普通高等学校招生全国统一考试数学试题理北京卷含答案(含答案)

2018 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理(北京卷) 本试卷共 5 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试 结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)已知集合 A={x||x|<2},B={–2,0,1,2},则 A (A){0,1} (C){–2,0,1,2} (2)在复平面内,复数 (A)第一象限 (C)第三象限 (3)执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为 B= (B){–1,0,1} (D){–1,0,1,2} 1 的共轭复数对应的点位于 1? i (B)第二象限 (D)第四象限 (A) (C) 1 2 7 6 (B) (D) 5 6 7 12 (4)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展 做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起, 每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 12 2 .若第一个单音的频率为 f,则第八个单 1 音的频率为 (A) 3 2 f (C) 12 25 f (B) 3 22 f (D) 12 27 f (5)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 (A)1 (C)3 (B)2 (D)4 (6)设 a,b 均为单位向量,则“ a ? 3b ? 3a ? b ”是“a⊥b”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 (7)在平面直角坐标系中,记 d 为点 P(cosθ ,sinθ )到直线 x ? my ? 2 ? 0 的距离,当 θ ,m 变化时,d 的最大值为 (A)1 (C)3 (B)2 (D)4 (8)设集合 A ? {( x, y) | x ? y ? 1, ax ? y ? 4, x ? ay ? 2}, 则 (A)对任意实数 a, (2,1) ? A (C)当且仅当 a<0 时, (2,1) ? A (B)对任意实数 a, (2,1) ? A (D)当且仅当 a ? 3 时, (2,1) ? A 2 第二部分(非选择题 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 共 110 分) (9)设 ?an ? 是等差数列,且 a1=3,a2+a5=36,则 ?an ? 的通项公式为__________. (10)在极坐标系中,直线 ? cos? ? ? sin ? ? a(a ? 0) 与圆 ? =2 cos ? 相切,则 a=__________. 2 π π () f ?( ) (11) 设函数 ( f x) = cos(? x ? )(? ? 0) , 若 fx 对任意的实数 x 都成立, 则 ω 的最小值为__________. 6 4 (12)若 x,y 满足 x+1≤y≤2x,则 2y–x 的最小值是__________. (13)能说明“若 f(x)>f(0)对任意的 x∈(0,2]都成立,则 f(x)在[0,2]上是增函数”为假命 题的一个函数是__________. x2 y 2 x2 y 2 (14)已知椭圆 M:2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,双曲线 N: 2 ? 2 ? 1 .若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个 a b m n 交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆 M 的离心率为__________;双曲线 N 的 离心率为__________. 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题 13 分) 在△ABC 中,a=7,b=8,cosB=– (Ⅰ)求∠A; (Ⅱ)求 AC 边上的高. 1 . 7 (16) (本小题 14 分) 如图,在三棱柱 ABC- A1 B1C1 中, CC1 ? 平面 ABC,D,E,F,G 分别为 AA1 ,AC, A1C1 , BB1 的中点, AB=BC= 5 ,AC= AA1 =2. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BEF; (Ⅱ)求二面角 B-CD-C1 的余弦值; (Ⅲ)证明:直线 FG 与平面 BCD 相交. (17) (本小题 12 分) 3 电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 电影类型 电影部数 好评率 第一类 140 0.4 第二类 50 0.2 第三类 300 0.15 第四类 200 0.25 第五类 800 0.2 第六类 510 0.1 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立. (Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (Ⅱ)从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部,估计恰有 1 部获得好评的概率; (Ⅲ)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等,用“ ? k ? 1 ”表示第 k 类 电影得到人们喜欢, “ ? k ? 0 ”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6) .写出方差 D?1 , D? 2 , D? 3 , D? 4 , D? 5 , D? 6 的大小关系. (18) (本小题13分) 设函数 f ( x) =[ ax2 ? (4a ? 1) x ? 4a ? 3 ] e x . (Ⅰ)若曲线y= f(x)在点(1, f (1) )处的切线与 x 轴平行,求a; (Ⅱ)若 f ( x) 在x=2处取得极小值,求a的取值范围. (19) (本小题 14 分) 已知抛物线 C: y 2 =2px 经过点 P (1,2) .过点 Q(0,1)的直线 l 与抛物线 C

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