四川省绵阳市高中2013届高三第三次诊断性考试数学(文)

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绵阳市高中 2010 级第三次诊断性考试 数学(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷 l 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页。 满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上, 并将条形 码粘贴在答题卡的指定位置。 2. 选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用 0.5 毫米的 黑色签字 笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷 上答题无效。 3. 考试结束后,将答题卡收回。 第I卷(选择题,共

50分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项 是符合题目要求的. 1. 设集合 U={l,2, 3, 4}, M={l, 2, 3}, N={2,3, 4},则 CU ( M ? N ) 等于

A. {1, 2}

B. {2, 3} D. {1, 4}
2

C.{2, 4}
2.抛物线 x =-4y 的准线方程是

A. x=-1 C.y=1

B. x=2 D. y=-2

3. 若复数 z 满足 z*i=1+i (i 为虚数单位),则复数 z=

A. 1+i C. 1-i

B. -1-i D. -1+i

4. 设数列{an}是等比数列,则“a1<a2 广是“数列{an}是递增数列”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

5. 平面向量 a 与 b 的夹角为 600,a=(2, 0),b =(cosa, sina),则|a+2b|=
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A. C. 4

3

B.2 3 D. 12
1 2

6. 函数 f(x)=

x-sinx 的大致图象可能是

7. 执行如图所示的程序框图,若输出结果为 26,则 M 处的条件为 A. k ? 31 C. k>3l B. k ? 15 D. k>l5

8. 己知函数.
f ( x ) ? 2 sin( 2 x ? ? )(| ? |? ? ) ,若函数f(x)在区间 (

? 5?
, 6 8

) 上单调递增,则

0 的取值范围是

A [

? 7?
, 3 8 5? 6

]
3? 4

B [?

,?

]
?
8 7? 8 ,? )
2 2 2 2 2 2

C ( ? ? ,? D (??,
?
3

2? 3

]? [?

,? )

]? [
x a
2 2

9. 已知椭圆

?

y b

? 1( a ? b ? 0) 与离心率为 2 的双曲线
1 3

x

?

y n

? 1( m ? 0, n ? 0) 的公共

m

焦点 是 F1 F2,点 P 是两曲线的一个公共点,若 cos ?F1 PF2 ?

,则椭圆的离心率为

A.

2 4 10 10

B.

2 2 10 5

C.

D.

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10. 已知函数 f(x)=ln(ex+a)(e 是自然对数的底数,a 为常数)是实数集 R 上的奇函数,若 函数 f(x)=lnx-f(x)(x2-2ex+m)在(0, +∞)上有两个零点,则实数 m 的取值范围是
2 A. ( , e ? )

1 e

1 e

2 B. (0, e ? )

1 e

2 C. (e ? ,??)

1 e

2 D. (??, e ? )

1 e

第 II 卷(非选择题,共100分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 若直线 x+(a-1)y=4 与直线 x=1 平行,则实数 a 的值是____ 12. 如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为4 的正方形,俯视图是一个直径为4的圆,则这个几何体的侧 面积是____ 13.
?y ? x ? 设变量x、y满足约束条件: ? x ? y ? 1 ,则目标函数z=2x+y的最大值 ? y ? ?1 ?

是_______ 14. 己知 sin( a ?
?
3 ) ? sin a ? ? 4 3 5

,且 ?

?
2

?a??

?
3

则 cosa=______

15. 定义在区间[a, b]上的函数y=f(x),
f ?(x ) 是函数f(x)的导数,如果 ?? ? [ a, b] ,使得f(b)-f(a)= f ?(? )(b ? a ) ,则称 ? 为

[a,b]上的“中值点”.下列函数: ① f(x)=2x+l, ③ f(x)=lnx+l,
2 ② f(x)=x -x+l,

④ f ( x) ? ( x ? ) ,
3

1

2

其中在区间[0, 1]上的“中值点”多于一个的函数是______(请写出你认为正确的所有结论的序 号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

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从高三学生中抽取 n 名学生参加数学竞赛, (单位: 成绩 分)的分组及各数据绘制的频 率分布直方图如图所示,已 知成绩的范围是 区间[40, 100),且成绩在区间[70, 90)的 学 生人数是 27 人. (I) 求 n 的值; (II)试估计这 n 名学生的平均成绩; (III)若从数学成绩(单位:分)在[40,60)的学生中随 机选取 2 人进行成绩分析,求至少有 1 人成绩在[40, 50)内的概率.

