2019年北京海淀区高三二模数学(文科)试卷及答案解析_图文

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案

数 学 (文科)

2019.05

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

(1)B

(2)D

(3)B

(5)C

(6)B

(7)A

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

(4)C (8)D

( 9 )1, 2

(10) 0, 1

(11) b
(13) 2

(12) 24
(14) y ? x ?1 (答案不唯一),① ②

三、解答题(共 6 小题,共 80 分)

(15)(共 13 分)

解:(Ⅰ)在 △ ABC 中,因为 a ? 7 , b ? 8 , A ? π , 3

所以由正弦定理 sin B ? sin A

b

a

得 sin B ? bsin A ? 8 ? 3 ? 4 3 a 72 7

(Ⅱ)方法 1:

因为 a ? 7 , b ? 8 ,所以 B ? A ? π ,所以 C ? π ? π ? π ? π ,

3

33 3

即 C 一定为锐角, 所以 B 为 △ABC 中的最大角

所以 △ABC 为锐角三角形当且仅当 B 为锐角

因为 sin B ? 4 3 ,所以 cos B ? 1

7

7

因为 sinC ? sin(A ? B)

? sin AcosB ? cos Asin B

?5 3 14

所以 S△ABC

?

1 ab sinC 2

?

1 ?7?8? 2

53 14

? 10

3

方法 2:

由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bccos A

1 / 13

得 49 ? 64 ? c2 ? 2 ? 8 ? c ? 1 2
即 c2 ? 8c ?15 ? 0

解得 c ? 5 或 c ? 3

当 c ? 3 时, cos B ? a2 ? c2 ? b2 ? 0 ,与 △ABC 为锐角三角形矛盾,舍去
2ac
当 c ? 5 时, cos B ? a2 ? c2 ? b2 ? 0 ,所以 B 为锐角,
2ac
因为 b ? a ? c ,所以 B 为最大角,所以 △ABC 为锐角三角形

所以 S△ABC

?

1 bc sin 2

A

?

1 ?8?5? 2

3 ? 10 2

3.

所以 △ABC 的面积为10 3

(16)(共 13 分)

解:(Ⅰ)方法 1:

由题设得

??a2 ?a3

? ?

a1 a2

? ?

6 18

因为 ?an? 为等比数列,

所以

??a2 ?a2

? a1 ? q ? a1q

6 ?

18

所以 q ? 3

又因为 a2 ? a1 ? a1q ? a1 ? 6 所以 a1 ? 3 所以 an ? 3n
经检验,此时 an?1 ? an ? 3n?1 ? 3n ? 2 ? 3n 成立,且 ?an? 为等比数列
所以 a3 ? 33 ? 27 方法 2: 因为 an ? an?1 ? 2 ? 3n?1(n ? 2)
an?1 ? an?2 ? 2 ? 3n?2 an?2 ? an?3 ? 2 ? 3n?3
2 / 13

?

a3 ? a2 ? 2 ? 32

a2 ? a1 ? 2 ? 31 把上面 n ? 1 个等式叠加,得到
? ? an ? a1 ? 2 ? 3 ? 32 ? ... ? 3n?1 ? 3n ? 3

所以 an ? a1 ? 3 ? 3n (n ? 2)

而 a1 ? a1 ? 3 ? 31 也符合上式

所以 an ? a1 ? 3 ? 3n (n ? N*)
因为数列 ?an? 是等比数列,设公比为 q

所以对于 ?n?N* ,有

an?1 an

?

a1 ? 3 ? 3n?1 a1 ? 3 ? 3n

?

q

恒成立

所以 a1 ? 3 ? 3n?1 ? q(a1 ? 3 ? 3n ) ? 0

即 3n (3 ? q) ? (a1 ? 3)(1 ? q) ? 0

所以 q ? 3 , (a1 ? 3)(1 ? q) ? 0

而显然 q ? 1不成立,所以 a1 ? 3

所以 an ? 3n

所以 a3 ? 33 ? 27

方法 3:

由题设得:

?? ?

an

?

an ?1

??an?1 ? an

? ?

