辽宁省沈阳二中2013届年高三第一阶段测试数学(理)试题

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说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分 2.客观题涂在答题卡上,主观题答在答题纸上

第Ⅰ卷 (60 分)
一.选择题(每小题只有一个选项符合题意,每小题 5 分,共 60 分)
? ? ? ? 1. 已知集合 M ? y y ? x ? 1 , ,N ? (x, y) x2 ? y 2 ? 1 ,则 M∩N 中元素的个数是( )

A 0个 B 1 个 C 2个

D 多个

2. 已 知 集 合 U ? R , 集 合 M ? {y y ? 2 x , x ? R} , 集 合 N ? {x y ? lg(3 ? x)} , 则

?CU M ? ? N ? ( )
A?t t ? 3? B ?t t ? 1? C ?t 1 ? t ? 3? D ?

3. 设 a ? ? 0.3,b ? log? 3, c ? 30.3 ,则 a, b, c 的大小关系是( )

A a?b?c B b?c?a

C b?a?c

D a?c?b

4. “ 0 ? a ? 1 ”是“函数 f (x) ? ax 2 ? 2(a ?1)x ? 2 在区间 (??,4] 上为减函数”的( ) 5

A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

5.若

f

(x)

?

x sin

x

?

cos

x, 则f

(1),

f

? (

)以及f

(3)

的大小关系是(



2

2

A. f (1) ? f (? ) ? f ( 3)

2

2

B. f (? ) ? f ( 3) ? f (1)

2

2

C. f ( 3) ? f (? ) ? f (1)

2

2

D. f (1) ? f ( 3) ? f (? )

2

2

6. 对于任意 a ?[?1,1] ,函数 f (x) ? x 2 ? (a ? 4)x ? 4 ? 2a 的值恒大于零,那么 x 的取值

范围是( )

A (1,3)

B (??,1) ? (3,??)

C (1,2)

D (3,??)

7. 设 f ?1 (x) 是函数 f (x) ? 2 x?1 的反函数,若 f ?1 (a) ? f ?1 (b) ? 0 ,则 a ? b 的最小值
是( )

A1

B2

C 22

D4

8. 函数 f (x) ? 2 x ? 4 ? x ,则函数 f (x) 的值域是( )

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A [2,4] B [0,2 5] C [4,2 5]

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D [2,2 5]

9. 若函数 f (x) 的导函数 f ' (x) ? x 2 ? 4x ? 3 ,则函数 f (x ? 1) 的单调递减区间是( )

A (?3,?1)

B (0,2)

C (1,3)

D (2,4)

10. 函数 y ? loga (x 2 ? ax ? 2) 在[2,??) 上恒为正数,则实数 a 的取值范围是( )

A 0? a ?1 B 1? a ? 2

C 1? a ? 5 2

D 2?a?3

11. 若函数 f (x) ? 25? x?1 ? 4 ? 5? x?1 ? m 有实数零点,则实数 m 的取值范围是(



A (??,0)

B [?4,??)

C [?4,0)

D [?3,0)

12. 已知 f (x) 为定义在 (??,??) 上的可导函数,且 f (x) ? f ' (x) 对于 x ? R 恒成立,
则( )
A f (2) ? e2 ? f (0), f (2011) ? e2011 ? f (0) B f (2) ? e2 ? f (0), f (2011) ? e2011 ? f (0)

C f (2) ? e2 ? f (0), f (2011) ? e2011 ? f (0) D f (2) ? e2 ? f (0), f (2011) ? e2011 ? f (0)

第Ⅱ卷 (90 分)

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13. 对任意的函数 f (x), g(x) 在公共定义域内,规定 f (x) ? g(x) ? min?f (x), g(x)?,若

f (x) ? 3 ? x, g(x) ? 2x ? 3 ,则 f (x) ? g(x) 的最大值为___________

14. 若不等式 x 2 ? ax ? 4 ? 0 对于一切 x ? (0,1] 恒成立,则 a 的取值范围是___________

?x ? y ?1? 0

15.

如果实数

x,

y

满足

? ?

y ?1? 0

??x ? y ? 1 ?

