高三数学第二轮复习教案第5讲解析几何问题

高三数学第二轮复习教案 第 5 讲 解析几何问题的题型与方法(二)

五、注意事项 1. (1) 直线的斜率是一个非常重要的概念,斜率 k 反映了直线相对于 x 轴的倾斜程度。当斜率 k 存在时, 直线方程通常用点斜式或斜截式表示,当斜率不存在时,直线方程为 x=a(a∈R) 。因此,利用直线的点斜式或 斜截式方程解题时,斜率 k 存在与否,要分别考虑。 (2) 直线的截距式是两点式的特例,a、b 分别是直线在 x 轴、y 轴上的截距,因为 a≠0,b≠0,所以当直 线平行于 x 轴、平行于 y 轴或直线经过原点,不能用截距式求出它的方程,而应选择其它形式求解。 (3)求解直线方程的最后结果,如无特别强调,都应写成一般式。 (4)当直线 l1 或 l 2 的斜率不存在时,可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直 (5)在处理有关圆的问题,除了合理选择圆的方程,还要注意圆的对称性等几何性质的运用,这样可以简 化计算。

2. (1)用待定系数法求椭圆的标准方程时,要分清焦点在 x 轴上还是 y 轴上,还是两种都存在。 (2)注意椭圆定义、性质的运用,熟练地进行 a、b、c、e 间的互求,并能根据所给的方程画出椭圆。 (3)求双曲线的标准方程 定系数法求解。 应注意两个问题: (1) 正确判断焦点的位置; (2) 设出标准方程后,运用待

(4)双曲线

b x2 y2 x2 y2 y ? ? x ? ? 0 。若已知双曲线的渐近线方程是 ? ? 1 的渐近线方程为 或表示为 a a2 b2 a2 b2

y??

m x ,即 m x ? ny ? 0 ,那么双曲线的方程具有以下形式: n

m 2 x 2 ? n 2 y 2 ? k ,其中 k 是一个不为零的常数。
x2 y2 y2 x2 2 2 2 ( 5 )双曲线的标准方程有两个 2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 ( a > 0 , b > 0 ) 。这里 b ? c ? a ,其中 a b a b
| F1 F2 |=2c。要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同。 (6)求抛物线的标准方程,要线根据题设判断抛物线的标准方程的类型,再求抛物线的标准方程,要线根 据题设判断抛物线的标准方程的类型,再由条件确定参数 p 的值。同时,应明确抛物线的标准方程、焦点坐标、 准线方程三者相依并存,知道其中抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存,知道其中一个,就可 以求出其他两个。

六、范例分析

例 1、求与直线 3x+4y+12=0 平行,且与坐标轴构成的三角形面积是 24 的直线 l 的方程。 分析:满足两个条件才能确定一条直线。一般地,求直线方程有两个解法,即用其中一个条件列出含待定系 数的方程,再用另一个条件求出此参数。 解法一:先用“平行”这个条件设出 l 的方程为 3x+4y+m=0①再用“面积”条件去求 m,∵直线 l 交 x 轴于

A(? m ,0) ,交 y 轴于 B(0,? m) 由 1 ? ? m ? ? m ? 24 ,得 m ? ?24 ,代入①得所求直线的方程为: 3x ? 4 y ? 24 ? 0 2 3 4 3 4
解法二:先用面积这个条件列出 l 的方程,设 l 在 x 轴上截距离 a,在 y 轴上截距 b,则有 ab ? 24 ,因为 l 的倾角为钝角,所以 a、b 同号,|ab|=ab,l 的截距式为 ?

1 2

x y ?1 ,即 48x+a2y-48a=0②又该直线与 3x+4y+2=0 a 48 a

平行,∴

48 ? a2 ? ? 48a ,∴ a ? ?8 代入②得所求直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 24 ? 0 3 4 2

说明:与直线 Ax+By+C=0 平行的直线可写成 Ax+By+C1=0 的形式; 与 Ax+By+C=0 垂直的直线的方程可表示 为 Bx-Ay+C2=0 的形式。

例 2、若直线 mx+y+2=0 与线段 AB 有交点,其中 A(-2,3) ,B(3,2) ,求实数 m 的取值范围。

解:直线 mx+y+2=0 过一定点 C(0,-2) ,直线 mx+y+2=0 实际上表示的是过定点(0,-2)的直线系,因 为直线与线段 AB 有交点,则直线只能落在∠ABC 的内部,设 BC、CA 这两条直线的斜率分别为 k1、k2,则由 斜率的定义可知,直线 mx+y+2=0 的斜率 k 应满足 k≥k1 或 k≤k2,∵A(-2,3) B(3,2) ∴ k1 ?

