2013年4月上海市虹口区高三数学二模试卷理科含答案
虹口区 2013 年数学学科高考练习题(理科)
（时间 120 分钟，满分 150 分）
一、填空题（每小题 4 分，满分 56 分） 1、函数 f ( x ) ? ( 2 k ? 1 ) x ? 1 在 R 上单调递减，则 k 的取值范围是
(1 ? i ) 1? i
3
2013.4
．
2、已知复数 z ?
cos ? sin ?
，则 z ?
．
3、已知
sin ? cos ?
?
1 3
，则 cos 2 (? ? ? ) ?
．
4、 (1 ? 2 x ) n 展开式中二项式系数之和为 a n ， 设 各项系数之和为 b n ， lim 则
a n ? bn a n ? bn
n? ?
?
．
5、已知双曲线与椭圆 线方程为 6、如果 log
a
x
2
?
y
2
? 1 有相同的焦点，且渐近线方程为 y ? ?
1 2
x
，则此双曲
16
6
．
4 b ? ? 1 ，则 a ? b
的最小值为
n? 2
． ．
?
2
7、数列 ?a n ? 的通项 a n ? n ? sin 8、设 F 1 、 F 2 是椭圆
? F 1 PF
x
2
，前 n 项和为 S n ，则 S 13 ?
? y
2
? 1 的两个焦点，点 P
4
在椭圆上，且满足 ? F 1 PF 2 ?
，则
2
的面积等于
2,
．
9、从集合 ?1,
3 ? 的所有非空子集中，等可能地取出一个，记取出的非空子集中元素
个数为 ? ，则 ? 的数学期望 E ? ?
． ． ．
10、 对于 x ? R ， 不等式 2 ? x ? 1 ? x ? a 2 ? 2 a 恒成立， 则实数 a 的取值范围是 11、 ? ABC 中，AB ? 1 ，AC ? 2 ， AB ? AC ) ? AB ? 2 ， ? ABC 面积等于 在 则 (
12、将边长为 2 的正方形沿对角线 AC 折起，以 A ， B ， C ， D 为顶点的三棱锥的体积 最大值等于 ．
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13、 a n ? log 设
n ?1
( n ? 2 ) ( n ? N ) ， a 1 a 2 a 3 ? a k 为整数的 k 为 称 “希望数” 则在 (1, ，
?
2013 )
内所有“希望数”的个数为
2
． 的定义域是使得解析式有意义的 x 的集合，如 ．
14、已知函数 f ( x ) ?
x ? ( a ? 1) x ? 2 a ? 2 2 x ? ax ? 2 a
2
果对于定义域内的任意实数 x ， 函数值均为正， 则实数 a 的取值范围是
二、选择题（每小题 5 分，满分 20 分） 15、直线 ?
?
6
? x ? 1 ? 2t ?y ? 1? t
的倾斜角等于（
?
3
）
1 2
A.
B.
C . arctan
D . arctan 2
1 2
16、已知函数 y ? 2 sin( x ?
?
2
) cos( x ?
?
2
)
与直线 y ?
相交，若在 y 轴右侧的交点自左向
右依次记为 M 1 ， M 2 ， M 3 ，??，则 M 1 M
A . 6? B. 7? C . 12 ?
13
等于（ ）
D . 13 ?
17 、 若 ?
(
?
2
? ? ?
?
2
n ， 0 ? ? ? ? ， m? R ， 如 果 有 ?3 ?s i? ? m ? 0 ，
?
2
? ? ) ? cos ? ? m ? 0
3
，则 cos( ? ? ? ) 值为（
C.
1 2
） ．
D.1
A.
