2019-2020年高中数学1.3《中国古代数学中的算法案例》教案新人教B版必修3

2019-2020 年高中数学 1.3《中国古代数学中的算法案例》教案新人教 B 版

必修 3

教学目标: 1.知识与技能目标: (1)了解中国古代数学中求两个正整数最大公约数的算法以及割圆术的算法; (2)通过对“更相减损之术”及“割圆术”的学习,更好的理解将要解决的问题“算法化”
的思维方法,并注意理解推导“割圆术”的操作步骤。 2.过程与方法目标: (1)改变解决问题的思路,要将抽象的数学思维转变为具体的步骤化的思维方法,提高逻
辑思维能力; (2)学会借助实例分析,探究数学问题。 3.情感与价值目标: (1)通过学生的主动参与,师生,生生的合作交流,提高学生兴趣,激发其求知欲,培养
探索精神; (2)体会中国古代数学对世界数学发展的贡献,增强爱国主义情怀。

教学重点与难点: 重点:了解“更相减损之术”及“割圆术”的算法。 难点:体会算法案例中蕴含的算法思想,利用它解决具体问题。

教学方法:

通过典型实例,使学生经历算法设计的全过程,在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑 结构,学会有条理地思考问题、表达算法,并能将解决问题的过程整理成程序框图。 教学过程:

教学

教学内容

师生互动

设计意图

环节

创设 引导学生回顾

情境

人们在长期的生活,生产和劳动过程 教师引导,学 通过对以往所学数学知

中,创造了整数,分数,小数,正负数及其 生回顾。

识的回顾,使学生理清

引入 计算,以及无限逼近任一实数的方法,在代 教 师 启 发 学 知识脉络,并且向学生

新课 数学,几何学方面,我国在宋,元之前也都 生 回 忆 小 学 指明,我国古代数学的

处于世界的前列。我们在小学,中学学到的 初 中 时 所 学 发展“寓理于算”,不同

算术,代数,从记数到多元一次联立方程的 算 术 代 数 知 于西方数学,在今天看

求根方法,都是我国古代数学家最先创造 识,共同创设 仍然有很大的优越性,

阅读 课本
探究 新知

的。更为重要的是我国古代数学的发展有着 情景,引入新 体会中国古代数学对世

自己鲜明的特色,也就是“寓理于算”,即 课。

界数学发展的贡献,增

把解决的问题“算法化”。本章的内容是算

强爱国主义情怀。

法,特别是在中国古代也有着很多算法案

例,我们来看一下并且进一步体会“算法”

的概念。

1.求两个正整数最大公约数的算法 学生通常会用辗转相除法求两个正整数的 最大公约数: 例1:求78和36的最大公约数 (1) 利用辗转相除法 步骤: 计算出7836的余数6,再将前面的除数 36作为新的被除数,366=6,余数为 0,则此时的除数即为78和36的最大公 约数。 理论依据: ,得与有相同的公约数

学生阅读课 本内容,分析 研究,独立的 解决问题。 教师巡视,加 强对学生的 个别指导。 由学生回答 求最大公约 数的两种方

数学教学要有学生根据 自己的经验,用自己的 思维方式把要学的知识 重新创造出来。这种再 创造积累和发展到一定 程度,就有可能发生质 的飞跃。在教学中应创 造自主探索与合作交流 的学习环境,让学生有 充分的时间和空间去观

(2) 更相减损之术

法,简要说明 察,分析,动手实践,

指导阅读课本 P----P,总结步骤

其步骤,并能 从而主动发现和创造所

步骤:

说 出 其 理 论 学的数学知识。

以两数中较大的数减去较小的数,即78- 依据。

36=42;以差数42和较小的数 36构

求两个正整数的最大公

成新的一对数,对这一对数再用大数减去小

约数是本节课的一个重

数,即42-36=6,再以差数6和较小

点,用学生非常熟悉的

的数36构成新的一对数,对这一对数再用

问题为载体来讲解算法

大数减去小数,即36-6=30,继续这

的有关知识,,强调了提

一过程,直到产生一对相等的数,这个数就

供典型实例,使学生经

是最大公约数

历算法设计的全过程,

即, (78,36) ? (42,36) ? (6,36) ? (18,6) ? (12,6) ? (6,6)

在解决具体问题的过程 中学习一些基本逻辑结

应用 举例
深化 算法 应用 举例

理论依据: 由,得与有相同的公约数
算法:

构,学会有条理地思考 问题、表达算法,并能

输入两个正数;

将解决问题的过程整理

如果,则执行,否则转到;

由 学 生 写 出 成程序框图。为了能在

将的值赋予;

更 相 减 损 法 计算机上实现,还适当

若,则把赋予,把赋予,否则把赋予, 和 辗 转 相 除 展示了将自然语言或程

重新执行;