2 2

? 3n?1 ? 3n

,其中 n ? 2

因为 ?an? 为等比数列,

所以 an?1 ? q 对于 ?n?N* 恒成立 an

所以

???an ??an

? an?1 ? q ? an?1q

2 ? 3n?1 ? 2 ? 3n

3 / 13

所以 q ? 3

又因为 a2 ? a1 ? a1q ? a1 ? 6

所以 a1 ? 3

所以 a3 ? a1q2 ? 27 方法 4:
因为 ?an? 为等比数列,

所以,对于

?n ? N*

,有

a2 n?1

?

an an ? 2

恒成立

由 an?1 ? an ? 2 ? 3n , 得 an?1 ? an ? 2 ? 3n , an?2 ? an?1 ? 2 ? 3n?1 ? an ? 8 ? 3n
? ? ? ? 所以 an ? 2 ? 3n 2 ? an an ? 8 ? 3n
所以 an ? 3n

所以 q ? 3 , a3 ? 27

(Ⅱ)因为 an ? a1qn?1 ? 3n

所以 an?1 ? a1qn ? 3n?1

Sn

?

3(1 ? 3n) 1?3

?

3n?1 ? 3 2

因为

Sn

?

(?3)

?

3n?1 ? 2

3

?

3

?

3n?1 ? 2

3

an?1

?

Sn

?

3n?1

?

3n?1 ? 3 2

?

3n?1 ? 3 2

所以 Sn ? (?3) ? an?1 ? Sn

所以 ?3, Sn , an?1 成等差数列

4 / 13

(17)(共 14 分) 解:(Ⅰ)方法 1: 在图 1 的等腰梯形 ABCD 内,过 B作 AE 的垂线,垂足为 F , 因为 CE ? AD ,所以 BF ? EC 又因为 BC ? AD , BC ? CE ? 1, AD=3 所以四边形 BCEF 为正方形, 且 AF ? FE ? ED ? 1 , F 为 AE 中点 在图 2 中,连结 GF 因为点 G 是 AD1 的中点, 所以 GF ? D1E
又因为 BF ? EC , GF ? BF ? F ,
GF,BF ? 平面 BFG , D1E, EC ? 平面 D1EC , 所以平面 BFG ? 平面 CED1 又因为 BG ? 面GFB ,所以 BG ? 平面 D1EC 方法 2: 在图 1 的等腰梯形 ABCD 内,过 B作 AE 的垂线,垂足为 F 因为 CE ? AD ,所以 BF ? EC 又因为 BC ? AD , BC ? CE ? 1, AD=3 所以四边形 BCEF 为正方形, F 为 AE 中点 在图 2 中,连结 GF 因为点 G 是 AD1 的中点, 所以 GF ? D1E 又 D1E ? 平面 D1EC , GF ? 平面 D1EC 所以 GF ? 平面 D1EC
又因为 BF ? EC , EC ? 平面 D1EC , BF ? 平面 D1EC 所以 BF ? 平面 D1EC
又因为 GF ? BF ? F 所以平面 BFG ? 平面 D1EC 又因为 BG ? 面GFB ,所以 BG ? 平面 D1EC 方法 3: 在图 1 的等腰梯形 ABCD 内,过 B作 AE 的垂线,垂足为 F , 因为 CE ? AD ,所以 BF ? EC
5 / 13

又因为 BC ? AD , BC ? CE ? 1, AD=3 所以四边形 BCEF 为正方形, AF ? FE ? ED ? 1 ,得 AE ? 2 所以 BC ? AE, BC= 1 AE
2 在图 2 中设点 M 为线段 D1E 的中点,连结 MG, MC , 因为点 G 是 AD1 的中点, 所以 GM ? AE, GM = 1 AE
2 所以 GM ? BC,GM =BC ,所以四边形 MGBC 为平行四边形 所以 BG ? CM 又因为 CM ? 平面 D1EC , BG ? 平面 D1EC 所以 BG ? 平面 D1EC (Ⅱ) 因为平面 D1EC ? 平面 ABCE ,
平面 D1EC ? 平面 ABCE ? EC , D1E ? EC, D1E ? 平面 D1EC , 所以 D1E ? 平面 ABCE 又因为 AB ? 平面 ABCE 所以 D1E ? AB 又 AB ? 2, BE ? 2, AE ? 2 ,满足 AE2 ? AB2 ? BE2 , 所以 BE ? AB 又 BE ? D1E ? E 所以 AB ? 平面 D1EB (Ⅲ) CE ? D1E,CE ? AE , AE ? D1E ? E