4 3

k2 ? ? 5 2 4 或-m≤ ? 5 即 m≤ ? 4 或 m≥ 5 3 2 3 2

∴-m≥

说明:此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题,这里要清楚直线 mx+y+2=0 的斜率-m 应为倾角的 正切,而当倾角在(0°,90°)或(90°,180°)内,角的正切函数都是单调递增的,因此当直线在∠ACB 内部变化时,k 应大于或等于 kBC,或者 k 小于或等于 kAC,当 A、B 两点的坐标变化时,也要能求出 m 的范围。

例 3、已知 x、y 满足约束条件

x ?1 ? ? ? x ? 3 y ? ?4 ?3 x ? 5 y ? 30 ?
求目标函数 z=2x-y 的最大值和最小值。 解:根据 x、y 满足的约束条件作出可行域,即如图所示的阴影部分(包括边界) 。

作直线 l 0 :2x-y=0,再作一组平行于 l 0 的直线 l:2x-y=t,t∈R。 可知,当 l 在 l 0 的右下方时,直线 l 上的点(x,y)满足 2x-y>0,即 t>0,而且直线 l 往右平移时,t 随之 增大。当直线 l 平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上的点 B,此时所对应的 t 最大;当 l 在 l 0 的左上方时,直 线 l 上的点(x,y)满足 2x-y<0,即 t<0,而且直线 l 往左平移时,t 随之减小。当直线 l 平移至 l 2 的位置时, 直线经过可行域上的点 C,此时所对应的 t 最小。



? x ? 3y ? 4 ? 0 ? ?3x ? 5 y ? 30 ? 0 x ?1 ? ? ?3x ? 5 y ? 30 ? 0

解得点 B 的坐标为(5,3) ;



解得点 C 的坐标为(1,

27 ) 。 5

所以, z最大值 =2×5-3=7; z最小值 =2×1-

27 17 =? 。 5 5

例 4、某运输公司有 10 辆载重量为 6 吨的 A 型卡车与载重量为 8 吨的 B 型卡车,有 11 名驾驶员。在建筑某 段高速公路中,该公司承包了每天至少搬运 480 吨沥青的任务。已知每辆卡车每天往返的次数为 A 型卡车 8 次, B 型卡车 7 次;每辆卡车每天的成本费 A 型车 350 元,B 型车 400 元。问每天派出 A 型车与 B 型车各多少辆, 公司所花的成本费最低,最低为多少?

解:设每天派出 A 型车与 B 型车各 x、y 辆,并设公司每天的成本为 z 元。由题意,得

x ? 10 ? y?5 ? ? ? x ? y ? 11 x,y∈N, ? ?48x ? 56 y ? 60 ?
且 z=350x+400y。

? x ? 10 y?5 ? ? 即 ? x ? y ? 11 ? ? ?6 x ? 7 y ? 55

x,y∈N,

作出可行域,作直线 l 0 :350x+400y=0,即 7x+8y=0。 作出一组平行直线:7x+8y=t 中(t 为参数)经过可行域内的点和原点距离最近的直线,此直线经过 6x+7y=60 和 y=5 的交点 A( 优解。 为求出最优解,必须进行定量分析。

25 25 ,5) ,由于点 A 的坐标不都是整数,而 x,y∈N,所以可行域内的点 A( ,5)不是最 6 6

25 +8×5≈69.2,所以经过可行域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)且与原点最小的直 6 线是 7x+8y=10,在可行域内满足该方程的整数解只有 x=10,y=0,所以(10,0)是最优解,即当 l 通过 B 点时,
因为,7× z=350×10+400×0=3500 元为最小。 答:每天派出 A 型车 10 辆不派 B 型车,公司所化的成本费最低为 3500 元。

例 5、已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点,AB=2、OT=t(0<t<1) ,以 AB 为直腰作直角梯形 AA?B?B , 使 AA? 垂直且等于 AT,使 BB? 垂直且等于 BT, A?B? 交半圆于 P、Q 两点,建立如图所示的直角坐标系。

(1)写出直线 A?B? 的方程; (2)计算出点 P、Q 的坐标; (3)证明:由点 P 发出的光线,经 AB 反射后,反射光线通过点 Q。
' ‘ 解: (1) 显然 A ?1,1 ? t ? , B ?? 1 , 1 ? t ?,于是 直线 A?B? 的方程为 y ? ?tx ? 1 ;

(2)由方程组 ?

