2015-2016学年高中数学 第2章 3.2平面向量基本定理课件 北师大版必修4

第二章
平面向量

第二章
§3 从速度的倍数到数乘向量

3.2

平面向量基本定理

1

课前自主预习

3

易错疑难辨析

2

课堂典例讲练

4

课 时 作 业

课前自主预习

如右图所示,一盏电灯,可以由电线
CO吊在天花板上,也可以由电线 AO和绳子 BO拉住,所以拉力F起到的效果应与拉力F1

和 F2 共同作用的效果一样,这应如何解释
呢? 根据物理知识,力 F 可以分解为力 F1 和力 F2 ,即 F = F1 + F2.事实上力的分解与合成就是应用了平行四边形法则,所以其

他向量也可以用平行四边形法则来分解或合成.

平面上不共线的两个向量都可以作为一组基底,用这个基 底的线性运算可以表示平面上的任意向量,这就是本节要学习 的平面向量基本定理.

平面向量基本定理 定理:如果 e1 和e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那

么对于这一平面内的任一向量 a ,存在唯一一对实数 λ1 , λ2 使 a=λ1e1+λ2e2 _______________ .不共线的向量e ,e 叫作表示这一平面内所
1 2

基底 . 有向量的一组________

1.已知向量e1,e2不共线,则下列各对向量可以作为平面 内的一组基底的是( A.e1-e2与e2-e1 ) 3 B.2e1-3e2与e1-2e2

C.-e1-2e2与2e1+4e2 D.e1-2e2与2e1-e2

[答案] D [解析] 根据基底的定义,只要两向量不共线便可作为基 底,易知选D.

2.若a,b不共线,且λa+μb=0(λ,μ∈R),则( A.a=0,b=0 C.λ=0,b=0 [答案] B [解析] 由平面向量基本定理可知λ=μ=0,选B. B.λ=μ=0 D.a=0,μ=0

)

→ → → → 3.若D在△ABC的边BC上,且CD=4DB=rAB+sAC,则 3r+s=( 16 A. 5 8 C.5 ) 12 B. 5 4 D.5

[答案] C
→ 4→ 4→ 4→ [解析] 由题意得CD=5CB=5AB-5AC, 4 4 8 ∴r=5,s=-5,∴3r+s=5.

4.已知向量a与b的夹角是45°,则向量2a与-b的夹角是 ________. [答案] 135° 5.设e1,e2是平面的一组基底,且a=e1+2e2,b=-e1+ e2,则e1+e2=________a+________b. 2 1 [答案] 3 -3 ? ?a=e1+2e2, [解析] 由方程组? ? ?b=-e1+e2,

1 2 ? ?e1=3a-3b, 解得? ?e2=1a+1b. 3 3 ?

2 1 ∴e1+e2=3a-3b.

课堂典例讲练

对基底的理解
如下图,设点O是?ABCD两对角线交点,下列 → → → → → → → → 向量组:①AD与AB;②DA与BC;③CA与DC;④OD与OB.可 作为该平面其他向量基底的是( )

A.①② C.①④

B.①③ D.③④

[答案] B
[规范解答] → → → → ①AD与AB不共线;②DA=-BC,

→ → → → ∴DA∥BC,即DA与BC共线; → → → → ③CA与DC不共线;④OD=-OB, → → → → ∴OD∥OB,即OD与OB共线. 由平面向量基底的概念知①③可构成平面内所有向量的基 底.

[规律总结]

两个向量能否作为基底,关键是看它们是否

共线.此题中的向量是否共线,主要看它们所在的线段是否在 一条直线上或是否平行.

下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为
表示该平面所有向量的基底;②一个平面内有无数多对不共线 向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可作为基底中 的向量,其中正确的说法是( A.①② C.①③ [答案] B [解析] 两个向量只要不共线,它们就可以作为平面内的 ) B.②③ D.①②③

一组基底,故①错,②③正确.

平面向量的表示
已知四边形ABCD为矩 形,且AD=2AB,又△ADE为等腰直 → 角三角形,F为ED的中点,EA=e1, → EF=e2,取e1,e2作为一组基底,写出 → → → → 下列向量在此基底下的表达式:AF,AB,AD及BD. [思路分析] 利用三角形法则或平行四边形法则找所给向

量与基底e1,e2的关系进行求解.