所以 CE ? 面D1AE

线段 CE 为三棱锥 C ? D1 AE 底面 D1AE 的高

所以 VD1?GEC =

1 2

VC

?

D1

AE

?

1 2

?1? 3

1 2

?1? 2?1?

1 6

18. (共 13 分)搜索北京高考在线网,获取更多试题及答案

解:(Ⅰ)设事件 A 为“随机选取一天,这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不

少于 65 单”

依 题 意 , 连 锁 店 的 人 均 日 快 递 业 务 量 不 少 于 65 单 的 频 率 分 别 为 :

6 / 13

0.2,0.15,0.05

因为 0.2 ? 0.15 ? 0.05 ? 0.4
所以 P(A) 估计为 0.4 .

(Ⅱ)设事件 B 为“从四名骑手中随机选取 2 人,至少有 1 名骑手选择方案(1)” 从四名新聘骑手中随机选取 2 名骑手,有 6 种情况,即 {甲,乙} ,{甲,丙},{甲,丁}, {乙,丙},{乙,丁},{丙,丁} 其中至少有 1 名骑手选择方案(1)的情况为 {甲,乙} ,{甲,丙},,{甲,丁}, {乙,丙},{乙,丁} 所以 P(B) ? 5 6
(Ⅲ)方法 1: 快餐店人均日快递量的平均数是: 30 ? 0.05 ? 40 ? 0.05 ? 50 ? 0.2 ? 60 ? 0.3 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.15 ? 90 ? 0.05 ? 62 因此,方案(1)日工资约为 50 ? 62 ? 3 ? 236
方案 2 日工资约为100 ? ?62 ? 44 ?? 5 ?190 ? 236

故骑手应选择方案(1) 方法 2:

设骑手每日完成快递业务量为 n 件

方案(1)的日工资 y1 ? 50 ? 3n(n ? N*) ,

方案(2)的日工资

y2

?

??100, n ? 44, ? ??100 ? 5(n ?

n ? N* 44), n ?

44,

n

?

N*

当 n ? 17 时, y1 ? y2

依题意,可以知道 n ? 25 ,所以这种情况不予考虑 当 n ? 25 时
令 50 ? 3n ?100 ? 5?n ? 44?

则 n ? 85 即若骑手每日完成快递业务量在 85 件以下,则方案(1)日工资大于方案(2) 日工资,而依题中数据,每日完成快递业务量超过 85 件的频率是 0.05 ,较

7 / 13

低,

故建议骑手应选择方案(1) 方法 3:

设骑手每日完成快递业务量为 n 单,

方案(1)的日工资 y1 ? 50 ? 3n(n ? N*) ,

方案(2)的日工资

y2

?

??100, n ? 44, ? ??100 ? 5(n ?

n ? N* 44), n ?

44,

n

?

N*

所以方案(1)日工资约为

140 ? 0.05 ? 170 ? 0.05 ? 200 ? 0.2 ? 230 ? 0.3 ? 260 ? 0.2 ? 290 ? 0.15 ? 320 ? 0.05

? 236

方案(2)日工资约为

100 ? 0.05 ? 100 ? 0.05 ? 130 ? 0.2 ? 180 ? 0.3 ? 230 ? 0.2 ? 280 ? 0.15 ? 330 ? 0.05

? 194.5

因为 236 ? 194.5 ,所以建议骑手选择方案(1).