? x 2 ? y 2 ? 1, ? y ? ?tx ? 1,

解出

P (0,1) 、 Q (

2t 1? t 2 , ); 1? t 2 1? t 2

(3) k PT ?

1? 0 1 ?? , 0?t t

k QT

1? t2 ?0 2 1? t2 1 1 ? t ? ? ? 。 2 2t t t (1 ? t ) ?t 1? t2

由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知,由点 P 发出的光线经点 T 反射,反射光线通过点 Q。 说明:需要注意的是,Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式,有趣吗?

例 6、设 P 是圆 M: (x-5)2+(y-5)2=1 上的动点,它关于 A(9,0)的对称点为 Q,把 P 绕原点依逆时 针方向旋转 90°到点 S,求|SQ|的最值。 解:设 P(x,y) ,则 Q(18-x,-y) ,记 P 点对应的复数为 x+yi,则 S 点对应的复数为: (x+yi) ·i=-y+xi,即 S(-y,x) ∴ | SQ|? (18? x ? y)2 ? (? y ? x)2

? 182 ? x 2 ? y 2 ? 36x ? 36y ? 2 xy ? x 2 ? y 2 ? 2 xy ? 2 ? x 2 ? y 2 ? 18x ? 18y ? 81? 81 ? 2 ? ( x ? 9) 2 ? ( y ? 9) 2
2 2 其中 ( x ? 9) ? ( y ? 9) 可以看作是点 P 到定点 B(9,-9)的距离,共最大值为| MB | ?r ? 2 53 ? 1 最小值

为 | MB | ?r ? 2 53 ? 1 ,则|SQ|的最大值为 2 106 ?

2 ,|SQ|的最小值为 2 106 ? 2

例 7、 已知⊙M: x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1, Q是x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点, (1)如果

| AB |?

4 2 ,求直线 MQ 的方程; 3

(2)求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程。 解:(1)由 | AB |?

4 2 ,可得 3

| MP |? | MA | 2 ?(

| AB | 2 2 2 2 1 ) ? 12 ? ( ) ? , 2 3 3

由射影定理,得 | MB |2 ?| MP | ? | MQ |, 得 | MQ |? 3, 在 Rt△MOQ 中,

| OQ |? | MQ | 2 ? | MO | 2 ? 3 2 ? 2 2 ? 5 ,
故 a ? 5或a ? ? 5 , 所以直线 AB 方程是

2x ? 5 y ? 2 5 ? 0或2x ? 5 y ? 2 5 ? 0;
(2)连接 MB,MQ,设 P( x, y), Q(a,0), 由 点 M,P,Q 在一直线上,得

2 y?2 ? , (*) 由射影定理得 | MB |2 ?| MP | ? | MQ |, ?a x
2 2 2 即 x ? ( y ? 2) ? a ? 4 ? 1, (**) 把(*)及(**)消去 a,

并注意到 y ? 2 ,可得 x ? ( y ? ) ?
2 2

7 4

1 ( y ? 2). 16

说明:适时应用平面几何知识,这是快速解答本题的要害所在。

例 8、直线 l 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,且与抛物线相交于 A ( x1 , y1 )和B( x2 , y 2 ) 两点。 (1)求证:

4x1 x2 ? p 2 ;
(2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦 CD,直线 l 不是 CD 的垂直平分线。

解: (1)易求得抛物线的焦点 F ( P ,0) 。
2
2 若 l⊥x 轴,则 l 的方程为 x ? P , 显然x1 x2 ? P 。

2

4


x 2 ? P(1 ?

l

不 垂 直 于

x

轴 , 可 设

y ? k(x ?

