2013年4月上海市虹口区高三数学二模试卷理科含答案
虹口区 2013 年数学学科高考练习题(理科)
(时间 120 分钟,满分 150 分)
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、函数 f ( x ) ? ( 2 k ? 1 ) x ? 1 在 R 上单调递减,则 k 的取值范围是
(1 ? i ) 1? i
3
2013.4
.
2、已知复数 z ?
cos ? sin ?
,则 z ?
.
3、已知
sin ? cos ?
?
1 3
,则 cos 2 (? ? ? ) ?
.
4、 (1 ? 2 x ) n 展开式中二项式系数之和为 a n , 设 各项系数之和为 b n , lim 则
a n ? bn a n ? bn
n? ?
?
.
5、已知双曲线与椭圆 线方程为 6、如果 log
a
x
2
?
y
2
? 1 有相同的焦点,且渐近线方程为 y ? ?
1 2
x
,则此双曲
16
6
.
4 b ? ? 1 ,则 a ? b
的最小值为
n? 2
. .
?
2
7、数列 ?a n ? 的通项 a n ? n ? sin 8、设 F 1 、 F 2 是椭圆
? F 1 PF
x
2
,前 n 项和为 S n ,则 S 13 ?
? y
2
? 1 的两个焦点,点 P
4
在椭圆上,且满足 ? F 1 PF 2 ?
,则
2
的面积等于
2,
.
9、从集合 ?1,
3 ? 的所有非空子集中,等可能地取出一个,记取出的非空子集中元素
个数为 ? ,则 ? 的数学期望 E ? ?
. . .
10、 对于 x ? R , 不等式 2 ? x ? 1 ? x ? a 2 ? 2 a 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 11、 ? ABC 中,AB ? 1 ,AC ? 2 , AB ? AC ) ? AB ? 2 , ? ABC 面积等于 在 则 (
12、将边长为 2 的正方形沿对角线 AC 折起,以 A , B , C , D 为顶点的三棱锥的体积 最大值等于 .
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13、 a n ? log 设
n ?1
( n ? 2 ) ( n ? N ) , a 1 a 2 a 3 ? a k 为整数的 k 为 称 “希望数” 则在 (1, ,
?
2013 )
内所有“希望数”的个数为
2
. 的定义域是使得解析式有意义的 x 的集合,如 .
14、已知函数 f ( x ) ?
x ? ( a ? 1) x ? 2 a ? 2 2 x ? ax ? 2 a
2
果对于定义域内的任意实数 x , 函数值均为正, 则实数 a 的取值范围是
二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、直线 ?
?
6
? x ? 1 ? 2t ?y ? 1? t
的倾斜角等于(
?
3
)
1 2
A.
B.
C . arctan
D . arctan 2
1 2
16、已知函数 y ? 2 sin( x ?
?
2
) cos( x ?
?
2
)
与直线 y ?
相交,若在 y 轴右侧的交点自左向
右依次记为 M 1 , M 2 , M 3 ,??,则 M 1 M
A . 6? B. 7? C . 12 ?
13
等于( )
D . 13 ?
17 、 若 ?
(
?
2
? ? ?
?
2
n , 0 ? ? ? ? , m? R , 如 果 有 ?3 ?s i? ? m ? 0 ,
?
2
? ? ) ? cos ? ? m ? 0
3
,则 cos( ? ? ? ) 值为(
C.
1 2
) .
D.1
A.
?1
B. 0
CC 18、 正方体 ABCD ? A 1 B 1 C 1 D 1 的棱上到异面直线 AB , 1 的距离相等的点的个数为 ( ..
)
A . 2.
B . 3.
C . 4.
D . 5.
三、解答题(满分 74 分) 19、本题满分 12 分) ( 如图, ? 平面 ABCD , 矩形 ABCD PA 的边长 AB ? 1 , BC ? 2 , E 为 BC 的中点. (1)证明: PE ? DE ; (2) 如果 PA ? 2 , 求异面直线 AE 与 PD 所成的角的大小.
B
P
A
D
E
C
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20、 (本题满分 14 分)在 ? ABC 中,角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,向量
m ? ( 2 sin B , 2 cos B ) , n ? ( 3 cos B , ? cos B ) ,且 m ? n ? 1 .
(1)求角 B ; (2)若 b ? 2 ,求 ? ABC 的面积的最大值.