?1
B. 0
CC 18、 正方体 ABCD ? A 1 B 1 C 1 D 1 的棱上到异面直线 AB ， 1 的距离相等的点的个数为 （ ．．
）
A . 2．
B . 3．
C . 4．
D . 5．
三、解答题（满分 74 分） 19、本题满分 12 分） （ 如图， ? 平面 ABCD ， 矩形 ABCD PA 的边长 AB ? 1 ， BC ? 2 ， E 为 BC 的中点． （1）证明： PE ? DE ； （2） 如果 PA ? 2 ， 求异面直线 AE 与 PD 所成的角的大小．
B
P
A
D
E
C
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20、 （本题满分 14 分）在 ? ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边长分别为 a ， b ， c ，向量
m ? ( 2 sin B , 2 cos B ) ， n ? ( 3 cos B , ? cos B ) ，且 m ? n ? 1 ．
（1）求角 B ； （2）若 b ? 2 ，求 ? ABC 的面积的最大值．
? 21、 （本题满分 14 分）已知复数 z n ? a n ? b n ? i ，其中 a n ? R ， b n ? R ， n ? N ， i 是虚数
单位，且 z n ? 1 ? 2 z n ? z n ? 2 i ， z 1 ? 1 ? i ． （1）求数列 ?a n ? ， ?b n ? 的通项公式；
n ?1 （2）求和：① a 1 a 2 ? a 2 a 3 ? ? ? a n a n ? 1 ；② b 1 b 2 ? b 2 b 3 ? b 3 b 4 ? b 4 b 5 ? ? ? ( ? 1 ) b n b n ? 1 ．
22、 （本题满分 16 分）已知抛物线 C ： y 点 A ( x1 ,
y1 ) 、 B ( x 2 , y2 ) ．
2
? 2 px ( p ? 0 ) ，直线 l 交此抛物线于不同的两个
（1）当直线 l 过点 M ( p ,
0 ) 时，证明 y 1 ? y 2 为定值；
（2）当 y 1 y 2 ? ? p 时，直线 l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明 理由； （3）如果直线 l 过点 M ( p ,
0 ) ，过点 M 再作一条与直线 l 垂直的直线 l ? 交抛物线 C 于两个
不同点 D 、 E ．设线段 AB 的中点为 P ，线段 DE 的中点为 Q ，记线段 PQ 的中点为 N ．问 是否存在一条直线和一个定点，使得点 N 到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个 定点；若不存在，请说明理由．
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23、 （本题满分 18 分） 定义域为 D 的函数 f ( x ) ， 如果对于区间 I 内 ( I ? D ) 的任意两个数 x 1 、
x 2 都有 f (
x1 ? x 2 2
) ?
1 2
． [ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] 成立，则称此函数在区间 I 上是“凸函数”
（1）判断函数 f ( x ) ? lg x 在 R ? 上是否是“凸函数” ，并证明你的结论； （2）如果函数 f ( x ) ? x ?
2
a x
在 [1,
2 ] 上是“凸函数” ，求实数 a 的取值范围；
（3）对于区间 [ c ,
d ] 上的“凸函数” f ( x ) ，在 [ c ,
d ] 上任取 x 1 ， x 2 ， x 3 ，??， x n ．
k ? ① 证明： 当 n ? 2 （ k ? N ）时， f (
x1 ? x 2 ? ? ? x n n
)?
1 n
[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n )] 成立；
② 请再选一个与①不同的且大于 1 的整数 n ， 证明： f (
x1 ? x 2 ? ? ? x n n )? 1 n [ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n )] 也成立．
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虹口区 2013 年数学学科高考练习题答案（理）
一、填空题（每小题 4 分，满分 56 分） 1、( ? ? ,
1 2 )
；
2、 2；
3、?
7 9
；
12 7
4、? 1 ； ； 10、 [ ? 1 ,
5、
3] ；
x
2
?
y
2
? 1；
8
2
6、1；
3 2
7、7；
2 3 2
8、1；
9、
11、
；
12、
；
13、9；
14、 ? 7 ? a ? 0 或 a ? 2 ；
二、选择题（每小题 5 分，满分 20 分） 15、 C ； 16、A； 17、 B ； 18、 C ；
P
三、解答题（满分 74 分） 19、(12 分) 解： （1）连 AE ，由 AB ? BE ? 1 ，得 AE ? 同理 DE ?
2 ，? AE
2
2 ，
? DE
2
? 4 ? AD
2
，由勾股定理逆定
A
D
理得 ? AED ? 90 ? ，? DE ? AE ．????????3 分
B
由 PA ? 平 面 A B C D ， 得 PA ? DE . 由 DE ? AE ，
PA ? DE PA ? AE ? A ，得 DE ? 平面 PAE ．? PE ? DE ．????6 分
E
C
? （2） PA 的中点 M ，AD 的中点 N ， MC 、 取 连 NC 、 MN 、 AC ． NC // AE ， MN // PD ， ? ? MNC 的大小等于异面直线 PD 与 AE 所成的角或其补角的大小．??????8 分
由 PA ? 2 ，AB ? 1 ， 得 BC ? 2 ， NC ? MN ?
? MNC ? 2? 3
MC ? 2 ，
6 ， cos ? MNC ? ?
2?2?6 2? 2 ? 2
? ?
1 2
，
．? 异面直线 PD 与 AE 所成的角的大小为
?
3
．????12 分
注：用向量解相应给分．
? 20、 14 分） （1） m ? n ? 1 ， 2 sin B ? 3 cos B ? 2 cos （ 解： ?
2
B ? 1 ， 3 sin 2 B ? cos 2 B ? 2 ，
sin( 2 B ?
?
6
) ? 1 ，????????5 分
又 0 ? B ? ? ，? ?
?
6
? 2B ?
?
6
?
11 ? 6
，? 2 B ?
?
6
?
?
2
，? B ?
?
3
?