P ) 2

, 代 入 抛 物 线 方 程 整 理 得

2P P2 P2 。 )x ? ? 0, 则x1 x2 ? 2 4 4 k

综上可知

4x1 x2 ? p 2 。

2 2 2 2 (2)设 C ( c , c), D( d , d )且c ? d ,则 CD 的垂直平分线 l ? 的方程为 y ? c ? d ? ? c ? d ( x ? c ? d )

2p

2p

2

2p

4p

2 2 假设 l ? 过 F,则 0 ? c ? d ? ? c ? d ( p ? c ? d ) 整理得 2 2p 2 4p

(c ? d )(2 p 2 ? c 2 ? d 2 ) ? 0 ? p ? 0

? 2 p 2 ? c 2 ? d 2 ? 0 ,? c ? d ? 0 。

这时 l ? 的方程为 y=0, 从而 l ? 与抛物线 y 2 ? 2 px 只相交于原点。 而 l 与抛物线有两个不同的交点, 因此 l ? 与 l 不重合,l 不是 CD 的垂直平分线。 说明:此题是课本题的深化,课本是高考试题的生长点,复习要重视课本。

例 9、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,能否在此椭圆位于 y 轴左侧的部分上找到一点 M,使它到左准线的距离为它 4 3

到两焦点 F1、F2 距离的等比中项,若能找到,求出该点的坐标,若不能找到,请说明理由。 解:假设存在满足条件的点,设 M(x1,y1)a2=4,b2=3,∴a=2, b ?

3 ,c=1,∴ e ?

1 , 2

| MF1 | ? | MF2 |? ( a ? ex 1 )( a ? ex 1 ) ? a 2 ? e 2 x1 ? 4 ?

2

1 2 x1 ,点 M 到椭圆左准线的距离 4

d ? x1 ?
x1 ? ?

1 2 a2 ? x1 ? 4 , ∴ r1r2 ? d , ? 4 ? x1 ? ( x1 ? 4) 2 , ∴ 5x12 ? 32x1 ? 48 ? 0 , ∴ x1 ? ?4 或 4 c

12 ,这与 x1∈[-2,0)相矛盾,∴满足条件的点 M 不存在。 5 2 , 3

例 10、已知椭圆中心在原点,焦点在 y 轴上,焦距为 4,离心率为 (Ⅰ)求椭圆方程;

(Ⅱ)设椭圆在 y 轴正半轴上的焦点为 M,又点 A 和点 B 在椭圆上,且 M 分有向线段 AB 所成的比为 2, 求线段 AB 所在直线的方程。

解: (Ⅰ)设椭圆方程为

y2 x2 ? ?1 a2 b2

由 2c=4 得 c=2



c 2 ? a 3

故 a=3, b ? a ? c ? 5 ∴所求的椭圆方程为
2 2 2

y 2 x2 ? ?1 9 5

(Ⅱ)若 k 不存在,则

AM MB

? 2 ,若 k 存在,则设直线 AB 的方程为:y=kx+2

又设 A ( x1, y1 )

B( x 2 , y 2 )

? y ? kx ? 2 ? 由 ? x2 y2 ? ?1 ? 9 ?5



(9 ? 5k 2 ) x 2 ? 20kx ? 25 ? 0

x1 ? x2 ?

?20k 9 ? 5K 2



x1 ? x2 ?

?25 9 ? 5K 2



∵点 M 坐标为 M(0,2) ∴ AM ? (? x1 ,2 ? y1 ) MB ? ( x2 , y 2 ? 2)



AM MB

?2

得 AM ? 2MB ∴ (? x1 ,2 ? y1 ) ? 2( x2 , y2 ? 2)
20k … ③ 9 ? 5k 2
∴k ?
2 2 2 x2 ?

∴ x1 ? ?2 x2 代入①、②得 x2 ?

25 9 ? 5k 2



由③、④ 得 2(

20k 2 25 ) ? 2 9 ? 5k 9 ? 5k 2

1 3

k ??

3 3

∴线段 AB 所在直线的方程为: y ? ?