[规范解答]

→ → → → → EA=e1,EF=e2,∴AF=EF-EA=e2-e1.

由已知AD=2AB=DE且F为DE中点, → → → ∴AB=FD=EF=e2. → → → → → ∴AD=ED-EA=2EF-EA=2e2-e1, → → BD=AF=e2-e1. → → → → ∴AF=e2-e1,AB=e2,AD=2e2-e1,BD=e2-e1.

[规律总结]

构造三角形、平行四边形利用向量加法、减

法把所求向量与已知向量联系起来.

如图,在?ABCD中,M、N分别为DC、BC的中点,已知 → → → → AM=c,AN=d,试用c、d表示AB和AD.

→ → [解析] 设 AB =a, AD =b,则由M、N分别为DC、BC的 → 1 → 1 中点可得:BN=2b,DM=2A. 1 → → → AD+DM=AM,即b+2a=c.① 1 → → → AB+BN=AN,即a+2b=d.② 2 2 由①②可得a=3(2d-c),b=3(2c-d), → 2 → 2 即AB=3(2d-c),AD=3(2c-d).

平面向量基本定理及其应用 用向量法证明三角形的三条中线交于一点. [思路分析] 解决本题有两个关键点:一是由题意证明三 线交于一点,需先明确要用同一法;二是利用向量证明两点重

合的方法是构造以同一点为起点这两点为终点的两向量相等,
从而得这两点重合.

[证明] 如右图,设D、E、F分别是△ABC的三边BC、 AC、AB的中点, → → 以AC=a,BC=b为基底, 1 → → → 则 AB =a-b, AD =a- 2 b, BE =- 1 2a+b, → → → → 设AD与BE相交于点G1,且 AG1 =λ AD , BG1 =μ BE (λ,μ∈ R),

λ μ → → 则有AG1=λa-2b,BG1=-2a+μB. μ → → → 又有AG1=AB+BG1=(1-2)a+(μ-1)b, μ ? ?λ=1-2, ∴? ?-λ =μ-1, ? 2 → 2→ ∴AG1=3AD. 2 解得λ=μ=3,

→ → 再设AD与CF交于G2, → 2→ 同理求得AG2=3AD, ∴点G1与点G2重合,即AD、BE、CF相交于一点. ∴三角形三条中线交于一点. [规律总结] 平面向量基本定理是向量法的理论基础,这
个定理揭示了任一平面向量均可用平面内的任意两个不共线向 量的线性表示的实质.它不仅提供了向量的几何表示方法,同 时也使向量用坐标来表示成为可能,从而架起了向量的几何运 算与代数运算之间的桥梁.

如图,在△ ABC 中,点 M 是 BC 的中点,
点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于 点P,求AP:PM的值.
→ → [解析] 设BM=e1,CN=e2, → → → 则AM=AC+CM=-3e2-e1, → BN=2e1+e2

∵A、P、M 和 B、P、N 分别共线, → → ∴存在实数 λ、μ 使AP=λAM=-λe1-3λe2, → → BP=μBN=2μe1+μe2, → → → 故BA=BP-AP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.

→ → → 而BA=BC+CA=2e1+3e2 ? 4 λ=5 ? ? λ + 2 μ = 2 ? ∴? ,解得? ? ?3λ+μ=3 ?μ=3 5 ? → 4→ 故AP=5AM,即 AP:PM=4:1.



易错疑难辨析

如果 e1, e2 是平面 α 内所有向量的一组基底, 那 么下列命题正确的是( )

A.若实数 λ1,λ2 使 λ1e1+λ2e2=0,则 λ1=λ2=0 B.空间任一向量 a 都可以表示为 a=λ1e1+λ2e2,其中 λ1, λ 2 ∈R C.λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)不一定在平面 α 内 D. 对于平面 α 内的任一向量 a, 使 a=λ1e1+λ2e2 的实数 λ1, λ2 有无数对

[错解] B
[ 辨析 ] 若 a = λ1e1 + λ2e2 则这样的 a 只能与 e1 , e2 在同一平 面内,且λ1,λ2唯一确定. [正解] A [规律总结] 构成的. 解此类题目的关键是要深刻理解平面向量基

本定理,应注意定理中的一组基底是由两个不共线的非零向量


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