19.(共 14 分) 解:(Ⅰ)因为 f (x) ? ex (ax2 ? x ? 1) ,

所以 f '(x) ? ex (x ? 2)(ax ?1) 所以 f '(?2) ? 0,

所以切线的倾斜角为 0 (Ⅱ)因为 f '(x) ? ex (x ? 2)(ax ?1)
当 a ? 0 时,令 f '(x) ? 0 ,得 x1 ? ?2

当 x 变化时, f '(x), f (x) 的变化情况如下表:

x

(??, ?2)

?2

f '(x)

?

0

(?2, ??)
?

f (x)

?

极小值

?

由上表函数 f (x) 只有极小值,没有极大值,不合题意,舍去

当a

?

0

时,令

f

'(x)

?0

,得

x1

?

?2, x2

?

?

1 a

8 / 13

当 a ? 0 时,

当 x 变化时, f '(x), f (x) 的变化情况如下表:

x

(??, ?2)

?2

(?2, ? 1 ) a

?1 a

(? 1 ,??) a

f '(x)

?

0

?

0

?

f (x)

?

极小值

?

极大值

由上表函数

f (x) 的极大值

f

(?

1)

?

?1
ea

?

e0

? 1 ,满足题意

a

当 a ? 1 时, f '(x) ? 1 ex (x ? 2)2 ? 0 ,

2

2

所以函数 f (x) 单调递增,没有极大值,舍去

当 a ? 1 时,当 x 变化时, f '(x), f (x) 的变化情况如下表: 2

x

(??, ?2)

?2

(?2, ? 1 ) a

?1 a

?
(? 1 ,??) a

f '(x)

?

0

?

0

?

f (x)

?

极大值

?

极小值

?

由上表函数 f (x) 的极大值 f (?2) ? e?2 (4a ? 1) ? 1 ,

解得 a ? e2 ? 1 4

当 0 ? a ? 1 时,当 x 变化时, f '(x), f (x) 的变化情况如下表: 2

x

(??, ? 1 ) a

?1

(? 1 , ?2) a

?2

a

(?2, ??)

f '(x)

?

0

?

0

?

f (x)

?

极大值

?

极小值

?

由上表函数

f

(x) 的极大值

f

(?

1)

?

?1
ea

? 1 ,不合题意

a

综上, a 的取值范围是 (??,0) ? (e2 ? 1, ??)
4
9 / 13

20. (共 13 分)北京高考在线网 解:(Ⅰ) 依题意,有 4 ? b2 ? 6

所以 b ? 2

椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1 42

焦点坐标分别为 F1(? 2, 0), F2 ( 2, 0), (Ⅱ)(i)方法 1:

设 P(x0 , y0 ) ,则

x02 4

?

y02 2

?1

依题意 x0 ? ?2, y0 ? 0 , A(?2,0),

所以 M ( x0 ? 2 , y0 ) 22

所以直线

PA

的斜率

k Ap

?

y0 x0 ?

2

因为 PA ? MQ ,所以 kPA ? kMQ ? ?1

所以直线 MQ 的斜率 kMQ

?

?

x0 ? y0

2

所以直线 MQ 的方程为 y ? y0 ? ? x0 ? 2 (x ? x0 ? 2)

2

y0

2



x ? 0 ,得到

yQ

?

y0 2

?

(x0

? 2)(x0 2 y0

? 2)

因为 x02 ? y02 ? 1 42

所以

yQ

?

?

y0 2

, 所以 Q(0, ? y0 ) 2

所以 H 是 M ,Q 的中点,所以点 M ,Q 关于点 H 对称

方法 2:

设 P(x0 , y0 ) ,直线 AP 的方程为 y ? k(x ? 2)

? ?

x2

?

y2

?1

联立方程 ? 4 2

?? y ? k(x ? 2)

10 / 13

消元得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 4 ? 0

所以 ? ? 16 ? 0

所以

x0

?

(?2)

?

?8k 2 1? 2k 2

所以

x0

?

?4k 2 ? 2 1? 2k2

所以 xM

? ?4k 2 1? 2k 2



yM

?

k

( ?4k 2 1? 2k

2

?

2)

?

1

2k ? 2k

2

所以

M

( ?4k 2 1? 2k

2

, 1

2k ? 2k

2

)

因为

AP

?

