2016高考数学二轮复习 专题1 集合、常用逻辑用语、函数与导数 第四讲 导数及其应用课件 理_图文

随堂讲义
专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数 第四讲 导数及其应用

导数的应用涉及的知识点多,综合性强,要么直接 求极值或最值,要么利用极值或最值求参数的取值范围, 常与函数的单调性、方程的零点、不等式及实际问题形 成知识的交汇问题,难度较大. 预测2016年的高考,可能出求导法则、切线问题的 小题,还有压轴的综合题.

例 1 已知函数 f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a -4(a∈R). (1)求证:曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线过点(2, 2); (2)若函数 f(x)在 x=x0 处取得极小值, x0∈(1, 3), 求实数 a 的取值范围.

思路点拨: (1)求出函数 f(x)在 x=0 处的导数和 f(0) 的值,结合直线的点斜式方程,可求切线方程; (2)先通过讨论导数的零点存在性,得出使函数有 极小值的实数 a 的大致取值范围, 然后通过极小值所对 应的点 x0∈(1,3),得到关于实数 a 的不等式,解不等 式,得出取值范围.

解析:(1)∵f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4, ∴f′(x)=3x2+6ax+3-6a. 故在 x=0 处切线的斜率 k=3-6a. 又 f(0)=12a-4, ∴切线方程为 y-12a+4=(3-6a)x, 即(3-6a)x-y+12a-4=0. 当 x=2,y=2 时,(3-6a)· 2-2+12a-4=0. 故曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线过点(2,2).

(2)由 f′(x)=0, 得 x2+2ax+1-2a=0,Δ=4(a2+2a-1). ①当Δ≤0,即- 2-1≤a≤ 2-1 时, 函数 f(x)没有极值; ②当Δ>0,即 a<- 2-1 或 a> 2-1 时, 由 f′(x)=0,得 x=-a± a2+2a-1,

故 x0=-a+ a2+2a-1. ∴1<-a+ a2+2a-1<3.(*) 当 a<- 2-1 时,由(*)式, 5 得- <a<- 2-1; 2 当 a> 2-1 时,(*)式无解. ∴实数 a
? 5 的取值范围是? ?-2,- ? ? 2-1? ?. ?

求曲线切线方程的步骤是: (1)求出函数 y=f(x)在点 x=x0 的导数,即曲线 y=f(x)在 点 P(x0,f(x0))处切线的斜率; (2)在已知切点坐标 P(x0,f(x0))和切线斜率的条件下,求 得切线方程为 y-y0=f′(x0)· (x-x0). 注意:①当曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线平行于 y 轴(此时导数不存在)时,由切线定义可知,切线方程为 x=x0; ②当切点坐标不知道时,应首先设出切点坐标,再求解.

1.已知函数 f(x)=x2e-x. (1)求 f(x)的极小值和极大值; (2)当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围.

解析:(1)∵f(x)=x2e-x, ∴f′(x)=2xe-x-x2e-x=e-x(2x-x2). 令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x=2. 当 x<0 时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 0<x<2 时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当 x>2 时,f′(x)<0,f(x)单调递减. ∴x=0 是极小值点,x=2 是极大值点. 4 又 f(0)=0,f(2)= 2. e 4 故 f(x)的极小值为 0,极大值为 2. e

2 (2)设切点为(x0,x2 e - x ) ,则切线方程为 y - x 0 0 0 e- x0

=e-x0(2x0-x2 0)(x-x0), x2 2 0-x0 令 y=0,解得 x= =(x0-2)+ +3. x0-2 x0-2 ∵曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数, ∴e-x0(2x0-x2 0)<0.∴x0<0 或 x0>2. 2 令 g(x0)=x0+ +1, x0-2 (x0-2)2-2 2 则 g′(x0)=1- 2= 2 . (x0-2) (x0-2)

①当 x0<0 时,(x0-2)2-2>0,即 g′(x0)>0, ∴g(x0)在(-∞,0)上单调递增,∴g(x0)<g(0)=0. ②当 x0>2 时,令 g′(x0)=0,解得 x0=2+ 2, 当 x0>2+ 2时,g′(x0)>0,函数 g(x0)单调递增; 当 2<x0<2+ 2时,g′(x0)<0,函数 g(x0)单调递减. 故当 x0=2+ 2时,函数 g(x0)取得极小值,也即最小值且 g(2+ 2)=3+2 2. 综上所述, 切线 l 在 x 轴上截距的取值范围是(-∞, 0)∪[3 +2 2,+∞).