? 21、 (本题满分 14 分)已知复数 z n ? a n ? b n ? i ,其中 a n ? R , b n ? R , n ? N , i 是虚数
单位,且 z n ? 1 ? 2 z n ? z n ? 2 i , z 1 ? 1 ? i . (1)求数列 ?a n ? , ?b n ? 的通项公式;
n ?1 (2)求和:① a 1 a 2 ? a 2 a 3 ? ? ? a n a n ? 1 ;② b 1 b 2 ? b 2 b 3 ? b 3 b 4 ? b 4 b 5 ? ? ? ( ? 1 ) b n b n ? 1 .
22、 (本题满分 16 分)已知抛物线 C : y 点 A ( x1 ,
y1 ) 、 B ( x 2 , y2 ) .
2
? 2 px ( p ? 0 ) ,直线 l 交此抛物线于不同的两个
(1)当直线 l 过点 M ( p ,
0 ) 时,证明 y 1 ? y 2 为定值;
(2)当 y 1 y 2 ? ? p 时,直线 l 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明 理由; (3)如果直线 l 过点 M ( p ,
0 ) ,过点 M 再作一条与直线 l 垂直的直线 l ? 交抛物线 C 于两个
不同点 D 、 E .设线段 AB 的中点为 P ,线段 DE 的中点为 Q ,记线段 PQ 的中点为 N .问 是否存在一条直线和一个定点,使得点 N 到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这个 定点;若不存在,请说明理由.
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23、 (本题满分 18 分) 定义域为 D 的函数 f ( x ) , 如果对于区间 I 内 ( I ? D ) 的任意两个数 x 1 、
x 2 都有 f (
x1 ? x 2 2
) ?
1 2
. [ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] 成立,则称此函数在区间 I 上是“凸函数”
(1)判断函数 f ( x ) ? lg x 在 R ? 上是否是“凸函数” ,并证明你的结论; (2)如果函数 f ( x ) ? x ?
2
a x
在 [1,
2 ] 上是“凸函数” ,求实数 a 的取值范围;
(3)对于区间 [ c ,
d ] 上的“凸函数” f ( x ) ,在 [ c ,
d ] 上任取 x 1 , x 2 , x 3 ,??, x n .
k ? ① 证明: 当 n ? 2 ( k ? N )时, f (
x1 ? x 2 ? ? ? x n n
)?
1 n
[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n )] 成立;
② 请再选一个与①不同的且大于 1 的整数 n , 证明: f (
x1 ? x 2 ? ? ? x n n )? 1 n [ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n )] 也成立.
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虹口区 2013 年数学学科高考练习题答案(理)
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、( ? ? ,
1 2 )
;
2、 2;
3、?
7 9
;
12 7
4、? 1 ; ; 10、 [ ? 1 ,
5、
3] ;
x
2
?
y
2
? 1;
8
2
6、1;
3 2
7、7;
2 3 2
8、1;
9、
11、
;
12、
;
13、9;
14、 ? 7 ? a ? 0 或 a ? 2 ;
二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、 C ; 16、A; 17、 B ; 18、 C ;
P
三、解答题(满分 74 分) 19、(12 分) 解: (1)连 AE ,由 AB ? BE ? 1 ,得 AE ? 同理 DE ?
2 ,? AE
2
2 ,
? DE
2
? 4 ? AD
2
,由勾股定理逆定
A
D
理得 ? AED ? 90 ? ,? DE ? AE .????????3 分
B
由 PA ? 平 面 A B C D , 得 PA ? DE . 由 DE ? AE ,
PA ? DE PA ? AE ? A ,得 DE ? 平面 PAE .? PE ? DE .????6 分
E
C
? (2) PA 的中点 M ,AD 的中点 N , MC 、 取 连 NC 、 MN 、 AC . NC // AE , MN // PD , ? ? MNC 的大小等于异面直线 PD 与 AE 所成的角或其补角的大小.??????8 分
由 PA ? 2 ,AB ? 1 , 得 BC ? 2 , NC ? MN ?
? MNC ? 2? 3
MC ? 2 ,
6 , cos ? MNC ? ?
2?2?6 2? 2 ? 2
? ?
1 2
,
.? 异面直线 PD 与 AE 所成的角的大小为
?
3
.????12 分
注:用向量解相应给分.
? 20、 14 分) (1) m ? n ? 1 , 2 sin B ? 3 cos B ? 2 cos ( 解: ?
2
B ? 1 , 3 sin 2 B ? cos 2 B ? 2 ,
sin( 2 B ?
?
6
) ? 1 ,????????5 分
又 0 ? B ? ? ,? ?
?
6
? 2B ?
?
6
?
11 ? 6
,? 2 B ?
?
6
?
?
2
,? B ?
?
3
?