3 x ? 2。 3

说明:有向线段所成的比,线段的定比分点等概念,本身就是解析几何研究的一类重要问题。向量概念的引 入,使这类问题的解决显得简洁而流畅。求解这类问题可以用定比分点公式,也可以直接用有向线段的比解题。 另外,向量的长度,点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系,向量与解析几何的结合,为解决这些问 题开辟了新的解题途径。

例 11、已知直线 l 与椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 有且仅有一个交点 Q,且与 x 轴、y 轴分别交于 R、S,求 a2 b2

以线段 SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程. 解:从直线 l 所处的位置,设出直线 l 的方程, 由已知,直线 l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0). 代入椭圆方程 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2,得
b 2 x 2 ? a 2 (k 2 x 2 ? 2kmx? m2 ) ? a 2b 2 .

化简后,得关于 x 的一元二次方程

(a 2 k 2 ? b 2 ) x 2 ? 2ka 2 mx ? a 2 m 2 ? a 2b 2 ? 0.
于是其判别式 ? ? (2ka 2 m) 2 ? 4(a 2 k 2 ? b 2 )(a 2 m 2 ? a 2 b 2 ) ? 4a 2 b 2 (a 2 k 2 ? b 2 ? m 2 ). 由已知,得△=0.即 a 2 k 2 ? b 2 ? m 2 . ①

在直线方程 y ? kx ? m 中,分别令 y=0,x=0,求得 R(?

m ,0), S (0, m). k

y m ? ? x?? , ?k ? ? , 令顶点 P 的坐标为(x,y) , 由已知,得 ? 解得 k x ? ? ? ? y ? m . m ? y ? ?
2 2 代入①式并整理,得 a ? b ? 1 , 即为所求顶点 P 的轨迹方程. x2 y 2

2 2 说明:方程 a ? b ? 1 形似椭圆的标准方程,你能画出它的图形吗? x2 y 2

例 12、已知双曲线 求双曲线的方程;

x2 y2 2 3 3 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的距离是 . (1) 2 3 2 a b

(2)已知直线 y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的圆上,求 k 的值。

ab ab 3 解:∵(1) c ? 2 3 , 原点到直线 AB: x ? y ? 1 的距离 d ? a 2 ? b 2 ? c ? 2 . 。 a b a 3 ? b ? 1, a ? 3.
2 故所求双曲线方程为 x ? y 2 ? 1.

3

(2)把 y ? kx ? 5代入x 2 ? 3 y 2 ? 3 中消去 y,整理得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 30kx ? 78 ? 0 。 设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ), CD 的中点是 E( x0 , y0 ) ,则
x0 ? k BE x1 ? x2 15k 5 ? ? y 0 ? kx0 ? 5 ? , 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 y ?1 1 ? 0 ?? . x0 k

? x0 ? ky0 ? k ? 0,



15k 5k ? ? k ? 0, 又k ? 0,? k 2 ? 7 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k

故所求 k=± 7 。 说明:为了求出 k 的值,需要通过消元,想法设法建构 k 的方程。

例 13、过点 P(? 3, 0) 作直线 l 与椭圆 3x2+4y2=12 相交于 A、B 两点,O 为坐标原点,求△OAB 面积的最 大值及此时直线倾斜角的正切值。

分析:若直接用点斜式设 l 的方程为 y ? 0 ? k ( x ? 3) ,则要求 l 的斜率一定要存在,但在这里 l 的斜率有

可能不存在,因此要讨论斜率不存在的情形,为了避免讨论,我们可以设直线 l 的方程为 x ? my ? 3 ,这样就 包含了斜率不存在时的情形了,从而简化了运算。 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , l : x ? my ? 3

S ?AOB ?

1 1 | OP | ? | y1 | ? | OP | ? | y 2 |? 3 (| y1 | ? | y 2 |) ? 3 ( y1 ? y 2 ) 2 2

把 x ? my ? 3 代入椭圆方程得: 3(m2 y 2 ? 2 3my ? 3) ? 4 y 2 ? 12 ? 0 ,即

(3m2 ? 4) y 2 ? 6 3my ? 3 ? 0 , y1 ? y 2 ?

3 6 3m , y1 y 2 ? ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4

| y1 ? y 2 |?

108m 2 12 1 ? ? 144x 2 ? 48 2 2 2 2 (3m ? 4) 3m ? 4 3m ? 4

4 9m 2 ? 3 4 3 ? 3m 2 ? 1 4 3 ? 3m 2 ? 1 ? ? ? 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4 (3m 2 ? 1) ? 3
? 4 3m 3m 2 ? 1 ? 3 3m 2 ? 1
m?? 6 3

?