,则 3x ? 2 y ? 5 x ?1
0

的取值范围是___________

16. 三棱锥 P ? ABC 中,PA, PB, PC 两两垂直,且 PA ? 3, PB ? 2, PC ? 1.设 M 是底面

?ABC 内的一点,定义 f (M ) ? (m, n, p) ,其中 m, n, p 分别是三棱锥 M ? PAB ,三棱锥

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M ? PBC, 三棱锥 M ? PCA 的体积,若 f (M ) ? (1 , x, y) ,且 1 ? a ? 8 恒成立,则正实

2

xy

数 a 的最小值为___________

三.解答题(共 70 分) 17. (本小题满分 10 分)

定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x ? 2) ? ? f (x) ,且当 x ?[?1,1]时, f (x) ? x3 ,

(1)求 f (x) 在[1,5] 上的表达式;
? ? (2)若 A ? x f (x) ? a, x ? R ,且 A ? ? ,求实数 a 的取值范围。

18.(本小题满分 12 分)
解关于 x 的不等式 a(x ?1) ? 2 (其中 a 是常数,且 a ? 1) x?2

19.(本小题满分 12 分)
定义在 R 上的函数 y ? f (x) ,对于任意的实数 m, n ,恒有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,且当 x ? 0 时, 0 ? f (x) ? 1。 (1)求 f (0) 及 f (x) 的值域。 (2)判断 f (x) 在 R 上的单调性,并证明。
? ? ? ? ( 3 ) 设 A ? (x, y) f (x2 ) ? f ( y 2 ) ? f (1) , B ? (x, y) f (ax ? y ? 2) ? 1, a ? R ,
A ? B ? ? ,求 a 的范围。

20.(本小题满分 12 分)
定义在[?1,1] 上的奇函数 f (x) ,已知当 x ?[?1,0]时, f (x) ? 1 ? a (a ? R) 4x 2x
(1)写出 f (x) 在[0,1] 上的解析式
(2)求 f (x) 在[0,1] 上的最大值
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(3)若 f (x) 是[0,1] 上的增函数,求实数 a 的范围。

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21.(本小题满分 12 分)
已知 f (x) ? ax ? ln(?x), x ?[?e,0), g(x) ? ? ln(?x) ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R x
(1)讨论 a ? ?1时, f (x) 的单调性。 (2)求证:在(1)条件下, f (x) ? g(x) ? 1
2 (3)是否存在实数 a ,使 f (x) 得最小值是 3,如果存在,求出 a 的值;如果不存在,说明
理由。
22、23、24 题为三个选答题。请考生任选 1 题作答,满分 10 分,如果多做,则按所做的第 一题计分。作答时,先在答题纸上把所选题目对应的题号填入括号中 22.选修 4—1:几何证明选讲
如图,PA 切⊙O 于点 A ,D 为 PA 的中点,过点 D 引割线交⊙O 于 B 、 C 两点. 求证: ?DPB ? ?DCP .

23.选修 4—4:坐标系与参数方程
已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角? ? ? , 6
(1)写出直线 l 的参数方程。
(2)设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积。
24.选修 4—5:不等式选讲
已知实数 a,b, c 满足 a ? b ? c ,且有 a ? b ? c ? 1, a2 ? b2 ? c2 ? 1
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求证:1 ? a ? b ? 4 3

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高三(13 届)数学(理)试题参考答案

一、选择题

ABDAD

BDDBC

DA

二、填空题

13. 1

14. [?5,??)

15. [4,7]

16. 1

解答题

18.(本小题满分 12 分)
∵ a ? 1,∴ a ? 2 ? 0 ,∴ (x ? a ? 4)(x ? 2) ? 0 …………………………………6 分 a?2
当 0 ? a ? 1时, x ? (2, a ? 4) …………………………………8 分 a?2

当 a ? 0 时, x ??