法的算法,并 序框图翻译成计算机语

输出最大公约数

编 出 简 单 程 言的内容。总的来说,

程序:

序。

不追求形式上的严谨,

a=input(“a=”) b=input(“b=”) while a<>b

教 师 将 两 种 通过案例引导学生理解 算 法 同 时 显 相应内容所反映的数学

if a>=b a=a-b;
else

示在屏幕上, 思想与数学方法。 以方便学生

b=b-a end end

对比。 教师将程序

print(%io(2),a,b)

显示于屏幕

上,使学生加

以了解。

例 1 :用等值算法(更相减损术)求下列 学生练习,教 巩固所学知识,进一步

两数的最大公约数。

师巡视检查。 加深对知识的理解,用

(1)225,135 (2)98,280

学生回答。 辗转相除法步骤较少,

例 2:用辗转相除法验证上例中两数的最大

而更相减损术虽然有些

公约数是否正确。

步骤较长,但运算简单。

体会我国古代数学中

“寓理于算”的思想。

2.割圆术

学生阅读课

魏晋时期数学家刘徽,“割之弥细,所失弥 本,教师巡视

少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体 注 意 个 别 指

而无所失矣”

导,帮助学生 割圆术是从圆内接六边

即从圆内接正六边形开始,让边数逐次加 识图,分析。 形开始,让边数逐次加

倍,逐个算出这些内接正多边形的面积,从

倍,逐个算出这些内接

而得到一系列逐次递增的数值。

正多边形的面积,从而

阅读课本 P----P,

得到一系列逐次递增的

步骤:

数值。在但是要付出艰

第一,从半径为1的圆内接正六边形开始, 教 师 概 括 割 辛的劳动,现在有计算

计算它的面积;

圆术的步骤, 机,我们只需利用刘徽

第二,逐步加倍圆内接正多边形的边数,分 学 生 观 察 图 的思想,寻找割圆术中

别计算圆内接正十二边形,正二十四边形, 形,引导学生 的算法,即运算规律,

正四十八边形…的面积,到一定的边数(设 提 出 问 题 并 计算机会迅速得到所求

为2m)为止,得到一列递增的数,

解答。

答案。

第三,在第二步中各正边形每边上作一高为 步骤较复杂,

余径的矩形,把其面积与相应的面积相加, 教 师 注 意 结

得,这样又得到一列递增数:,,,…,。

合图形帮助

第 四 , 圆 面 积 满 足 不 等 式 学生分析,理 分析刘徽割圆术中的算

S2m ? S ? S2m ? (S2m ? Sm )

解。

估计的近似值,即圆周率的近似值。

算法:

设圆的半径为1,弦心距为,正边形的边长

为,面积为,由勾股定理得



x2n ?

?? ?

xn 2

2
? ? ?

?

?1 ?

hn

?2

(n

?

6)



图可知,正边形的面积等于正边形的面积加

法是难点所在,学生先 阅读课本,有初步印象 之后教师再与学生一起 总结割圆术的步骤,在 此基础上,又学生将所 分析的步骤写为算法, 引导学生体会算法的核 心是一般意义上的解决 问题策略的具体化。面 临一个问题时,在分析、

上个等腰三角形的面积和,即

通 过 教 师 分 思考后获得了解决它的

1 S2n ? Sn ? 2 n ? xn (1 ? hn )

()

利用这个递推公式,可以得到正六边形的面

积为,

析的割圆术 的步骤,又学 生讨论制定

基本思路(解题策略), 将这种思路具体化、条 理化,用适当的方式表

由于圆的半径为1,所以随着的增大,的值 割 圆 术 的 算 达出来(画出程序框图,

不断趋近于圆周率。
程序: n=6; x=1; s=6*sqrt(3)/4; for I=1:1:16
h=sqrt(1-(x/2)?2); s=s+n*x*(1-h)/2; n=2*n; x=sqrt((x/2) ?2+(1-h)?2); end
print(%io(2),n,s)

法,教师注意 转化为程序语句),这个 指导,适当提 过 程 就 是 算 法 设 计 过 示,引导学生 程,这是一个思维的条 出 现 算 法 中 理化、逻辑化的过程。 的递推关系。
教师将算法 显现在屏幕 上,又学生对

应写出简单

的程序。

归 纳 1.求最大公约数的辗转相除法和更相减损 学 生 小 结 并 学生学后反思总结,可

小结 法;

相互补充,师 以提高学生自己获得知

2.割圆术的算法

生 共 同 整 理 识的能力以及归纳概括

完善。

能力。

课 后 习题 1—3 1,2

巩固所学知识,是学有

作业 选作 习题 1—3

余力的同学的创造性得

到进一步的发挥。

2019-2020 年高中数学 1.3《子集全集补集》教案苏教版必修 1
【学习导航】 知识网络

相等 集

合 包含




补集

系 全集

子集 真子集

学习要求
1.了解集合之间包含关系的意义; 2.理解子集、真子集的概念和掌握它们的符号表示;

3.子集、真子集的性质;

4.了解全集的意义,理解补集的概

念.