3
??????7 分
（2）? b ? 2 ， b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ac ? cos B ，? 4 ? a 2 ? c 2 ? 2 ac ? cos
，即 4 ? a 2 ? c 2 ? ac ?9 分
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? 4 ? a
2
? c
2
? ac ? 2 ac ? ac ? ac ，即 ac ? 4 ，当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立．?12 分
S? ?
1 2
ac ? sin B ?
3 4
ac ?
3 ，当 a ? b ? c ? 2 时， ( S ? ABC ) max ?
3 ．????14 分
21、 （14 分）解： （1）? z 1 ? a 1 ? b 1 ? i ? 1 ? i ，? a 1 ? 1 ， b 1 ? 1 ． 由 z n ?1 ? 2 z n ? z n ? 2 i 得 a n ? 1 ? b n ? 1 ? i ? 2 ( a n ? b n ? i ) ? ( a n ? b n ? i ) ? 2 i ? 3 a n ? ( b n ? 2 ) ? i ，
? a n ?1 ? 3 a n ? ? ??????3 分 ? b n ?1 ? b n ? 2
? 数列 ?a n ? 是以 1 为首项公比为 3 的等比数列， 数列 ?b n ? 是以 1 为首项公差为 2 的等差数列，
? an ? 3
n ?1
， b n ? 2 n ? 1 ．????????6 分
a k a k ?1 a k ?1 a k ? 3 ,? 数列 ?a n a n ? 1 ? 是以 3 为首项，公比为 3 的等
2
n ?1 （2）①由（1）知 a n ? 3 ，?
2
比数列．? a 1 a 2 ? a 2 a 3 ? ? ? a n a n ? 1 ?
?
3 (1 ? 3
2n
)
1? 9
?
3
2 n ?1
? 8
3 8
．??????9 分
②当 n ? 2 k ， k ? N 时，
b1 b 2 ? b 2 b 3 ? b 3 b 4 ? b 4 b 5 ? ? ? ( ? 1)
n ?1
b n b n ?1 ? ( b1 b 2 ? b 2 b 3 ) ? ( b 3 b 4 ? b 4 b 5 ) ? ? ? ( b 2 k ?1 b 2 k ? b 2 k b 2 k ?1 )
? ? 4 b 2 ? 4 b 4 ? ? ? 4 b 2 k ? ? 4 (b 2 ? b 4 ? ? ? b 2 k ) ? ? 4 ?
k (b 2 ? b 2 k ) 2
? ?8k
2
? 4k ? ?2n
2
? 2n
n ?1 ? 当 n ? 2 k ? 1 ， k ? N 时， b1 b 2 ? b 2 b 3 ? b 3 b 4 ? b 4 b 5 ? ? ? ( ? 1 ) b n b n ? 1
? ( b1 b 2 ? b 2 b 3 ) ? ( b 3 b 4 ? b 4 b 5 ) ? ? ? ( b 2 k ?1 b 2 k ? b 2 k b 2 k ?1 ) ? b 2 k ? 1 b 2 k ? 2 ? ?8k
2
? 4 k ? ( 4 k ? 1 )( 4 k ? 3 ) ? 2 n
2
? 2n ? 1
又 n ? 1 也满足上式
? ? b b ? b b ? b b ? b b ? ? ? ( ? 1) n ? 1 b b ? ? 1 2 2 3 3 4 4 5 n n ?1 ?2n
2
? 2n ? 1
2
当 n 为奇数时 当 n 为偶数时
???14 分
?? 2n ?
? 2n
22、 分） （1） 过点 M ( p , （16 解： l
? x ? my ? p 0 ) 与抛物线有两个交点， l : x ? my ? p ， ? 设 由 2 ? y ? 2 px
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得 y ? 2 pmy ? 2 p
2
2
? 0 ，? y 1 ? y 2 ? ? 2 p
2
．????????4 分
（2）当直线 l 的斜率存在时，设 l : y ? kx ? b ，其中 k ? 0 （若 k ? 0 时不合题意） ．
? y ? kx ? b ?y
2
由?
? 2 px
得 ky
2
? 2 py ? 2 pb ? 0 ．? y 1 y 2 ?
2 pb k
? ? p ，从而 b ? ?
k 2
．???6 分
1 ? 1 ?x ? 从而 y ? kx ? ，得 ( x ? ) k ? y ? 0 ，即 ? 2 ，即过定点 ( , 2 2 2 ?y ? 0 ?
k 1
0 ) ．??????8 分
2 2 当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 ， 设 l : x ? x 0 ， 代 入 y ? 2 px 得 y ? 2 px 0 ， y ? ? 2 px 0 ，
? y1 y 2 ?
2 px 0 ? ( ?
2 px 0 ) ? ? 2 px 0 ? ? p ，从而 x 0 ?