MQ

,所以

KMQ

?

?

1 k

所以直线

MQ 的方程为

y

? 2k 1? 2k2

?

?

1 k

(x

? ?4k 2 1? 2k2

)



x

?

0

,得到

yQ

?

2k 1? 2k2

?

1 k

? 4k 2 1? 2k2

?

?2k 1? 2k2

所以

Q(0,

1

?2k ? 2k

2

)

所以 H 是 M ,Q 的中点,所以点 M ,Q 关于点 H 对称

方法 3:
设 P(x0 , y0 ) ,直线 AP 的方程为 x ? ty ? 2

? ?

x2

?

y2

?1

联立方程 ? 4 2

??x ? ty ? 2

消元得, (t2 ? 2) y2 ? 4ty ? 0

因为

0?

y0

?

4t t2 ?

2

,所以

y0

?

4t t2 ?

2

所以 yM

? 2t t2 ? 2

xM

? ?4 , t2 ? 2

所以

M

(

t

?4 2?

2

,

t

2

2t ?

2

)

因为

AP

?

MQ

,所以

KMQ

?

?

1 k

所以直线

MQ

的方程为

y

?

t

2t 2?

2

?

?t(x

?

t

?4 2?

2

)



x

?

0

,得到

yQ

?

?2t t2 ? 2

,所以

Q(0,

t

?2t 2 ?2

)

所以 H 是 M ,Q 的中点,所以点 M ,Q 关于点 H 对称
11 / 13

(ii)方法 1: 因为 △APQ 为直角三角形, 且 | PQ |?| AQ | ,所以 △APQ 为等腰直角三角形

所以 | AP |? 2 | AQ |

因为

P ( x0

,

y0

)



Q(0,

?

y0 2

)



(x0 ? 2)2 ? y02 ?

2

22 ? y02 4

化简,得到 3x02

? 16x0

? 12

?

0

,解得

x0

?

2 3

,

x0

?

?6 (舍)

即点 P的横坐标为 2 3

方法 2:

因为 △APQ 为直角三角形, 且 | PQ |?| AQ | ,所以 ?AQP ? 90? , ???? ????
所以 AQ ? PQ ? 0

因为

P ( x0

,

y0

)



Q(0,

?

y0 2

)



所以

???? AQ

?

(2,

?

y0 2

)



???? PQ

?

(? x0

,

?

3 y0 2

)

所以

(2, ?

y0 2

)

?

(?x0 , ?

3 y0 2

)

?

0



?2x0

+

3 y02 4

=0

因为 x02 ? y02 ? 1 42

化简,得到 3x02

? 16x0

? 12

?

0

,解得

x0

?

2 3

,

x0

?

?6 (舍)

即点 P的横坐标为 2 3

方法 3:

因为 △APQ 为直角三角形,且 | PQ |?| AQ | ,所以 ?AQP ? 90?

所以 | AP |? 2 | MQ |

因为

P ( x0

,

y0

)



Q(0,

?

y0 2

)



M

(

x0

? 2

2

,

y0 2

)

所以

? x0 ? 2?2 ? y02 ? 2

(

x0

? 2

2) 2

?

y02

12 / 13

化简得到 8x0 ? 3y02 ? 0

因为 x02 ? y02 ? 1 42

化简,得到 3x02

? 16x0

? 12

?

0

,解得

x0

?

2 3

,

x0

?

?6 (舍)

即点 P的横坐标为 2 3

方法 4:

因为 △APQ 为直角三角形,所以 ?AQP ? 90?

所以点 A, P,Q 都在以 AP 为直径的圆上,

因为

P ( x0

,

y0

)



Q(0,

?

y0 2

)



A ? ?2, 0?

所以有 (x ? ?2 ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? (1

2

22

(x0 ? 2)2 ? y02 )2

所以

?2x0

?

3 y02 4

?0

因为 x02 ? y02 ? 1 42

化简,得到 3x02

? 16x0

? 12

?

0

,解得

x0

?

2 3

,

x0

?

?6 (舍)

即点 P的横坐标为 2 3

13 / 13


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