【课堂互动】

自学评价

1.子集的概念及记法:

如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B

的元素(

),则称

集合 A 为集合 B 的子集(subset),记为

___________或___________读作“______

__________”或“__________________”

用符号语言可表示为:________________

____________________________________

如右图所示:

_______________________

注意:(1)A 是 B 的子集的含义:任意 x∈A,能推出 x∈B;

(2)不能理解为子集 A 是 B 中的“部分元素”所组成的集合.

2.子集的性质:

①AA



③ ,则

思考:与能否同时成立?

【答】

_________

3.真子集的概念及记法:

如果,并且 A≠B,这时集合 A 称

为集合 B 的真子集(proper set),记为

_________或_________读作“__________

__________”或“__________________”

4.真子集的性质:

①是任何非空集合的真子集

符号表示为___________________

②真子集具备传递性

符号表示为___________________

5.全集的概念:

如果集合 U 包含我们所要研究的各个集合,

这时 U 可以看做一个全集(universal set)全集通常记作_____

6.补集的概念:

设____________,由 U 中不属于 A 的所有元 素组成的集合称为 U 的子集 A 的补集

(plementary set), 记为___________

读作“__________________________”

即:=_______________________

可用

右图阴影部

分来表示: __________________ 7.补集的性质:
① =__________________ ② =__________________ ③ =______________
【精典范例】 一、写出一个集合的子集、真子集及其个数公式
例 1. ① 写出集合{a,b}的所有子集及其真子集; ② 写出集合{a,b,c}的所有子集及其真子集; 分析:按子集的元素的多少分别写出所有子集,这样才能达到不重复,无遗漏,
但应注意两个特殊的子集:和本身. 【解】
①集合{a,b}的所有子集为: ,{a },{ b},{a,b};
②集合{a,b,c}的所有子集为: ,{a },{ b},{c},{a,b} {a,c},{b,c},{a,b,c}.
点评:写子集,真子集要按一定顺序来写. ①一个集合里有 n 个元素,那么它有 2n 个子集; ②一个集合里有 n 个元素,那么它有 2n-1 个真子集; ③一个集合里有 n 个元素,那么它有 2n-2 个非空真子集.
二、判断元素与集合之间、集合与集合之间的关系
例 2: 以下各组是什么关系,用适当的符号表示出来.
(1)a 与{a} 0 与 (2)与{20,,,} (3)S={-2,-1,1,2},A={-1,1},
B={-2,2}; (4)S=R,A={x|x≤0,x∈R},B={x|x>0 ,x∈R }; (5)S={x|x 为地球人 },A={x|x 为中国人},B={x|x 为外国人 } 【解】
点评: ① 判断两个集合的包含关系,主要是根据集合的子集,真子集的概念,看两个集合里的元素
的关系,是包含,真包含,相等. ②元素与集合之间用_______________
集合与集合之间用_______________
追踪训练一
1.判断下列表示是否正确: (1) a{a } (2) {a }∈{a,b } (3) {a,b } {b,a } (4) {-1,1} ? {-1,0,1}
? {-1,1 }

(5)

{-1,1}

2.指出下列各组中集合 A 与 B 之间的关系.
(1) A={-1,1},B=Z; (2)A={1,3,5,15},B={x|x 是 15 的正
约数}; (3) A = N*,B=N (4) A ={x|x=1+a2,a∈N*}
B={x|x=a2-4a+5,a∈N*}

3.(1)已知{1,2 }M{1,2,3,4, 5},则这样的集合 M 有多少个?
(2)已知 M={1,2,3,4,5,6, 7 ,8,9},集合 P 满足:PM,且 若,则 10- ∈P,则这样 的集合 P 有多少个?

4.以下各组是什么关系,用适当的符号表来.

(1) 与{0}

(2) {-1,1}与{1,-1}

(3) {(a,b)} 与{(b,a)}

(4) 与{0,1,}

三、运用子集的性质
例 3:设集合 A={x|x2+4x=0,x∈R},B= {x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R},若 BA,
求实数 a 的取值范围. 分析:首先要弄清集合 A 中含有哪些元素,
在由 BA,可知,集合 B 按元素的 多少分类讨论即可.
【解】
A={x|x2+4x =0,x∈R}={0,-4}