17. (本小题满分 12 分) 已知{an}是等差数列,a1=3, Sn 是其前 n 项和,在各项均为正数的等比数列{bn}中, b1=1 且

b +S =1O, S5 =5b3+3a2.
2 2

(I )求数列{an}, {bn}的通项公式;
(II)设 c n ?
2 Sn

,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求证 Tn ?

3 2

18. (本小题满分 12 分) 如图,ABCD 是边长为 2 的正方形,ED 丄平面 ABCD,ED=1,

EF//BD 且EF= BD. (I)求证:BF//平面 ACE
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(II)求证:平面 EAC 丄平面 BDEF; (III)求几何体 ABCDEF 的体积.

19. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |? 将y=f(x)的图象向右平移
?
4

?
2

) 的部分图象如图示,

个单位后得到函数y=f(x)的 图象.

(I )求函数 y=g(x)的解析式;
(II)已知 Δ ABC中三个内角 A,B, C 的对边分别为 a, b,c,且满足
g( A 2 ?

?
12

) + g(

B 2

?

?
12

) =2

6 sinAsinaB,且 C=

?
3

,c=3,求Δ ABC的面积.

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的离心率为

3 2

,以

原点为圆心,椭圆 c 的短半轴长为半径的圆与直线
x? y? 2 ? 0 相切.A、B 是椭圆的左右顶点,直线 l 过 B 点

且与 x 轴垂直,如图. (I )求椭圆的标准方程;

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(II)设 G 是椭圆上异于 A、B 的任意一点,GH 丄 x 轴,H 为垂足,延长 HG 到点 Q 使得 HG=GQ,连 接 AQ 并延长交直线 l 于点 M,点 N 为 MB 的中点,判定直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 的位置关系,并 证明你的结论.

21. (本小题满分 14 分)

已知函数 f(x)=ex-ax(e 为自然对数的底数).
(I )求函数 f(x)的单调区间; (II)如果对任意 x ? [2,??] ,都有不等式 f(x)> x + x 成立,求实数 a 的取值范围;
2

(III)设 n ? N * ,证明: ( ) + ( ) + ( ) +?+ ( ) <
n n n n

1

2

3

n n

e e ?1

n

n

n

绵阳市高中 2010 级第三次诊断性考试
数学(文)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. DCCBB AABDD 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.1 12.16π 13.3 14.
3 3?4 10

15.①④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (Ⅰ)成绩在区间 ?70, ? 的频率是: 90 1 ? (0.02+0.016+0.006+0.004)× 10=0.54, ∴ n?
27 0.54
90 (Ⅱ)成绩在区间 ?80, ? 的频率是:

? 50 人.

???????????????????????3 分

1 ? (0.02+0.016+0.006+0.004+0.03) ? 10=0.24, 利用组中值估计这 50 名学生的数学平均成绩是: 45× 0.04+55× 0.06+65× 0.2+75× 0.3+85× 0.24+95× 0.16=76.2. ?????3 分 50 (Ⅲ)成绩在区间 ? 40, ? 的学生人数是:50× 0.04=2 人,
60 成绩在区间 ?50, ? 的学生人数是:50× 0.06=3 人, 50 60 设成绩在区间 ? 40, ? 的学生分别是 A1,A2,成绩在区间 ?50, ? 的学生分别是 B1,B2,B3,

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从成绩在 ?40, ? 的学生中随机选取 2 人的所有结果有:(A1,A2),(A1,B1), 60 (A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)共 10 种情况. 至少有 1 人成绩在 ?40, ? 内的结果有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2, 50 B2),(A2,B3)共 7 种情况. ∴ 至少有 1 人成绩在 ?40, ? 内的概率 P= 50
7 10

. ???????????6 分

17.解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q, 由题意可得: ?
? b1 ? q ? 2a1 ? d ? 10, ? 5? 4 2 ? d ? 5b1q ? 3( a1 ? d ), ?5a1 ? 2 ?

解得 q=2 或 q= ?

17 5

(舍),d=2.