3
??????7 分
(2)? b ? 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ac ? cos B ,? 4 ? a 2 ? c 2 ? 2 ac ? cos
,即 4 ? a 2 ? c 2 ? ac ?9 分
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? 4 ? a
2
? c
2
? ac ? 2 ac ? ac ? ac ,即 ac ? 4 ,当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立.?12 分
S? ?
1 2
ac ? sin B ?
3 4
ac ?
3 ,当 a ? b ? c ? 2 时, ( S ? ABC ) max ?
3 .????14 分
21、 (14 分)解: (1)? z 1 ? a 1 ? b 1 ? i ? 1 ? i ,? a 1 ? 1 , b 1 ? 1 . 由 z n ?1 ? 2 z n ? z n ? 2 i 得 a n ? 1 ? b n ? 1 ? i ? 2 ( a n ? b n ? i ) ? ( a n ? b n ? i ) ? 2 i ? 3 a n ? ( b n ? 2 ) ? i ,
? a n ?1 ? 3 a n ? ? ??????3 分 ? b n ?1 ? b n ? 2
? 数列 ?a n ? 是以 1 为首项公比为 3 的等比数列, 数列 ?b n ? 是以 1 为首项公差为 2 的等差数列,
? an ? 3
n ?1
, b n ? 2 n ? 1 .????????6 分
a k a k ?1 a k ?1 a k ? 3 ,? 数列 ?a n a n ? 1 ? 是以 3 为首项,公比为 3 的等
2
n ?1 (2)①由(1)知 a n ? 3 ,?
2
比数列.? a 1 a 2 ? a 2 a 3 ? ? ? a n a n ? 1 ?
?
3 (1 ? 3
2n
)
1? 9
?
3
2 n ?1
? 8
3 8
.??????9 分
②当 n ? 2 k , k ? N 时,
b1 b 2 ? b 2 b 3 ? b 3 b 4 ? b 4 b 5 ? ? ? ( ? 1)
n ?1
b n b n ?1 ? ( b1 b 2 ? b 2 b 3 ) ? ( b 3 b 4 ? b 4 b 5 ) ? ? ? ( b 2 k ?1 b 2 k ? b 2 k b 2 k ?1 )
? ? 4 b 2 ? 4 b 4 ? ? ? 4 b 2 k ? ? 4 (b 2 ? b 4 ? ? ? b 2 k ) ? ? 4 ?
k (b 2 ? b 2 k ) 2
? ?8k
2
? 4k ? ?2n
2
? 2n
n ?1 ? 当 n ? 2 k ? 1 , k ? N 时, b1 b 2 ? b 2 b 3 ? b 3 b 4 ? b 4 b 5 ? ? ? ( ? 1 ) b n b n ? 1
? ( b1 b 2 ? b 2 b 3 ) ? ( b 3 b 4 ? b 4 b 5 ) ? ? ? ( b 2 k ?1 b 2 k ? b 2 k b 2 k ?1 ) ? b 2 k ? 1 b 2 k ? 2 ? ?8k
2
? 4 k ? ( 4 k ? 1 )( 4 k ? 3 ) ? 2 n
2
? 2n ? 1
又 n ? 1 也满足上式
? ? b b ? b b ? b b ? b b ? ? ? ( ? 1) n ? 1 b b ? ? 1 2 2 3 3 4 4 5 n n ?1 ?2n
2
? 2n ? 1
2
当 n 为奇数时 当 n 为偶数时
???14 分
?? 2n ?
? 2n
22、 分) (1) 过点 M ( p , (16 解: l
? x ? my ? p 0 ) 与抛物线有两个交点, l : x ? my ? p , ? 设 由 2 ? y ? 2 px
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得 y ? 2 pmy ? 2 p
2
2
? 0 ,? y 1 ? y 2 ? ? 2 p
2
.????????4 分
(2)当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? kx ? b ,其中 k ? 0 (若 k ? 0 时不合题意) .
? y ? kx ? b ?y
2
由?
? 2 px
得 ky
2
? 2 py ? 2 pb ? 0 .? y 1 y 2 ?
2 pb k
? ? p ,从而 b ? ?
k 2
.???6 分
1 ? 1 ?x ? 从而 y ? kx ? ,得 ( x ? ) k ? y ? 0 ,即 ? 2 ,即过定点 ( , 2 2 2 ?y ? 0 ?
k 1
0 ) .??????8 分
2 2 当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 , 设 l : x ? x 0 , 代 入 y ? 2 px 得 y ? 2 px 0 , y ? ? 2 px 0 ,
? y1 y 2 ?
2 px 0 ? ( ?
2 px 0 ) ? ? 2 px 0 ? ? p ,从而 x 0 ?
1
1 2
,即 l : x ?
1 2
,也过 ( ,
2
1
0) .