例 2 0).

(2014· 全国大纲卷 )函数 f(x)= ax3+3x2+3x(a≠

(1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若函数 f(x)在区间(1,2)是增函数,求 a 的取值范围. 思路点拨:(1)首先求出函数的导数,然后求出 f′(x)> 0 或 f′(x)<0 的解集即可. (2)分类讨论在区间(1,2)上使 f′(x)>0 成立的条件,并求 出参数 a 的取值范围即可.

解析:(1)f′(x)=3ax2+6x+3,f′(x)=3ax2+6x+3= 0 的判别式Δ=36(1-a). ①若 a≥1,则 f′(x)≥0,且 f′(x)=0 当且仅当 a=1,x =-1,故此时 f(x)在 R 上是增函数. ②由于 a≠0,故当 a<1 时,f′(x)=0 有两个根:x1 -1+ 1-a -1- 1-a = ,x2= . a a

若 0<a<1,则当 x∈(-∞,x2)或 x∈(x1,+∞) 时,f′(x)>0,故 f(x)在(-∞,x2),(x1,+∞)上是 增函数;当 x∈(x2,x1)时,f′(x)<0,故 f(x)在(x2, x1)上是减函数. 若 a<0 时,则当 x∈(-∞,x1)或(x2,+∞)时, f′(x)<0,故 f(x)分别在(-∞,x1),(x2,+∞)上是 减函数;当 x∈(x1,x2)时,f′(x)>0,故 f(x)在(x1, x2)上是增函数.

(2)当 a>0,x>0 时,f′ (x)>0,所以当 a>0 时,f(x) 在区间(1,2)是增函数. 若 a<0 时, f(x)在区间(1, 2)是增函数当且仅当 f′(1)≥0 5 且 f′(2)≥0,解得- ≤a<0. 4 综上,a
? 5 ? ? 的取值范围是?- ,0? ?∪(0,+∞). 4 ? ?

利用导数研究函数的单调性的一般思路: (1)确定函数的定义域. (2)求导数 f′(x). (3)①若求单调区间或证明单调性,只需在函数 f(x)的定 义域内解(或证明)不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0.②若已知 f(x) 的单调性,则转化为不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 在单调区间上 恒成立问题求解.

1-x 2.已知函数 f(x)=ln(ax+1)+ ,x≥0,其 1+x 中 a>0. (1)若 f(x)在 x=1 处取得极值,求 a 的值. (2)求 f(x)的单调区间.

2 a 解 析 : (1)f′(x) = - = ax+1 (1+x)2 ax2+a-2 , (ax+1)(1+x)2 ∵f(x)在 x=1 处取得极值, ∴f′(1)=0,即 a+a-2=0,解得 a=1. ax2+a-2 (2)f′(x)= , (ax+1)(1+x)2 ∵x≥0,a>0,∴ax+1>0. ①当 a≥2 时,在区间(0,+∞)上,f′(x)>0, ∴f(x)的单调递增区间为(0,+∞).

②当 0<a<2 时,由 f′(x)>0 解得 x> <0 解得 x< 2-a , a

2-a ,由 f′(x) a

? ∴ f(x) 的单调递减区间为 ? ?0, ? ? ? ? ? ? 2-a ? ,+∞?. a ?

2-a? ? ? ,单调递增区间为 a ?

例3

(2014· 四川卷)已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其

中 a,b∈R,e=2.718 28?为自然对数的底数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0, 1]上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e-2 <a<1.

思路点拨:(1)易得 g(x)=ex-2ax-b,g′(x)=ex -2a,再对 a 分情况确定 g(x)的单调区间,根据 g(x) 在[0,1]上的单调性即可得 g(x)在[0,1]上的最小值. (2)设 x0 为 f(x)在区间 (0,1)内的一个零点,注意 到 f(0)= 0,f(1)=0.联系到函数的图象可知,导函数 g(x)在区间 (0, x0)内存在零点 x1, g(x)在区间 (x0, 1) 内存在零点 x2, 即 g(x)在区间(0, 1)内至少有两个零点.