4 3 ?2 2 3

∴S ?

3 3 ? 2 ? 3 ,此时 3m 2 ? 1 ? 2 3m 2 ? 1

令直线的倾角为 ? ,则 tg? ? ?

3 6 ?? 2 6
6 。 2

即△OAB 面积的最大值为 3 ,此时直线倾斜角的正切值为 ?

例 14、 (2003 年江苏高考题)已知常数 a ? 0 ,向量 c ? (0, a), i ? (1,0). 经过原点 O 以 c ? ? i 为方向向量的直线与经过定点 A(0,a)以 i ? 2? c 为方向向量的直线相交于点 P,其 中 ? ? R. 试问:是否存在两个定点 E、F,使得|PE|+|PF|为定值。若存在,求出 E、F 的坐标;若不存在,说明理 由。 解:∵ i =(1,0) , c =(0,a) , ∴ c +λ i =(λ ,a) , i -2λ c =(1,-2λ a) 。 因此,直线 OP 和 AP 的方程分别为
?y ? ax 和 y ? a ? ?2?ax 。

消去参数λ ,得点 P( x, y) 的坐标满足方程 y( y ? a) ? ?2a 2 x 2 。
a ( y ? )2 2 ? 1. ……① a 2 ( ) 2

整理得

x2 ? 1 8

因为 a ? 0, 所以得:

(i)当 a ?

2 时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点 E 和 F; 2

(ii)当 0 ? a ? 2 时,方程①表示椭圆,焦点 E ( 1 1 ? a 2 , a ) 和 F (? 1 1 ? a 2 , a ) 为合乎题意的两个定点; 2 2 2 2 2 2 2 (iii)当 a ? 2 时,方程①也表示椭圆,焦点 E (0, 1 (a ? a 2 ? 1 )) 和 F (0, 1 (a ? a 2 ? 1 )) 为合乎题意的两个 2 2 2 2 2 定点。 说明:由于向量可以用一条有向线段来表示,有向线段的方向可以决定解析几何中直线的斜率,故直线的方 向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是:根据直线的方向向量得出直线方程,再转 化为解析几何问题解决。

例 15、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长、短轴端点分别为 A、B,从此椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线, a2 b2

恰好通过椭圆的左焦点 F1 ,向量 AB 与 OM 是共线向量。 (1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任意一点, F1 、 F2 分别是左、右焦点,求∠ F1QF2 的取值范围;

解: (1)∵ F1 (?c,0),则x M ? ?c, y M ?

b2 b2 ,∴ k OM ? ? 。 a ac

∵ k AB

b b2 b 2 ? ? , OM与 AB 是共线向量,∴ ? ? ? ,∴b=c,故 e ? 。 a ac a 2
F1Q ? r1 , F2Q ? r2 , ?F1 QF2 ? ? ,

(2)设

? r1 ? r2 ? 2a, F1F2 ? 2c,

cos ? ?

r12 ? r22 ? 4c 2 (r1 ? r2 ) 2 ? 2r1r2 ? 4c 2 a 2 a2 ? ? ?1 ? ?1 ? 0 r1 ? r2 2 2r1r2 2r1r2 r1r2 ( ) 2

当且仅当 r1 ? r2 时,cosθ =0,∴θ ? [0,

?
2

]。

说明:由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用,因此,解析几何中与平行线、 三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。 求解此类问题的关键是: 正确理解向量共线与解析 几何中平行、三点共线等的关系,把有关向量的问题转化为解析几何问题。

x2 y2 2 例 16、一条斜率为 1 的直线 l 与离心率为 的椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )交于 P、Q,两点,直 2 a b
线 l 与 Y 轴交于点 R,且 OP ? OQ ? ?3 , PR ? 3RQ ,求直线 l 和椭圆 C 的方程。

解:? 椭圆离心率为

c 2 2 2 2 ,? ? , a ? 2b a 2 2

x2 y2 所以椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,设 l 方程为: y ? x ? m , P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) 2b b

? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 2 2 2 由 ? 2b 消去 y 得 3x ? 4mx ? 2m ? 2b ? 0 b ?y ? x ? m ?
? ? 16m 2 ? 4 ? 3(2m 2 ? 2b 2 ) ? 8(?m2 ? 3b 2 ) ? 0 ? 3b 2 ? m 2 ? (*)
4 x1 ? x 2 ? ? m ……(1) 3 x1 x 2 ? 2 2 (m ? b 2 ) ……(2) 3