∴ 数列{an}的通项公式是 an=2n+1,数列{bn}的通项公式是 bn ? 2n ?1 . ?7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 S n ? ∴ Tn ? 1 ?
1 3 ? 1 2 ? 1 4 ?
n(3 ? 2n ? 1) 2 ? n ? 2n ,于是 cn ?
2

2 Sn

?

1 n

?

1 n?2



1 3

?

1 5

? ??? ?

1 n

?

1 n?2
? 3 2

?1?
? 1

1 2

?
?

1 n ?1
1

?

1 n?2
3 2

n ?1

n?2

<

. ????12 分

18.解: (Ⅰ)如图,记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 EO,于是 DO=OB. ∵ EF∥BD 且 EF=
1 2

BD,

E F ∴ EF OB, ∴ 四边形 EFBO 是平行四边形, ∴ BF∥EO. D C 而 BF ? 平面 ACE,EO ? 平面 ACE, ∴ BF∥平面 ACE.??????????4 分 O (Ⅱ)∵ ED⊥平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD, B A ∴ ED⊥AC. ∵ ABCD 是正方形, ∴ BD⊥AC, ∴ AC⊥平面 BDEF. 又 AC?平面 EAC,故平面 EAC⊥平面 BDEF. ???????????8 分 (Ⅲ)连结 FO,∵ EF DO, ∴ 四边形 EFOD 是平行四边形. 由 ED⊥平面 ABCD 可得 ED⊥DO, ∴ 四边形 EFOD 是矩形. ∵ 平面 EAC⊥平面 BDEF. ∴ 点 F 到平面 ACE 的距离等于就是 Rt△EFO 斜边 EO 上的高, 且高 h=
EF ? FO OE



1? 3

2

?

6 3



∴几何体 ABCDEF 的体积 V ? V三棱锥E ? ACD ? V三棱锥F ? ACE ? V三棱锥F ? ABC = ? ? 2 ? 2 ? 1+ ? ? 2 2 ? 3 ?
3 2 3 2 1 1 1 1 6 3 + 1 1 ? ? 2 ? 2 ?1 3 2

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=2.?????????????????12 分 19.解: (Ⅰ)由图知: 再由 f ( 得
?
6

,解得 ω=2. =4 ( + ) ? 12 6
? ?) ? 1 ,

?

?

?

) ? sin(2 ?

?
12

12 ? ? ? 2k? ?

?
2

( k ? Z) ,即 ? ? 2k? ?

?
3

( k ? Z) .

由?

?
2

?? ?

?
2

,得 ? ?
?
3

?
3



∴ f ( x) ? sin(2 x ? ∴ f (x ?
?
4

).

) ? sin[2( x ?

?
4

)?

?
3

] ? sin(2 x ?

?
6

),

即函数 y=g(x)的解析式为 g(x)= sin(2 x ?

?
6

) .????????????6 分

(Ⅱ)由已知化简得: sin A ? sin B ? 2 6 sin A sin B . ∵
a sin A ? b sin B ? c sin C ? 3 sin

?
3

? 2 R (R

为△ABC 的外接圆半径),

∴ 2R ? 2 3 , ∴ sinA= ∴
a 2R ?

a 2R
b

,sinB=
?2 6?

b 2R

. ,即 a ? b ? 2ab . ①

2R

a b ? 2R 2R

由余弦定理,c2=a2+b2-2abcosC, 即 9=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab. ② 联立①②可得:2(ab)2-3ab-9=0,解得:ab=3 或 ab= ? 故△ABC 的面积 S△ABC= ab sin C ?
2 1 3 3 4

3 2

(舍去),

.?????????????12 分

20.解: (Ⅰ)由题可得:e=

c a

?

3 2



∵ 以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x+y+ 2 =0 相切, ∴
0?0? 1 ?1
2 2

2

=b,解得 b=1.

再由 a2=b2+c2,可解得:a=2. ∴ 椭圆的标准方程:
x
2

? y ? 1 .?????????????????5
2



4

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:A(-2,0),B(2,0),直线 l 的方程为:x=2. 设 G(x0,y0)(y0≠0),于是 H(x0,0),Q(x0,2y0), 且有
x0
2

4

? y0 ? 1 ,即
2

4y02=4-x02.