…………………………………10 分

当 a ? 0 时, x ? ( a ? 4 ,2) …………………………………12 分 a?2

19. 解 :( 1 ) f (0) ? 1 , 当 x ? 0 时 , ? x ? 0 。 则 f (0) ? f (x) f (?x) , f (x) ? 1 ? (1,??)
f (?x)

第5页共8页

综上 f (x) ? (0,??) …………………………………4 分

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(2)设 x1, x2 ? R, ?x ? x2 ? x1 ? 0
?y ? f (x2 ) ? f (x1 ) ? f (x1 )? f (x2 ? x1 ) ?1? ? f (x1 )? f (?x) ?1? , ∵ f (x1 ) ? 0 , 又 ∵ ?x ? 0 , 0 ? f ??x? ? 1

∴ ?y ? 0 ,∴ f (x) 在 R 上↓…………………………………8 分
? ? ? ? ( 3 ) A ? (x, y) x2 ? y 2 ? 1 , B ? (x, y) ax ? y ? 2 ? 0 , 由 A ? B ? ? , ∴

a ? 2 ? 1,∴ a ? (??,? 3) ? 3,??) …………………………………12 分 a2 ?1

20. 解:(1) f (x) ? a ? 2 x ? 4 x , x ?[0.1] ……………………………4 分 (2)当 a ? 2 时, f (x) 最大值为 a ?1,当 2 ? a ? 4 时, f (x) 最大值为 a 2
4 当 a ? 4 时, f (x) 最大值为 2a ? 4 ……………………………8 分 (3) a ? 4 …………………………………12 分

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23.

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?

解:(1)直线的参数方程是

?? x ?

?

1?

3t 2 (t是参数)----------------------5 分

? ??

y

?

1

?

1 2

t

(2)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2,则点 A,B 的坐标分别

为 A(1?

3 2

t1

,1

?

1 2

t1

)



B(1

?

31 2 t2 ,1 ? 2 t2 )

以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x 2 ? y 2 ? 4 整理得到

t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 …… ①
因为 t1 和 t2 是方程①的解,从而 t1t2=-2, 所以|PA|·|PB|= |t1t2|=|-2|=2-------------------------------10 分

21.(本题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? ax ? x2 ? x ln a(a ? 0, a ? 1) . (1)当 a ? 1时,求证:函数 f (x) 在 (0, ??) 上单调递增; (2)若函数 y ?| f (x) ? t | ?1 有三个零点,求 t 的值; (3)若存在 x1, x2 ?[?1,1] ,使得| f (x1) ? f (x2 ) |? e ?1 ,试求 a 的取值范围。
解:(1) f ?(x) ? ax ln a ? 2x ? ln a ? 2x ? (ax ?1) ln a
由于 a ? 1,故当 x ? (0, ??) 时, ln a ? 0, ax ?1 ? 0 ,所以 f ?(x) ? 0 , 故函数 f (x) 在 (0, ??) 上单调递增-----------------------------------4 分 (2)当 a ? 0, a ? 1 时,因为 f ?(0) ? 0 ,且 f ?(x) 在 R 上单调递增, 故 f ?(x) ? 0 有唯一解 x ? 0
第7页共8页

所以 x, f ?(x), f (x) 的变化情况如下表所示:

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x

(??, 0)

0

(0, ??)

f ?(x)



0



f (x)

递减

极小值

递增

又函数 y ?| f (x) ? t | ?1 有三个零点,所以方程 f (x) ? t ?1有三个根,

而 t ?1 ? t ?1,所以 t ?1 ? ( f (x))min ? f (0) ? 1,解得 t ? 2 -----------8 分 (3)因为存在 x1, x2 ?[?1,1] ,使得| f (x1) ? f (x2 ) |? e ?1 ,
所以当 x ?[?1,1] 时,| ( f (x))max ? ( f (x))min |? ( f (x))max ? ( f (x))min ? e ?1 由(Ⅱ)知, f (x) 在[?1, 0]上递减,在[0,1] 上递增,

所以当 x ?[?1,1] 时, ( f (x))min ? f (0) ? 1, ( f (x))max ? max ? f (?1), f (1)? ,

而 f (1) ? f (?1) ? (a ?1? ln a) ? ( 1 ?1? ln a) ? a ? 1 ? 2 ln a ,

a

a

记 g(t) ? t ? 1 ? 2 ln t(t ? 0) ,因为 g?(t) ? 1? 1 ? 2 ? (1 ?1)2 ? 0 (当 t ? 1 时取等

t

t2 t t

号),

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