平面向量的概念及线性运算

龙文教育一对一个性化辅导教案
学生 科目 课题 教学 重点 教学 难点 教学 目标 向量加、减、数乘运算 向量加、减、数乘运算,并理解其几何意义. 掌握向量的线性运算性质及其几何意义 1.向量加、减、数乘运算,并理解其几何意义. 2.理解两个向量共线的含义. 教学 内容 3.了解向量的线性运算性质及其几何意义 黄可沅 数学 学校 教师
44 中学

年级 日期

高一 2016-3-20

次数 时段

第 21 次 10:00-12:00

钱老师

平面向量的概念和性质

管理人员签字:

日期:







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学生 科目 课题

黄可沅 数学

学校 教师

44 中学

年级 日期

高一 2016-3-20

次数 时段

第 21 次 10:00-12:00

钱老师

平面向量的概念和性质

学生上课情况:1.学生精神状态 :○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 2.学生积极性: ○ 非常积极 ○ 积极 ○ 一般○ 不积极 3.知识接受度: (请填百分比) 针对本次课学生学习效果教师自评:○ 好 当周测试情况: ○ 无测试 ○ 有测试,考试内容,总分 ,得分。 本次教学反思: ○ 较好 ○ 一般 ○ 差

作业布置 (手写)
1. 2. 3.

错题汇总
4. 5.

作业质量:

作业完成 正确率: 情况
订正情况: 知识再回顾情况:

家长签字:

日期:







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学生评价
(下课填写)

1. 教师精神状态: ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 2. 教学内容实用性: ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 3. 课堂互动情况: ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 4. 教师有以下何种表现(可多选) : ○有使用手机现象○有中途离开教室行为 ○非常棒,没有上述行为○有其他情况 5.本次课让学生做题的总时长分钟。 6.对教师的意见和建议:

差 差 差 ○课间超时间休息(标准为 5 分钟)

7.下次课学生要求讲解的内容:

平面向量的概念及线性运算
知识点一:向量的概念
1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量. 2.向量的表示方法: (1)字母表示法:如 等. 等.

(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如

(3)向量的有关概念 向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量(共线向量又称为平行向量). 规定: 与任一向量共线. 要点诠释: 1.数量与向量的区别:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小. 2.零向量的方向是任意的,注意 0 与 0 的含义与书写区别. 3.平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;共线向量可以相互平行,要区别于 在同一直线上的线段的位置关系.

知识点二:向量的加(减)法运算
1.运算法则:三角形法则、平行四边形法则 2.运算律:①交换律: ;②结合律:

要点诠释: 1.两个向量的和与差仍是一个向量,可用平行四边形或三角形法则进行运算,但要注意向量的起点 与终点. 2. .探讨该式中等号成立的条件,可以解决许多相关的问题.

知识点三:数乘向量
1.实数与向量的积:实数 (1) (2)①当 ②当 ③当 ; 时, 时. 时, 的方向与 的方向相同; 的方向与 的方向相反; . 与向量 的积是一个向量,记作:

2.运算律 设 为实数 ; ,

结合律: 分配律: 3.共线向量基本定理

非零向量 与向量 共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数 要点诠释:

,使

.

是判定两个向量共线的重要依据,其本质是位置关系与数量关系的相互转化, 体现了数形结合的高度统一.
三、规律方法指导

1.向量的线性运算
(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算,将数和形有机结合,并 能 利用向量运算完成简单的几何证明; (2)向量的加法表示两个向量可以合成,利用它可以解决有关平面几何中的问题,减法的三角形法则 应记住:连接两端(两向量的终点),指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提.

2.共线向量与三点共线问题
向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线 平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.

类型一:向量的基本概念
1.判断下列各命题是否正确: (1)若 ,则 ;

(2)若

,则

举一反三: 【变式 1】下列说法正确的个数是( ) ①向量 ,则直线 直线

②两个向量当且仅当它们的起点相同,终点也相同时才相等; ③向量 既是有向线段 ; . D.3 个

④在平行四边形 A.0 个 B.1 个

中,一定有 C.2 个

类型二:向量的线性运算
2.如图所示, 的两条对角线相交于点 ,且 用 表示

举一反三: 【变式 1 】如图,△ , 与 中,点 相交于点 是 的中点,点 的值. 在边 上,且

,求

举一反三: 【变式 1】设 和 是两个不共线的非零向量,若向量

,试证明:A、C、D 三点共线.

类型三:共线向量与三点共线问题
3.设两非零向量 (1)如果 (2)试确定实数 ,使 和 共线. 和 不共线, 求证 三点共线.

举一反三: 【变式 1】如图,已知点 求证: . 分别是 三边 的中点,

练习:
一? 选择题: 1.设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC ? 16 | AB ? AC |?| AB ? AC |, 则| AM |=() A.8B.4C.2D.1 2.已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2DB, CD ? r AB ? sAC, 则 r+s 的值是()
2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

???? ?

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??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

A.

2 3

4 B. C.-3D.0 3

3.平面向量 a,b 共线的充要条件是() A.a,b 方向相同 B.a,b 两向量中至少有一个为 0 C.存在 λ ∈R,使 b=λ aD.存在不全为零的实数 λ 1,λ 2,使 λ 1a+λ 2b=0 4.已知 O? A? B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2 AC ? CB ? 0, 则 OC 等 于()

??? ? ??? ?

????

??? ? ??? ? A.2OA ? OB ? 1 ??? ? 2 ??? C. OA ? OB 3 3

??? ? ??? ? B. ? OA ? 2OB ? 2 ??? ? 1 ??? D. ? OA ? OB 3 3

5.设 D? E? F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且

? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? DC ? 2BD, CE ? 2EA, AF ? 2FB, 则 AD ? BE ? CF 与 BC 是(
A.反向平行 B.同向平行 C.不平行 D.无法判断



6.已知 a,b 是不共线的向量, AB =λ a+b, AC =a+μ b,(λ ,μ ∈R),那么 A、 B、 C 三点共线的充要条件为 () A.λ +μ =2B.λ -μ =1C.λ μ =-1D.λ μ =1 二? 填空题: 7.若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足 | OB ? OC |?| OB ? OC ? 2OA | ,则 △ABC 的形状为________. 8.在平行四边形 ABCD 中,E? F 分别是边 CD 和 BC 的中点,若 AC =λ AE +u AF , 其中 λ ,u∈R,则 λ +u=________.

??? ?

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三? 解答题: 9、若 a,b 是两个不共线的非零向量,t∈R,若 a,b 起点相同,t 为何值时,a,tb, 1 (a+b)三向量的终点在一条直线上? 3

10.设 a、b 是不共线的两个非零向量, (1)若 OA ? 2a ? b, OB ? 3a ? b, OC =a-3b,求证:A、B、C 三点共线; (2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值.

??? ?

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