山东省平邑县曾子学校高中数学必修四导学案:3.2.1 简单的三角恒等式的证明 Word版缺答案

3.2 简单的三角恒等变换 3.2.1 简单的三角恒等式的证明 【学习目标】 1. 加深对三角函数的概念、公式的理解,把握三角恒等变换的基本特点。 2. 以已有公式为依据,以推导半角公式,积化和差、和差化积公式作为基本训练,学习 三角变换的内容、思路和方法,培养提高学生推理、运算能力。 【新知自学】 知识回顾:回顾复习以下公式并填空: cos(? ? ? ) =________________ cos(? ? ? ) = ________________ sin(? ? ? ) = sin(? ? ? ) = ________________ tan( ? ? ?)= tan( ? ? ? ) = ________________ sin 2? = tan 2? =________________ cos 2? =________________ =________________ 对点练习: 1、已知sin ? ·si n ? =1,那么cos( ? + ? )的值为( (A)-l (B)0 (C)1 (D)±l ). 2.已知tan ? = 1 3 ? ,且 ? ∈( ? , ? ),则sin( ? + )的值是( ). 2 2 4 (B) (A)- 3 10 10 3 10 10 (c) 3. 3 5 5 (D)- 3 5 5 【合作探究】 典例精析: 例 1.试用 cos? 表示 sin 2 ? 2 ? 2 ? , cos , tan 2 2 2 讨论展示:在前面学习的二倍角公式中,2 ? 角是 ? 的二倍,大家体会一下:这里角 ? 与 ? 可以有什么关系?进一步体会二倍 角公 式中,倍角的相对性。 2 解答: 规律总结: 1 、 本 题 的 结 果 可 以 表 示 成 : sin ? 2 ?? 1 ? cos? ? 1 ? cos? , cos ? ? , 2 2 2 tan ? 2 ?? 1 ? cos? ,并称之为半角公式(不要求记忆) ,其中的符号由_____来确定。 1 ? cos? 2、思考:代数变换与三角变换有什么不同?(答案见课本) 变式练习 1: 求证: tan ? 2 ? sin ? 1 ? cos ? ? (优点:避免选择符号) 1 ? cos ? sin ? 例 2.求证: (1) sin ? cos ? ? 1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ?; 2? (2) sin ? ? sin ? ? 2sin ? ?? 2 cos ? ?? 2 . 讨论展示: ①两角和与差的 正弦、余弦公式两边有什么特点?②它们与本例在结构形式上有 什么联系?③如何完成本题的证明? 思考感悟: ①本题证明过程中,体现了什么数学思想方法?_____、________ ②在本例证明过程中,如果不用(1)的结果,如何证明(2)? 变式练习 2: 已知 sin(? ? ? ) ? 1 1 , sin(? ? ? ) ? ,求证: sin ? cos ? ? 5 cos? sin ? 2 3 【课堂小结】 三角变换的特点: 换元法、方程思想的运用 【当堂达标】 1、求证: 2 sin( π ? ? x) ? sin( ? x) =cos2x. 4 4 2、求证: tan ? ? 2 1 2(3 ? cos 4 x) ? 2 1 ? cos 4 x tan ? 3、求 证: 1 ? 2 sin? ? cos? 1 ? tan? ? cos2 ? ? sin2 a 1 ? tan? 【课时作业】 1 2 2 1、已知 cos(α +β )cos(α -β )= ,则 cos α -sin β 的值为( 3 A.- C. ) 2 3 D. 2 B .- 1 3 1 3 2 3 2、求证:1+2cos θ -cos2θ =2. π tan? +α ?·cos 2α 4 *3、求证: =1 π 2 2cos ? -α ? 4 4、求证:4sinθ ·cos ? =2sinθ +sin2θ . 2 ? sin α +sin 2α 5、求证:证明 = tan ? 1+cos α +cos 2α 6、证明:(1)sin θ (1+cos 2θ )=sin 2θ cos θ ; tan α +tan β sin?α +β ? (2) = . tan α -tan β sin?α -β ? 【延伸探究】 证明: tan 3x x 2 sin x ? tan ? 2 2 cos x ? cos 2 x

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