1 e 由(1)可知,当 a≤ 及 a≥ 时,g(x)在(0,1)内都不可能有两 2 2 1 e 个零点.所以 <a< .此时,g(x)在[0,ln 2a]上单调递减,在 2 2 [ln 2a,1]上单调递增,因此 x1∈ (0,ln 2a],x2∈(ln 2a,1), 且必有 g(0)=1-b>0,g(1)=e-2a-b>0.由 f(1)=e-a-b -1=0 得:b=e-a-1,代入这两个不等式即可得 a 的取值 范围.

解析:(1)g(x)=ex-2ax-b,g′(x)=ex-2a. ①当 a≤0 时,g′(x)=ex-2a>0,所以 g(x)≥g(0)=1- b. ②当 a>0 时,由 g′(x)=ex-2a>0 得 ex>2a,x>ln 2a. 1 若 a> ,则 ln 2a>0; 2 e 若 a> ,则 ln 2a>1. 2 1 所以当 0<a≤ 时, g(x)在[0, 1]上单调递增, 所以 g(x)≥g(0) 2 =1-b.

1 e 当 <a< ,g(x)在[0,ln 2a]上单调递减,在[ln 2a,1]上 2 2 单调递增,所以 g(x)≥g(ln 2a)=2a-2aln 2a-b. e 当 a≥ 时,g(x)在[0,1]上单调递减,所以 g(x)≥g(1)=e 2 -2a-b. 1 综上所述,当 a≤ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)=1 2 -b; 1 e 当 <a< 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln 2a)=2a- 2 2 2aln 2a-b; e 当 a≥ 时,g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b. 2

(2)证明:设 x0 为 f(x)在区间(0,1)内的一个零点,则由 f(0)=f(x0)=0 可知, f(x)在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调递 减. 则 g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负. 故 g(x)在区间(0,x0)内存在零点 x1. 同理 g(x)在区间(x0,1)内存在零点 x2. 所以 g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.

1 由(1)知, 当 a≤ 时, g(x)在[0, 1]上单调递增, 故 g(x) 2 在(0,1)内至多有一个零点. e 当 a≥ 时,g(x)在[0,1]上单调递减,故 g(x)在(0, 2 1)内至多有一个零点. 1 e 所以 <a< . 2 2

此时,g(x)在[0,ln 2a]上单调递减,在[ln 2a,1]上单调递增, 因此 x1∈ (0,ln 2a],x2∈(ln 2a,1)必有 g(0)=1-b>0,g(1)=e-2a-b>0. 由 f(1)=e-a-b-1=0 得:a+b=e-1<2,有 g(0)=1-b=a-e+2>0,g(1)=e-2a-b=1-a>0. 解得 e-2<a<1. 所以,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点时,e-2<a<1.

利用导数研究函数的极值的一般思路: (1)确定定义域. (2)求导数 f′(x). (3)①若求极值, 则先求方程 f′(x)=0 的根, 再检验 f′(x) 在方程根左右值的符号,求出极值,当根中有参数时要注意 分类讨论.②若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方 程 f′(x)=0 根的大小或存在情况,从而求解.

2 3 3.已知函数 f(x)=x - ax (a>0),x∈R. 3
2

(1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)若对于任意的 x1∈(2,+∞),都存在 x2∈(1,+∞), 使得 f(x1)· f(x2)=1,求 a 的取值范围. 分析:(1)求出函数的导数与零点,利用导数法求解函数 的单调性和极值. (2)求出函数 f(x)的零点,然后分类讨论求解.

解析:(1)由已知,有 f′(x)=2x-2ax2(a>0). 1 令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x= . a 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

所以

? 1? ? f(x)的单调递增区间是?0, ? 单调递减区间是(-∞, ?; a ? ?

?1 ? ? 0),? ,+∞? ?. a ? ?

1 当 x=0 时,f(x)有极小值,且极小值 f(0)=0;当 x= 时, a f(x)有极大值,且极大值 (2)由 当
?3? ? f(0)=f? ?2a?=0 ? ? ?1 ? 1 ? ? f? ?= 2. ?a ? 3a

及(1)知,当

? 3? ? x∈?0, ? ?时,f(x)>0; 2 a ? ?

?3 ? ? x∈? ,+∞? ?时,f(x)<0. ?2a ?

设 集 合 A = {f(x)|x∈(2 , + ∞)} , 集 合 B =
? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? x∈(1,+∞),f(x)≠0? ,则 “ 对于任意的 x1 ? f(x)? ? ?

