年龄组各种疗法 下一阶段的疗效进行预测。 若由某决策单元得到的实际输出大于预测 输出,则该决策单元相对有效;反之,说明该种疗法对该组患者在治 疗的未来阶段不再有效,应该转换疗法。

2007 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 A 题评阅要点

模型的建立必须考虑我国近年来人口发展的总趋势。例如,老 龄化进程加速、出生人口性别比持续升高、乡村人口城镇化等因素。 以下几点供阅卷参考。 1.分析数据 从详细数据中也可以看出。 附录 2 中给出的 2005 年人口数据就 是大约 1%的抽样调查数据。从网上及文献中还可以查到更多数据, 这里不一一列出。 2.建立模型 (1) 基本假设:从中国人口增长的特点出发,可以提出如下假设 作为建立模型的依据:老龄化进程加速;农村育龄妇女的生育率明显 高于城镇;出生人口的男女性别比持续升高;农村人口不断城镇化。 根据这些假设,区分模型中的状态变量和参数。 (2) 状态变量的设置:根据上述假设和数据分析,可以把城镇人 口与农村人口,及男女性别区分开来。另一方面,注意到育龄妇女的 生育率是决定人口增长的主要因素,可以对人口的年龄分布按不同年 龄段进行简化,以减少状态变量。 (3) 老龄化的影响:数据分析表明,在每一类人(比如城镇妇女) 中,老年人口在该类总人口中的比例逐年上升,而青壮年和幼年人口 比例逐年下降。可以通过对人口矩阵的迭代,或用其他模型方法,找 出他们上升或下降的一般规律。 (4) 农村人口以一定规律转化为城镇人口。 (5) 人口增长有迟滞效应。在附录 1 中提到“由于 20 世纪 80 年 代至 90 年代第三次出生人口高峰的影响”,导致在 2005-2020 年出 生人口数量会“出现一个小高峰”,这就是迟滞效应。如果在模型中适 当引进迟滞项,就可预测到这种“小高峰”现象。当然,此时的初值应 当是一个近几十年来的人口变化函数。这个函数可以从网上搜索到, 也可以用 1(4)提示的方法找出。当然,这可能有一定难度,不一定作 为必须要考虑的要求。如果有同学考虑到这种迟滞效应,应该说是有 创意的。

(6) 在本题的数据说明中曾指出“个别数据有异常,原文如此,可 酌情处理。”实际上,这些异常数据在个别年份才会出现,如果把他 们从总体上进行拟合,对整个模型的建立应该是没有很大影响的。而 且一些异常通过查阅其他资料也可得到纠正。附录 2 中最大的异常是 关于 2003 年育龄妇女的生育率数据,这里按原《年鉴》中说法以千 分比计,实际应该是百分比,相差十倍(在该附录最后几行给出的总 生育率中已把它们恢复正常) 。正如一开始及下面所强调的,本题的 重点是要根据我国近年来人口发展的总趋势和特点来建立模型,因 此,必须从总体上来把握数据。 (7) 如果有学生考虑人口分布的地区和产业等差别,也是可以 的,但需要自己补充相关数据。

3.模型的求解和预测 用适当的数值方法求解所得的数学模型 即可得到今后几十年的 , 预测结果。可以把这些结果与附录 1 《国家人口发展战略研究报告》 ( ) 或其他文献中的结果进行对照分析。如出现较大差异,则应找出原 因,予以改进,或提出自己的看法 4.关于文献与模型的“自我评价” (1) 本问题提供的文献(附录 1)是要求重点阅读的。此外,还应 列出自己查阅过并引用的比较可靠和权威的文献,包括论文、著作和 数据,都要注明出处。如果是网上的,则应列出网址。 (2) 在评阅学生对自己模型的优点与不足的评价时,一定要注意 是否实事求是。

2007 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 B 题评阅要点 命题思路 本题根据公交线路查询系统研制的实际需求简化改编而 成。问题容易理解,相关参考文献也较多,但涉及到公汽与地铁线路 的联系,以及换乘时间等细节的处理,加上需要处理的数据量较大,