设直线 AQ 与直线 BQ 的斜率分别为:kAQ,kBQ,
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∵ k AQ ? k BQ ?

2 y0

x0 ? 2 x0 ? 2

?

2 y0

?

4 y0
2

2

x0 ? 4

?

4 ? x0
2

2

x0 ? 4

? ?1 ,即

AQ⊥BQ,

∴ 点 Q 在以 AB 为直径的圆上. ∵ 直线 AQ 的方程为: y ?
2 y0 ? ( x ? 2), ?y ? x0 ? 2 由? ? x ? 2, ?

2 y0 x0 ? 2

( x ? 2) ,

? x ? 2, 8y ? 解得: ? 即 M (2, 0 ) , 8 y0 y? , x0 ? 2 ? x0 ? 2 ?

∴ N (2,

4 y0

x0 ? 2

).
4 y0 ? 2 y0 ?

∴ 直线 QN 的斜率为: kQN ? ∴ kOQ ? kQN ?
2 y0 x0 ? ? x0 2 y0

x0 ? 2

?2 x0 y0 4 ? x0
2

2 ? x0

?

?2 x0 y0 4 y0
2

?

? x0 2 y0



? ?1 ,于是直线 OQ 与直线 QN

垂直,

∴ 直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 相切. ?????????????13 分 21.解: (Ⅰ)∵ f ?( x) ? e x ? a , 当 a≤0 时 f ?( x) ? 0 ,得函数 f (x)在(-∞,+∞)上是增函数. 当 a>0 时, 若 x∈(lna,+∞), f ?( x) ? 0 ,得函数 f ( x) 在(lna,+∞)上是增函数; 若 x∈(-∞,lna), f ?( x) ? 0 ,得函数 f ( x) 在(-∞,lna)上是减函数. 综上所述,当 a≤0 时,函数 f (x)的单调递增区间是(-∞,+∞);当 a>0 时,函数 f (x) 的单调递 增区间是(lna,+∞),单调递减区间是(-∞,lna).?5 分 (Ⅱ)由题知:不等式 ex-ax>x+x2 对任意 x ? [2,? ?) 成立, 即不等式 a ?
x

e ?x ?x
x 2

对任意 x ? [2,? ?) 成立.
( x ? 1)e ? x
x 2

x

设 g ( x) ?

e ?x ?x
2

(x≥2),于是 g ?( x) ?

x

x

2



再设 h( x) ? ( x ? 1)e x ? x 2 ,得 h?( x) ? x(e x ? 2) . 由 x≥2,得 h?( x) ? 0 ,即 h( x) 在 [2,? ?) 上单调递增, ∴ h(x)≥h(2)=e2-4>0,进而 g ?( x) ? ∴ g(x)在 [2,? ?) 上单调递增, ∴ [ g ( x)]min ? g (2) ? ∴ a?
e
2

h( x ) x
2

? 0,

e

2

?3,
2

2

e ? 3 ,即实数 a 的取值范围是 ( ??, ? 3) .?????????10 2 2



(Ⅲ)由(Ⅰ)知, 当 a=1 时,函数 f (x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. ∴ f (x)≥f (0)=1,即 ex-x≥1,整理得 1+x≤ex. 令x??
i n

(n∈N*,i=1,2,?,n-1),则 0 ? 1 ?
·9·

i n

≤e

?

i n

,即 (1 ? ) n ≤ e ? i ,
n

i

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∴(

n ?1 n
n n

) ≤e ,(
n

?1

n?2 n

) ≤e
n

?2

,(

n?3 n

) ≤e
n

?3

,?, ( ) n ≤ e ? ( n ?1) ,
n

1

显然 ( ) n ≤ e0 , ∴ ( )n ? (
n
1? e
?n ?1

n

n ?1 n n?2 n n?3 n 1 n ) ?( ) ?( ) ? ??? ? ( ) n n n n
e(1 ? e
?n

≤ e0 ? e ?1 ? e ?2 ? e ?3 ? ? ? ? ? e ? ( n ?1)
? 1? e ? ) e ?1 ? e e ?1


n e e ?1

n 故不等式 ( ) n ? ( ) n ? ( ) n ? …+( ) ?

1

2

3

(n∈N*)成立.?????4 分

n

n

n

n

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