∈(2,+∞),都存在 x2∈(1,+∞),使得 f(x1)· f(x2)=1”等价 于 A?B.显然,0?B. 下面分三种情况讨论:
?3? 3 3 ? ①当 >2,即 0<a< 时,由 f? ?2a?=0 可知,0∈A,而 2a 4 ? ?

0?B,所以 A 不是 B 的子集.

3 3 3 ②当 1≤ ≤2, 即 ≤a≤ 时, 有 f(2)≤0, 且此时 f(x)在(2, 2a 4 2 +∞)上单调递减,故 A=(-∞,f(2)),因而 A?(-∞,0);由 f(1)≥0,有 f(x)在(1,+∞)上的取值范围包含(-∞,0),则(- ∞,0)?B.所以 A?B. 3 3 ③当 <1,即 a> 时,有 f(1)<0,且此时 f(x)在(1,+∞) 2a 2 上单调递减,故 B 的子集. 综上,a
?3 3 ? ? 的取值范围是? ?4,2 ?. ? ? ? ? 1 ? ,0? B=? ?,A=(-∞,f(2)),所以 ?f(1) ?

A 不是

1 1 例 4 由直线 x= , x=2, 曲线 y= 及 x 轴所围图形的 2 x 面积为( A. 15 4 ) 17 B. 4 1 C. ln 2 2 D.2ln 2

思路点拨:本题可以根据已知先作出四线围成的图形,求 得图形顶点坐标,再结合定积分的几何意义,将面积计算转化 为定积分的计算.

(1)利用微积分基本定理求定积分,其关键是求出被积 函数的原函数,而求一个函数的原函数与求一个函数的导 数是互逆运算,因此应注意掌握一些常见函数的导数;此 外,如果被积函数是绝对值函数或分段函数,那么可以利 用定积分的性质 ,根据函数的定义 域,将积分区间分为几部分,代入相应的解析式,分别求 出积分值,相加即可.

(2)求平面图形的面积是定积分最重要的应用之一,其 基本步骤是: ①根据题意画出图形; ②找出范围,定出积分上、下限; ③确定被积函数; ④写出相应的定积分表达式; ⑤用微积分基本定理计算定积分,求得结果.

4.由曲线 y=x2 和直线 x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1) 所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为(A)

1 A. 4

1 B. 3

1 C. 2

2 D. 3

1.明确函数导数的几何意义,即曲线 y=f(x)在(x0,f(x0)) 处切线的斜率是 f′(x0). 2.熟练掌握导数的四则运算. 3.注意曲线与直线相切并不一定只有一个公共点.不能 随意将直线和圆锥曲线相切时仅有一个公共点迁移过来. 4.明确函数的极值表示函数 y=f(x)在一点附近的情况, 即极值是在局部对函数值的比较, 函数在区间上的极大值(或极 小值)可有若干个,而且有时某个极小值会大于它的某个极大 值.

5.在一般情况下,极大(小)值不一定是最大(小)值,最 大(小)值也不一定是极大(小)值,但如果连续函数在区间(a, b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最 小值. 6.能根据函数的图象确定函数的单调区间和函数的极 值或最值,反之,能根据函数的单调性与极值等画出函数的 草图.


相关文档

2016高考数学二轮复习专题1集合、常用逻辑用语、函数与导数第四讲导数及其应用课件理剖析.
【金版学案】2016高考数学二轮复习 专题1 集合、常用逻辑用语、函数与导数 第四讲 导数及其应用课件 理
2016版高考数学(文山东版)二轮复习课件第2部分-专题1 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数-第4讲
2016届高考数学(理)二轮复习第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数1-1-4
2016版高考数学(文山东版)二轮复习课件第2部分-专题1 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数-第1讲
【与名师对话】2016届高考数学二轮复习 第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第四讲 不等式、线性规划课件 文
2016高考数学二轮专题复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第5讲 导数的简单应用课件 文
2016高考数学二轮专题复习 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第3讲 函数与方程及函数的应用课件 文
2016年高考数学二轮复习 第一部分专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第4讲 不等式课件 理
2016高考数学二轮复习 专题1 集合、常用逻辑用语、函数与导数 第一讲 集合与常用逻辑用语课件 理
电脑版