OP ? OQ ? ?3

所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? ?3
2

而 y1 y2 ? ( x1 ? m)(x2 ? m) ? x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m 所以 2 x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m 2 ? ?3
2 2

4 2 4 (m ? b 2 ) ? m 2 ? m 2 ? ?3 3 3
从而

所 以 3m ? 4b ? ?9 … … ( 3 ) 又 R(0, m) , PR ? 3RQ , (? x1 , m ? y1 ) ? 3( x2 , y 2 ? m)

? x1 ? 3x2 ……(4)

由(1) (2) (4)得 3m ? b ……(5)
2 2

2 由(3) (5)解得 b ? 3 , m ? ?1 适合 (*),

所以所求直线 l 方程为: y ? x ? 1 或 y ? x ? 1 ;椭圆 C 的方程为

x y2 ? ?1 6 3

2

说明:向量数量积的坐标表示,构建起向量与解析几何的密切关系,使向量与解析几何融为一体。求此类问 题的关键是:利用向量数量积的坐标表示,沟通向量与解析几何的联系。体现了向量的工具性。

例 17、已知椭圆 C 的中心在原点,焦点 F1、F2 在 x 轴上,点 P 为椭圆上的一个动点,且∠F1PF2 的最大值为 90°,直线 l 过左焦点 F1 与椭圆交于 A、B 两点,△ABF2 的面积最大值为 12. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)求椭圆 C 的方程. 解法一: (1)设| PF1 |=r1,| PF2 |=r2,| F1F2 |=2c,对 ?PF1 F2 , 由余弦定理,得
cos ?F1 PF2 ? r11 ? r22 ? 4c 2 (r1 ? r2 ) 2 ? 2r1 r2 ? 4c 2 4a 2 ? 4c 2 4a 2 ? 4c 2 ? ? ?1 ? ?1 r1 ? r2 2 2r1 r2 2r1 r2 2r1 r2 2( ) 2
e? 2 . 2

? 1 ? 2e 2 ? 0 , 解出

(2)考虑直线 l 的斜率的存在性,可分两种情况: i) 当 k 存在时,设 l 的方程为 y ? k ( x ? c) ………………①

椭圆方程为 由e ? 2 .
2

x2 y2 ? ? 1, A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) a2 b2


a 2 ? 2c 2 , b 2 ? c 2 。

于是椭圆方程可转化为 x2+2y2—2c2=0………………② 将①代入②,消去 y 得

x2 ? 2k 2 ( x ? c)2 ? 2c2 ? 0 ,

整理为 x 的一元二次方程,得 则 x1、x2 是上述方程的两根.且

(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4ck 2 x ? 2c 2 (k 2 ? 1) ? 0 。

| x2 ? x1 |?

2 2c 1 ? k 2 , 1 ? 2k 2
2 2c(1 ? k 2 ) , 1 ? 2k 2

| AB |? 1 ? k 2 | x2 ? x1 |?

AB 边上的高 h ?| F1 F2 | sin ?BF1 F2 ? 2c ?

|k| 1? k 2

,

S?

1 1? k 2 |k| 2 2c( ) 2c 2 2 1 ? 2k 1? k 2
1? k 2 | k | k2 ? k4 1 2 ? 2 2 c ? 2 2c 2 ? 2c 2 . 1 1 ? 2k 2 1 ? 4k 2 ? 4k 4 4? 4 k ? k2

? 2 2c 2

ii) 当 k 不存在时,把直线 x ? ?c 代入椭圆方程得

y??

2 1 c, AB ? 2c, S ? 2c ? 2c 2 2 2
由题意得 2c 2 =12 所以 c 2 ? 6 2 ? b 2
a 2 ? 12 2

由①②知 S 的最大值为 2c 2

故当△ABF2 面积最大时椭圆的方程为:

x2 y2 ? ? 1. 12 2 6 2

解法二:设过左焦点的直线方程为: x ? my ? c …………①
2 2 椭圆的方程为: x ? y ? 1, A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 2 2

a

b

由e ?