问题并不十分简单。这是一个多目标优化问题,换乘次数最少、费用 最省、时间最短显然是乘客在选择乘车线路时最关心的几个目标,从 该问题的实际背景来看, 采取加权合成将问题转化为单目标优化问题 的解题思路不太合适。比较适当的方法是对每个目标寻求最佳线路, 然后让乘客按照自己的需求进行选择。本题 1、2 问要求在不知道站 点地理信息的条件下给出解决线路选择问题的模型与算法, 并就题目 给定的数据计算得到线路选择结果,此二问主要考核建模及编程能 力。第 3 问加上了步行因素,建模难度更大一些。 问题 1 不考虑地铁线路时的公交线路选择 可能主要有以下几种解法。 1、 图论模型,这可能是最常使用的方法,首先要考虑如何根据不同目标 建立有向赋权图(如利用不同的矩阵表示),然后再求给定点对之间 的最小换乘次数或最短路。求两点间最短路有 Dijkstra 算法与 Floyd 算法等,但并不能将这两种算法直接套用于本问题,还需要处理好换 乘和换乘时间问题,阅卷时需要重点关注。 2、 规划模型,包括 0-1 规划方法与动态规划方法等。 3、数据库模型,利用数据库技术直接对线路及站点数据进行搜索。

[注](1)本问的关键点是换乘时间的处理及最短时间线路的选择。

(2)若算法运算时间比较长,可事先计算出所有最佳线路,将结果 存入数据库备查。因此算法的运算时间问题不是本题的考察重点。 (3) 对于原始数据中出现的一些异常数据,同学可根据自己的理解 作出假设和处理。如: ?? 对于个别线路相邻站点名相同, 可以采取去掉其中 1 个点或不作处理 等方式,一般不会影响实例计算中线路选择的结果。 ?? 对于 L406 未标明是环行线的问题, 无论学生是否将其当作环线处理, 一般不会影响到实例的计算结果。 ?? 对于 L290 标明是环线,但首尾站点分别为 1477 与 1479 的问题,可 将所有线路中 1477 与 1479 统一为 1477 后计算。同学也可以按照各 自认为合理的方式处理,包括不当作环线,实例计算用到的是该线路 中部的几个站点,一般不会影响实例计算结果。 问题 2 考虑地铁线路时的公交线路选择

本问可有多种处理方法,关键看合理性与可操作性。换乘时间的处理 较第一问要复杂,需重点关注。

问题 3 已知站点间步行时间条件下的公交线路选择

这是比较一般的线路选择问题,更接近实际。由于增加了步行因素, 每个站点的可换乘方案大大增加了, 于是用图论方法处理的难度也会 有很大增加。最常用的目标有:换车次数最少,乘车的总站数最少, 步行的总时间最少,总车费最少等等,应该针对不同的情况分别写出 模型。 实例结果 [注](1)本计算结果由命题人提供,并不一定完全准确(如最优可 能仅为次优),仅供参考。此外,由于假设的不同(如对换乘时间的 处理不同),结果也可能会有差异。 (2)下表中每行第 1 目标为最优结果(带 * 号者),其余两个目标 在第 1 目标最优条件下为最优或次优结果。 (表中“时间”包括起始 站点处的 3 分钟等车时间。)
2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 B 题评阅要点

高等教育学费标准是社会关注的热点之一,是一个相当开放的问题, 许多媒体的讨论都缺乏数据的支持和定量的分析。评阅中除了目中的 明确要求外,要特别注意以下问题: 1. 应多角度、全面、综合地考虑学费标准问题。模型中至少应考虑 教育质量的保证和承受能力两个方面;例如,培养成本、成本分担、 承受能力、长远收益、国际比较、历史比较等方面的考虑.
2. 数据的收集非常重要。应该收集充分的、有根据、有说服力的数据,并能支持建模的结 论。估计可能收集到的数据有:国民经济增长数据,教育经费的比例,国家生均拨款和其它 教育投入,培养一个大学生平均每年所需费用、学校每年的运营开支、每年报考大学的人数 和录取人数、学生分布结构,家庭经济收入分布、困难学生的人数、每个学生每年的学费、

生活费、奖学金、助学金、贷款、捐赠款等。

3. 应该通过数据的统计分析和建模深入细致地讨论学费标准问题, 要有明确的结论 2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 A 题评阅要点 (1)靶标上圆的像是椭圆,但圆心的像一般不是椭圆的形心。对给 定的坐标系,由相片可获取靶标圆的像的边界坐标数据,根据 这些边界点的原像落在靶标平面且落在对应圆周上的性质,利 用光学成像原理可建立确定靶标平面方程和靶标圆的圆心坐标 的非线性方程组数学模型,进而求得靶标圆心像的坐标。模型 求解可直接求解非线性方程组,也可化为优化问题求解。由于 在某些情形模型可能有多解,化为优化问题后,目标函数有可 能为多峰,在求解时应加以注意。 (2) 要以模型的合理性和优劣作为主要评价标准,不要以数值结果 好坏作为评价的唯一标准。 (3) 模型检验是数学建模的一个重要环节。但以往重视不够。对 本问题,应对于靶标平面具有已知特殊倾角的情形,分别对有 无误差的情形逆向设计数据,即在靶标平面方程和圆方程已知 的情况下,根据光学成像原理,计算获得圆周像的各点坐标和 圆心像的坐标。 利用圆周像的各点坐标数据 (并加上随机误差)

