高中数学第三章指数函数和对数函数5.3第2课时习题课——对数函数的图像及其性质的应用课件北师大必修1_图文

第2课时 习题课——对数函数 的图像及其性质的应用 学习目标 1. 进一步加深理解对数函数的概念 ( 重点 ) ; 2. 掌握 对数函数的性质及其应用(重、难点). 1.下列函数是对数函数的是( ) A.y=loga(2x) C.y=log2x+1 解析 B.y=log22x D.y=lg x 选项 A 、 B 、 C 中的函数都不具有“ y = logax(a>0 , a≠1)”的形式,只有D选项符合. 答案 D 1 2.函数 f(x)= +lg(3x+1)的定义域是( 1-x ? 1 ? A.?-3,+∞? ? ? ? 1 1? C.?-3,3? ? ? ? ?1-x>0, 由? ? ?3x+1>0, ) ? 1? B.?-∞,-3? ? ? ? 1 ? D.?-3,1? ? ? 解析 1 可得-3<x<1. 答案 D 3.已知函数f(x)=lg(x2+1),则( A.f(x)是偶函数 ) B.f(x)是奇函数 C.f(x)是R上的增函数 D.f(x)是R上的减函数 解析 因为 f( - x) = lg[( - x)2 + 1] = lg(x2 + 1) = f(x) ,且定义 域为R,关于原点对称,所以f(x)是偶函数.故选A. 答案 A 4. 已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在[0, +∞)上是增函数, 且 =0,则不等式 f(log4x)<0 的解集是________. 解析 ?1? f?2? ? ? 1 1 1 - 由 题 意 可 知 , f(log4x)<0 ? - 2 <log4x< 2 ? log44 2 1 <log4x<log442 1 ?2<x<2. 答案 ? ? ?1 ?x? ? ? ?2 ? ? <x<2? ? ? 题型一 简单对数不等式 【例 1】 已知函数 f(x)的图像与g(x) =logax(a>0 且 a≠1)的图像 关于x轴对称,解不等式f(2x)<f(x-1). 解 因为 f(x)与 g(x)的图像关于 x 轴对称,所以 f(x)=log1 x, a a a 故 f(2x)<f(x-1)?log1 (2x)<log1 (x-1). ?2x>0, ? 当 a>1 时,原不等式??x-1>0,?x>1, ?2x>x-1, ? ?2x>0, ? 当 0<a<1 时,原不等式??x-1>0, ?2x<x-1, ? 原不等式的解集为空集. 无解. 所以当 a>1 时,原不等式的解集是(1,+∞),当 0<a<1 时, 规律方法 解对数不等式的两种类型及转化方法 (1)当 a>1 时,①logaf(x)>b=logaab?f(x)>ab; ? ?f?x?>g?x?, ②logaf(x)>logag(x)?? ? ?g?x?>0. (2)当 0<a<1 b ? f ? x ? < a , ? b 时,①logaf(x)>b=logaa ?? ? ?f?x?>0; ? ?f?x?<g?x?, ②logaf(x)>logag(x)?? ? ?f?x?>0. 提醒 解简单对数不等式时不要忘记真数大于0这一条件. 【训练 1】 (1) 已知 log0.7(2x)<log0.7(x - 1) ,则 x 的取值范围是 ________. (2) 若 a∈R ,且 loga(2a + 1)<loga(3a)<0 ,则 a 的取值范围是 ________. ?2x>0, ? 解析 (1)原不等式??x-1>0, ?2x>x-1 ? ?x>0, ? ??x>1, ?x>-1 ? ?x>1. ? ?a>1, ?2a+1>0, (2)原不等式等价于? ?2a+1<3a, ? ?3a<1 ?0<a<1, ? 或?2a+1>3a, ?3a>1, ? ?1 ? 1 解得 a∈?或3<a<1,故 a 的取值范围是?3,1?. ? ? 答案 (1)x>1 ?1 ? (2)?3,1? ? ? 题型二 对数型复合函数的值域或最值 1 【例 2】 求 y=(log1 x) -2log1 x+5 在区间[2,4]上的最大值和 2 2 2 最小值. 解 因为 2≤x≤4,所以 log1 2≥log1 x≥log1 4, 2 2 2 2 即-1≥log1 x≥-2. 设 t=log1 x,则-2≤t≤-1, 2 1 1 所以 y=t -2t+5,其图像的对称轴为直线 t=4, 2 13 所以当 t=-2 时,ymax=10;当 t=-1 时,ymin= 2 . 规律方法 (1)这类问题一般通过换元法转化为一次函数或 二次函数的最值问题. (2)注意换元时新元的范围. 【训练 2】 已知实数 x 满足 4x-10· 2x+16≤0,求函数 y= (log3x)2-log3 x+2 的值域. 解 不等式 4x-10· 2x+16≤0 可化为(2x)2-10· 2x+16≤0, 即(2x-2)(2x-8)≤0.从而有 2≤2x≤8,即 1≤x≤3. 所以 0≤log3x≤1. 由于函数 y=(log3x)2-log3 x+2 可化为 ? 1?2 31 1 2 y=(log3x) -2log3x+2=?log3x-4? +16, ? ? 1 31 5 当 log3x=4时,ymin=16;当 log3x=1 时,ymax=2. ?31 5? 所以,所求函数的值域为?16,2?. ? ? 考查 方向 方向 1 题型三 对数型函数的综合应用 对数型函数的单调性与奇偶性 1-mx 【例 3-1】 已知函数 f(x)=loga (a>0,a≠1,m≠1)是奇 x-1 函数. (1)求实数 m 的值; (2)探究函数 f(x)在(1,+∞)上的单调性. 解 立. (1)由已知条件得 f(-x)+f(x)=0 对定义域中的 x 均成 mx+1 1-mx ∴loga +loga =

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