1
1 2
，即 l : x ?
1 2
，也过 ( ,
2
1
0) ．
综上所述，当 y 1 y 2 ? ? p 时，直线 l 过定点 ( ,
2
0 ) ．????10 分 1 2 ( y 1 ? y 2 ) ? pm ，
（3）依题意直线 l 的斜率存在且不为零，由（1）得点 P 的纵坐标为 y P ? 代入 l : x ? my ? p 得 x P ? pm
2
? p ，即 P ( pm
2
? p,
pm ) ．
由于 l ? 与 l 互相垂直，将点 P 中的 m 用 ?
1 p ? x ? ( 2 ? p ? pm ? ? 2 m y ) ，则 ? ? y ? 1 ( pm ? p ) ? 2 m ?
1 m
2
代，得 Q (
p m
2
? p,
?
p m
) ．????12 分
? p)
设 N ( x,
消m 得 y
2
?
p 2
( x ? 2 p ) ??????14 分
由抛物线的定义知存在直线 x ?
15 p 8
，点 (
17 p 8
,
0 ) ，点 N 到它们的距离相等．???16 分
23、 （18 分）解： （1）设 x 1 ， x 2 是 R ? 上的任意两个数，则
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2 f ( x1 ? x 2 2 ) ? lg x 1 ? lg x 2 ? 2 lg x1 ? x 2 2 ? lg 4 x1 x 2 ( x1 ? x 2 )
2
? lg 1 ? 0
? f (
x1 ? x 2 2
) ?
1 2
[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] ．? 函数 f ( x ) ? lg x 在 R
?
上是 “凸函数” ．??4 分
（2）对于 [1,
2 ] 上的任意两个数 x 1 ， x 2 ，均有 f (
x1 ? x 2 2
) ?
1 2
[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] 成立，即
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(
x1 ? x 2 2
) ?
2
a x1 ? x 2 2
?
1 2
[( x 1 ?
2
a x1
) ? (x2 ?
2
a x2
)] ， 整理得 ( x 1 ? x 2 ) a ? ?
2
1 2
( x1 ? x 2 ) x1 x 2 ( x1 ? x 2 )
2
??????7 分 若 x 1 ? x 2 ， a 可以取任意值． 若 x 1 ? x 2 ，得 a ? ?
1 2 x 1 x 2 ( x 1 ? x 2 ) ，? ? 8 ? ? 1 2 x 1 x 2 ( x 1 ? x 2 ) ? ? 1 ，? a ? ? 8 ．
综上所述得 a ? ? 8 ．??????10 分 （3）①当 k ? 1 时由已知得 f (
x1 ? x 2 2 ) ? 1 2 [ f ( x 1 ) ? f ( x 2 )] 成立．
? 假设当 k ? m ( m ? N ) 时， 不等式成立即 f (
x1 ? x 2 ? ? ? x 2
m ?1
2
k
)?
1 2
m
[ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x
2
m
)]
成立． 那么，由 c ?
x1 ? x 2 ? ? ? x 2 x1 ? x 2 ? ? ? x 2 1 2
m ?1 m 2
m
? d ，c ?
x
2
m
?1
? x
2
m
?2
?? ? x
m
2
m
?2
m
? d
2
得f(
2
m ?1
) ? f{
x m ? x m ?? ? x m m 1 x1 ? x 2 ? ? ? x 2m 2 ?1 2 ?2 2 ?2 [ ? ]} m m 2 2 2 x ? x ?? ? x
m
?
[f (
x1 ? x 2 ? ? ? x 2
m
2
m
)? f (
2
m
?1
2
m
?2
2
m
?2
m
)]
2
? ?
1 2
{ 1
1 2
m
[ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x
2
m
)] ?
1 2
m
[ f (x
2
m
?1
) ? f (x
2
m
?2
) ? ? ? f (x
2
m ?1
)]}
2
m ?1
[ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x
2
m ?1
)] ．
即 k ? m ? 1 时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．????????15 分 ②比如证明 n ? 3 不等式成立．由①知 c ? x 1 ? d ， c ? x 2 ? d ， c ? x 3 ? d ， c ? x 4 ? d ，
x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 4
? c ? x1 ? d
有f(
) ?
1 4
[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 ) ? f ( x 4 )] 成立．
1 3
，c ? x2 ? d ，c ? x3 ? d ，c ?
( x1 ? x 2 ? x 3 ) ? d ，
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x1 ? x 2 ? x 3
? f(
x1 ? x 2 ? x 3 3
) ? f(
3
? x1 ? x 2 ? x 3 ) ? 4
1 4
[f(
x1 ? x 2 ? x 3 3
) ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 4 )] ，
从而得 f (
x1 ? x 2 ? x 3 3
) ?
1 3
[ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 )] ．??????18 分
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