用建立的模型和方法,计算出圆心的像坐标,并与通过光学成 像原理计算所得的圆心像坐标进行比较,检验模型与方法的有 效性与稳定性。精度是一个复杂的问题,鼓励学生发挥自己的 想象力加以研究。 (4) 对两部相机各自取固定在其上的坐标系,决定它们相对位置即 确定这两个坐标系之间的变换关系。此变换可分解为一个平移 和一个绕原点的旋转。于是要确定一个三维平移向量 t 和一个 旋转变换矩阵 R, R 是一个正交阵,因此需要确定 6 个未知的 参数。从靶标上若干个圆的圆心的像坐标可以得到它们分别在 在两个相机坐标系中的坐标。根据这些点的坐标变换关系,可 得一个方程组,足以确定 6 个未知参数,从而确定变换关系。 [注] 关于最早公布的题中存在的个别错误之处地说明:按照题中所 给图像,同学应该能够判断出相机分辨率是 1024*768,而不是 1024*786;如果同学按最早公布的题中所说的像距就是焦点(正确的 说法应该是光心)到像平面的距离建模和计算,可能会影响到数值结 果,但这些问题本质上对模型和算法及其检验、分析的影响不大。

(1)lingo 或 lindo 求解多目标规划是要通过编程把多目标转化为单 目标的,至于怎么转换,方法就很多了,其中加权法最常用但主观性 太大,分层序列法适合于各目标间有明显优先级的情况; (2)至于 0-1 规划,lingo 或 lindo 都可以求解,matlab7.0 也有自带

的 bintprog 可以求解; (3)matlab 没有自带的直接求多目标规划的函数,即便 7.0 版也是 如此,但不排除一些学者自己编写的工具箱函数。



者: 袁新生 等主编

出 版 社: 科学出版社
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出版时间: 2007-1-1 字 版 页 数: 303000 次: 1 数: 246

印刷时间: 2007/01/01 开 印 纸 本: 次: 张: 胶版纸

I S B N : 9787030179814 包 装: 平装

内容简介 本书深入浅出地介绍了 LINGO 的基础知识、用 LINGO 语言描述现 实问题的方法和用 Excel 处理数据的方法, 重点是这两种软件在解决 各种优化问题以及在数学建模中的应用,通过丰富的实例介绍了把

实际问题转化为数学模型的方法, 以及综合运用 LINGO 等软件来求 解模型的手段和技巧。 本书的主要内容包括 LINGO 的基本用法、LINGO 在图论和网络模 型中的应用、用 LINGO 求解非线性规划和多目标规划、LINGO 与 其他软件之间的数据传递、Excel 在数学建模中的应用和 LINGO 在 数学建模中的应用实例等。 本书可作为高等院校研究生、本科生和专科生的数学建模培训教材 或参考书,也是从事数学建模教学和建模竞赛指导的教师、对数学 建模有兴趣的科研人员有价值的参考书,还可以作为一本内容较全 面的 LINGO 软件使用和培训教材。 目录 前言 第 1 章 LINGO 的基本用法 1.1 LINGO 入门 1.1.1 概况 1.1.2 LINGO 的基本用法 1.2 用 LINGO 编程语言建立模型 1.2.1 LINGO 模型的基本组成 1.2.2 IANGO 语言的优点 1.3 LINGO 的菜单 1.3.1 文件(151e)菜单

1.3.2 编辑(Edit Menu)菜单 1.3.3 LINGO 菜单 1.3.4 窗口(Window)菜单 l.3.5 帮助(Help)菜单 1.4 LINGO 的参数设置 1.4.1 Interface(界面)选项卡 1.4.2 General Solver(,通用求解器)选项卡 1.4.3 Linear Solverl(线性求解器)选项卡 1.4.4 Nonlinear Solver(非线性求解器)选项卡 1.4.5 Integer Pre.Solver(整数预处理求解器)选项卡 1.4.6 Integer Solve(整数求解器)选项卡 1.4.7 Global Solver(全局最优求解器)选项卡 1.5 LINGO 的运算符和函数 1.5.1 LINGO 的常用运算符 1.5.2 数学函数 1.5.3 概率函数 1.5.4 集合操作函数 1.5.5 变量定界函数 1.5.6 文件输入输出函数 1.5.7 金融函数 1.5.8 结果报告函数 1.5.9 其他函数