综上所述,当 y 1 y 2 ? ? p 时,直线 l 过定点 ( ,
2
0 ) .????10 分 1 2 ( y 1 ? y 2 ) ? pm ,
(3)依题意直线 l 的斜率存在且不为零,由(1)得点 P 的纵坐标为 y P ? 代入 l : x ? my ? p 得 x P ? pm
2
? p ,即 P ( pm
2
? p,
pm ) .
由于 l ? 与 l 互相垂直,将点 P 中的 m 用 ?
1 p ? x ? ( 2 ? p ? pm ? ? 2 m y ) ,则 ? ? y ? 1 ( pm ? p ) ? 2 m ?
1 m
2
代,得 Q (
p m
2
? p,
?
p m
) .????12 分
? p)
设 N ( x,
消m 得 y
2
?
p 2
( x ? 2 p ) ??????14 分
由抛物线的定义知存在直线 x ?
15 p 8
,点 (
17 p 8
,
0 ) ,点 N 到它们的距离相等.???16 分
23、 (18 分)解: (1)设 x 1 , x 2 是 R ? 上的任意两个数,则
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 f ( x1 ? x 2 2 ) ? lg x 1 ? lg x 2 ? 2 lg x1 ? x 2 2 ? lg 4 x1 x 2 ( x1 ? x 2 )
2
? lg 1 ? 0
? f (
x1 ? x 2 2
) ?
1 2
[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] .? 函数 f ( x ) ? lg x 在 R
?
上是 “凸函数” .??4 分
(2)对于 [1,
2 ] 上的任意两个数 x 1 , x 2 ,均有 f (
x1 ? x 2 2
) ?
1 2
[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] 成立,即
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(
x1 ? x 2 2
) ?
2
a x1 ? x 2 2
?
1 2
[( x 1 ?
2
a x1
) ? (x2 ?
2
a x2
)] , 整理得 ( x 1 ? x 2 ) a ? ?
2
1 2
( x1 ? x 2 ) x1 x 2 ( x1 ? x 2 )
2
??????7 分 若 x 1 ? x 2 , a 可以取任意值. 若 x 1 ? x 2 ,得 a ? ?
1 2 x 1 x 2 ( x 1 ? x 2 ) ,? ? 8 ? ? 1 2 x 1 x 2 ( x 1 ? x 2 ) ? ? 1 ,? a ? ? 8 .
综上所述得 a ? ? 8 .??????10 分 (3)①当 k ? 1 时由已知得 f (
x1 ? x 2 2 ) ? 1 2 [ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] 成立.
? 假设当 k ? m ( m ? N ) 时, 不等式成立即 f (
x1 ? x 2 ? ? ? x 2
m ?1
2
k
)?
1 2
m
[ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x
2
m
)]
成立. 那么,由 c ?
x1 ? x 2 ? ? ? x 2 x1 ? x 2 ? ? ? x 2 1 2
m ?1 m 2
m
? d ,c ?
x
2
m
?1
? x
2
m
?2
?? ? x
m
2
m
?2
m
? d
2
得f(
2
m ?1
) ? f{
x m ? x m ?? ? x m m 1 x1 ? x 2 ? ? ? x 2m 2 ?1 2 ?2 2 ?2 [ ? ]} m m 2 2 2 x ? x ?? ? x
m
?
[f (
x1 ? x 2 ? ? ? x 2
m
2
m
)? f (
2
m
?1
2
m
?2
2
m
?2
m
)]
2
? ?
1 2
{ 1
1 2
m
[ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x
2
m
)] ?
1 2
m
[ f (x
2
m
?1
) ? f (x
2
m
?2
) ? ? ? f (x
2
m ?1
)]}
2
m ?1
[ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x
2
m ?1
)] .
即 k ? m ? 1 时,不等式也成立.根据数学归纳法原理不等式得证.????????15 分 ②比如证明 n ? 3 不等式成立.由①知 c ? x 1 ? d , c ? x 2 ? d , c ? x 3 ? d , c ? x 4 ? d ,
x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 4
? c ? x1 ? d
有f(
) ?
1 4
[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 ) ? f ( x 4 )] 成立.
1 3
,c ? x2 ? d ,c ? x3 ? d ,c ?
( x1 ? x 2 ? x 3 ) ? d ,
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x1 ? x 2 ? x 3
? f(
x1 ? x 2 ? x 3 3
) ? f(
3
? x1 ? x 2 ? x 3 ) ? 4
1 4
[f(
x1 ? x 2 ? x 3 3
) ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 4 )] ,
从而得 f (
x1 ? x 2 ? x 3 3
) ?
1 3
[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 )] .??????18 分
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