2 得: 2 a ? 2c 2 , b 2 ? c 2 , 于是椭圆方程可化为: x 2 ? 2 y 2 ? 2c 2 ? 0 ……② . 2

把①代入②并整理得: (m 2 ? 2) y 2 ? 2mcy? c 2 ? 0 于是 y1 , y2 是上述方程的两根。

AB ?
? 1 ? m2

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y2 ?2
4m 2 c 2 ? 4c 2 (m 2 ? 2) m ?2
2

? 1 ? m 2 y1 ? y 2

?

2 2c(1 ? m 2 ) , m2 ? 2

AB 边上的高 h ?

2c 1? m
2



2 从而 S ? 1 | AB | h ? 1 ? 2 2c(1 ? m ) ? 2

2c 1? m
2

2

2

m ?2

? 2 2c 2

1 ? m2 (m ? 2) 2

? 2 2c 2 m ?1?
2

1 1 ?2 m2 ? 1

? 2c 2 .

当且仅当 m=0 取等号,即 S max ? 由题意知 2c 2 ? 12 , 于是

2c 2 .

b 2 ? c 2 ? 6 2 , a 2 ? 12 2 。
x2 12 2 ? y2 6 2 ? 1.

故当△ABF2 面积最大时椭圆的方程为:

例 18、 (2002 年天津高考题)已知两点 M(-1,0) ,N(1,0)且点 P 使 MP ? MN, PM ? PN, NM ? NP 成 公差小于零的等差数列, (Ⅰ)点 P 的轨迹是什么曲线? (Ⅱ)若点 P 坐标为 ( x0 , y0 ) , ? 为 PM与PN 的夹角,求 tanθ 。 解: (Ⅰ)记 P(x,y) ,由 M(-1,0)N(1,0)得

PM ? ?MP ? (?1 ? x,? y)
所以

PN ? ?NP ? (?1 ? x,? y)

MN ? ?NM ? (2,0)

MP ? MN ? 2(1 ? x) NM ? NP ? 2(1 ? x)

PM ? PN ? x 2 ? y 2 ? 1

于是, MP ? MN, PM ? PN, NM ? NP 是公差小于零的等差数列等价于

1 ? 2 2 ? x ? y ? 1 ? [2(1 ? x) ? 2(1 ? x)] 2 ? ? ?2(1 ? x) ? 2(1 ? x) ? 0



?x 2 ? y 2 ? 3 ? ?x ? 0

所以,点 P 的轨迹是以原点为圆心, 3 为半径的右半圆。 (Ⅱ)点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) 。 PM ? PN ? x0 ? y 0 ? 1 ? 2 。
2 PM PN ? (1 ? x0 )2 ? y0 ? (1 ? x0 )2 ? y0 ? (4 ? 2 x0 ) ? (4 ? 2 x0 ) ? 2 4 ? x0 2 2

2

2

所以 cos ? ?

PM ? PN PM ? PN

?

1
2 4 ? x0

.

因 为

0<

x0 ? 3



所 以

1 ? ? cos ? ? 1,0 ? ? ? , 2 3

sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ?

sin ? 1 ? , tan? ? 2 cos? 4 ? x0

1?

1 2 4 ? x0

1 2 4 ? x0

2 ? 3 ? x0 ? y0 .

说明:在引入向量的坐标表示后,可以使向量运算代数化,这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起。 向量的夹角问题融入解析几何问题中,也就显得十分自然。求解这类问题的关键是:先把向量用坐标表示,再用 解析几何知识结合向量的夹角公式使问题获解; 也可以把两向量夹角问题转化为两直线所成角的问题, 用数形结 合方法使问题获解。


相关文档

高三数学第二轮复习教案 解析几何问题的题型与方法五 人教版
高三数学第二轮复习教案 第5讲 解析几何问题的题型与方法(二)
2013届高三数学第二轮专题复习教案:平面解析几何
高三数学二轮复习教案:专题五 解析几何 第一讲 直线与圆(1)
高三数学二轮复习教案:专题五 解析几何 第一讲 直线与圆
2011届高三数学第二轮复习教案:平面解析几何
《导学教程》高三数学二轮复习教案 专题五 解析几何 第一讲 直线与圆
高三数学第二轮复习教案 第5讲 解析几何问
2013高三数学精品复习教案:第八章 平面解析几何
08学年花都区高三数学第二轮复习(解析几何教案)
电脑版