1.6 几点补充说明 1.6.1 稠密集合与稀疏集合 1.6.2 数据段的几点说明 1.6.3 初始化段 1.6.4 模型的标题 1.7 LINGO 的典型应用举例 1.7.1 下料问题 1.7.2 配料问题 1.7.3 选址问题 1.7.4 指派问题 1.7.5 投资问题 1.7.6 装箱问题 1.8 用 LINGO 实现非线性曲线拟合 1.8.1 曲线拟合及最小二乘法 1.8.2 用 LINGO 求非线性曲线拟合的最小二乘解 习题一 第 2 章 UNGO 在图论和网络模型中的应用 2.1 最短路问题 2.1.1 图的基本概念 2.1.2 最短路问题 2.2 旅行售货商(TSP)模型 2.2.1 TSP 模型的数学描述

2.2.2 LINGO 程序设计 2.3 最小生成树和最优连线 2.3.1 把最优连线问题转化成整数规划 2.3.2 LINGO 程序设计 2.4 最大流问题 2.4.1 问题的描述 2.4.2 数学模型 2.4.3 最小费用最大流 习题二 第 3 章 用 LlNGO 求解非线性规划和多目标规划 3.1 用 LINGO 求解非线性规划 3.1.1 飞行管理问题 3.1.2 火力发电厂购油计划的优化 3.2 LINGO 在多目标规划和最大最小化模型中的应用 3.2.1 多目标规划的常用解法 3.2.2 最大最小化模型 3.2.3 用 LINGO 求解多目标规划和最大最小化模型 习题三 第 4 章 LlNGO 与外部文件之间的数据传递 4.1 通过 windows 剪贴板传递数据 4.2 LING0 与文本文件之间的数据传递 4.2.1 从文本文件读取数据

4.2.2 把数据(计算结果)写入文本文件 4.3 LINGO 与 Excel 文件之间的数据传递 4.3.1 从 Excel 文件中导入数据 4.3.2 将计算结果导出到 Excel 文件中 4.4 LING0 与数据库的接口 4.4.1 LINGO 与 Access 数据库之间的数据传递 4.4.2 @ODBC 函数的使用格式 习题四 第 5 章 Excel 在数学建模中的应用 5.1 Excel 的数据处理功能 5.1.1 Excel 的函数 5.1.2 Excel 的数据分析功能 5.2 用 Excel 绘制图表 5.2.1 创建图表的步骤 5.2.2 编辑和修改图表 5.2.3 绘图实例——用 Excel 绘制任意一元函数的图像 5.3 总体分布的假设检验 5.3.1 x2 检验法的基本思路 5.3.2 方法步骤 5.4 回归分析 5.4.1 回归分析的概念 5.4.2 一元线性回归

5.4.3 多元线性回归 5.4.4 可化为线性的非线性回归 习题五 第 6 章 LlNGO 在数学建模中的应用实例 6.1 最优渡江路线 6.1.1 问题的提出 6.1.2 基本假设 6.1.3 问题的分析 6.1.4 模型的建立和求解 6.2 钢管订购和运输计划的优化 6.2.1 问题的提出 6.2.2 符号说明 6.2.3 问题的分析 6.2.4 模型的建立 6.2.5 模型的求解 6.2.6 销价与产量上限的灵敏度分析 6.3 电力市场输电阻塞管理的优化 6.3.1 问题的提出 6.3.2 问题的分析 6.3.3 有功潮流的近似表达式 6.3.4 阻塞费用计算规则 6.3.5 问题(3)的模型

6.3.6 问题(4)的模型 6.3.7 问题(5)的模型 6.4 DVD 在线租赁的优化管理 6.4.1 问题的提出 6.4.2 基本假设 6.4.3 问题(1)的分析和解答 6.4.4 问题(2)的分析、建模和解答 6.4.5 问题(3)的分析和求解 6.5 露天矿生产车辆的优化安排 6.5.1 问题的提出 6.5.2 基本假设 6.5.3 符号说明 6.5.4 问题的分析 6.5.5 问题(1)的模型及求解 6.5.6 问题(2)的求解 参考文献 LinGo 11.0-全部软件教程列表


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