∵ BA ∴ B=或{0},{-4},{0,-4} ①当 B=时,⊿=[2(a+1)]2-4?(a2-1)<0
∴ a< -1
②当 B={0}时, ∴ a=-1
③当 B={-4}时, ∴ a=
④当 B={0,-4}时, ∴ a=1
∴ a 的取值范围为:a<-1,或 a=-1,或 a=1. 点评:
B=易被忽视,要提防这一点.
四、补集的求法
例 4:①方程组的解集为 A, U=R,试求 A 及. ②设全集 U=R,A={x|x>1},B={x|x+a<0}, 是的真子集,求实数 a 的取值范围.
【解】
① A={x|}, ={x|x≤或 x>2}
② B={x|x+a<0}={x|x<-a} , ={x|x≤1}
∵ 是的真子集 如图所示:

-a 1

x ∴ -a ≤ 1 即 a≥-1

点评: 求集合的补集时通常借助于数轴,比较形象,直观.
追踪训练二
1.若 U=Z,A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k+1, k∈Z},则 ___________ ___________:
2.设全集是数集 U={2,3,a2+2a-3},已知

A={b,2},={5},求实数 a,b 的值.

3.已知集合 A={x|x=a+,a∈Z},B={x|x=,b∈Z},C={x|x=,c∈Z},试判断 A、B、C 满足的关 系

4.已知集合 A={x|x2-1=0 },B={x|x2-2ax+b=0} B A,求 a,b 的取值范围.

思维点拔: 集合中的开放问题
例 5: 已知全集 S={1,3x3+3x2+2x},集合 A={1,|2x-1|},如果={0},则这样的 实数 x 是否存在?若存在,求出 x,若不 存在,请说明理由.
点拔:
由={0},可知,0∈S,但 0,由 0∈S,可求出 x,然后结合 0,来验证 是否符合题目的隐含条件,从而确定 x 是否存在.

【师生互动】

学生质疑

教师释疑

第 3 课 子集、全集、补集

分层训练

1. 设 M 满足{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6},则集合 M 的个数为 ( )

A.8

B.7

C.6

D.5

2.下列各式中,正确的个数是 ( )

①={0};②{0}; ③∈{0};

④0={0};⑤0∈{0};⑥{1}∈{1,2,3};

⑦{1,2}{1,2,3};

⑧{a,b}{a,b}.

A.1

B.2

C.3

D.4

3.若 U={x|x 是三角形},P={x|x 是直角三角形}则

()

A.{x|x 是直角三角形}

B.{x|x 是锐角三角形}

C.{x|x 是钝角三角形}

D.{x|x 是钝角三角形或锐角三角形}

4.设 A={x|1<x<2} ,B={x|x<a},若 A 是 B

的真子集,则 a 的取值范围是 ( )

A.a≥2

B.a≤1

C.a≥1

D.a≤2

5.若集合 A={1,3,x},B={x2,1},且 BA,则满足条件的实数 x 的个数为 (



A.1

B.2

C.3

D.4

6.设集合 M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和

P={(x,y)|x<0,y<0},那么 M 与 P 的关系

为____________________________.

7.集合 A={x|x=a2-4a+5,a∈R},B={y|y=4b2+4b+3,b∈R} 则集合 A 与集合 B 的关系是

___________________.

8.设 x,y∈R,B={(x,y)|y-3=x-2},A= {(x,y)|=1},则集合 A 与 B 的关系 是____________________________.
9. 已知 a∈R,b∈R,A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},C={x2+(a+1)x-3,1} 求

(1)A={2,3,4}的 x 值; (2)使 2∈B,B ? A,求 a,x 的值; (3)使 B= C 的 a,x 的值.

10.设全集 U={2,4,3-x},M={2,x2-x+2},={1},求 x.

拓展延伸
11. 已知集合 P={x|x2+x-6=0},M={x|mx-1=0},若 M ?

P,求实数 a 的取值范围.

12. 选择题:

(1)设集合 P={3,4,5},Q={4,5,6,7},定义 P⊕Q={(a,b)|a∈P,b∈Q}, 则 P⊕Q 的真

子集个数

()

A.23-1

B.27-1

C.212

D.212-1

(2)集合 M={x|x∈Z 且},则 M 的非空真子集的个数是

()

A.30 个

B.32 个

C.62 个

D.64 个


相关文档

2019-2020年高中数学2.5.2向量在物理中的应用举例教案新人教A版必修4
2019-2020年高中语文《中国建筑的特征》教案新人教版必修5
2019-2020年高中语文中外短诗五首教案新课标人教版必修1
2019-2020年高中语文中国建筑的特征教学案新人教版必修5
2019-2020年高中数学第二章《空间中直线与直线之间的位置关系》教案新人教A版必修2
2019-2020学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.3幂函数教案新人教A版必修1.doc
2019-2020年高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式教案新人教B版必修
2019-2020学年高中数学第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示教案新人教A版必修4.doc
2019-2020学年高中物理第三章相互作用3.5力的分解3三力共点的平衡条件教案新人教版必修1.doc
2019-2020学年高中数学专题1.3输入语句输出语句和赋值语句教案新人教A版必修3.doc
电脑版