安徽省马鞍山市第二中学2016-2017高二上学期期中素质测试理科数学卷 Word版


马鞍山市第二中学 2016—2017 学年度第一学期期中素质测试

高二数学(理科)
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分, 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角是 (A) 30 ? (B) 60 ? (C) 120? (D) 150?

(2)在空间直角坐标系中,点 P(?2,1, 4) 关于 xOy 平面对称点的坐标是 (A) (?2,1, ?4) (B) (?2, ?1, ?4) (C) (2, ?1, 4) (D) (2,1, ?4)

(3)下列能得出平面 ? ∥ 平面 ? 的一个条件是 (A)存在一条直线 a,

a // ? , a // ?

(B)存在一条直线 a,a ? ?,a ∥ ? (C)存在两条平行直线 a,b,a ? ?,b ? ?,a ∥ ?,b ∥? (D)存在两条异面直线 a,b,a ? ?,b ? ?,a ∥ ?,b ∥? (4)经过两点 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) 的直线方程都可以表示为 (A)

x – x1 y – y1 ? x2 – x1 y2 – y1

(B)

x – x2 y – y2 ? x1 – x2 y1 – y2 y2 – y1 ? x – x1 ? x2 – x1
(D) a 与 ? 相交但不垂直

(C) ? y – y1 ?? x2 – x1 ? ? ? x – x1 ?? y2 – y1 ?

(D) y – y1 ?

(5)已知平面 ? , ? 及直线 a 满足 ? ? ? , ? ? ? ? AB , a ∥ ? , a ? AB ,则 (A) a ? ?
2 2

(B) a ? ?

(C) a ∥ ?

(6)圆 C : x ? y ? 6 x ? 8 y ? 24 ? 0 关于直线 l : x ? 3 y ? 5 ? 0 对称的圆的方程是 (A) ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

(B) ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

(C) ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

(D) ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

(7)已知:空间四边形 ABCD 如图所示, E、F 分别是 AB、AD 的中点, G、H 分别是 BC , CD 上 的 点,且 CG ? (A)平行 (C)异面

1 1 BC . CH ? DC ,则直线 FH 与直线 EG 3 3
(B)相交 (D)垂直

1

第 7 题图

(8)过点 M ? 2, 1? 的直线 l 与 x 轴、 y 轴分别交于 P、Q 两点, O 为原点,且 S?OPQ ? 4 ,则符合条件的 直线 l 有 (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条

(9)直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,若 ?BAC=90? , AB=AC=AA1 ,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角是 (A) 30 ? (B) 120? (C) 60 ? (D) 45 ? (10)过 ?ABC 所在平面 ? 外一点 P ,作 PO ? ? ,垂足为 O ,连接 PA , PB , PC ,若点 O 是 ?ABC 的内心,则 (A) PA ? PB ? PC (B)点 P 到 AB , BC , AC 的距离相等 (C) PA ? PB , PB ? PC , PC ? PA (D) PA , PB , PC 与平面 ? 所成的角相等 (11) Rt ?ABC 中,斜边 BC ? 4 ,以 BC 的中点 O 为圆心,作半径为 r (r ? 2) 的圆,圆 O 交 BC 于 P, Q 两点,则 | AP |2 ? | AQ |2 ?
2 (A) 8 ? r

(B) 8 ? 2r

2

(C) 16 ? r

2

(D) 16 ? 2r (D) 10?

2

(12)设某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥外接球的表面积为 (A) 4? (B) 6? (C) 8?

第 12 题图 第 13 题图

第Ⅱ卷
二.填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分。 (13) 如图, 已知圆锥 SO 的母线 SA 的长度为 2, 一只蚂蚁从点 B 绕着圆锥侧面爬回点 B 的最短路程为 2, 则圆锥 SO 的底面半径为 ▲ . (14)已知直线 l : (2m +1) x + (m +1) y 置关系为 ▲ .

= 7m + 4 ,圆 C : ( x - 1)2 + ( y - 2)2 = 25 ,则直线 l 与圆 C 的位

?x ? 1 xy ? (15)点 ( x, y ) 满足 ? y ? 1 ,则 2 的取值范围为 x + y2 ?x ? y ? 3 ?
(16)在平行四边形 ABCD 中, AB ? 成 60 角,则 B, D 间的距离为
?





AC ? 1, ?ACD ? 90? ,将它沿对角线 AC 折起,使得 AB 与 CD
▲ .

2

三、解答题(请在答题卷 上写出文字说明,证明过程或演算步骤) ... (17) (本小题满分 10 分) 已知四棱锥 P ? ABCD ,其三视图和直观图如图所示, E 为 BC 中点. (Ⅰ)求此几何体的体积; (Ⅱ)求证:平面 PAE ? 平面 PDE .

(18) (本小题满分 12 分) 设直线 l 的方程为 (a ? 1) x ? y ? 2 ? a ? 0(a ? R) . (Ⅰ)若直线 l 在两坐标轴的截距相等,求直线 l 的方程; (Ⅱ)若直线 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围.

(19) (本小题满分 12 分) 已知正三棱台的上、下底面边长分别为 3 和 6 . (Ⅰ)若侧面与底面所成的角为 60 ,求此三棱台的体积. (Ⅱ)若侧棱与底面所成的角为 60 ,求此三棱台的侧面积;
? ?

A1 B1

C1

A B

C

3

(20) (本小题满分 12 分) 已知圆 C 的方程为: x
2

? y 2 ? 2mx ? 2 y ? 4m ? 4 ? 0(m ? R) .

(Ⅰ)试求 m 的值,使圆 C 的面积最小; (Ⅱ)求与满足(1)中条件的圆 C 相切,且过点 (1, - 2) 的直线方程.

(21) (本小题满分 12 分) 如图, 在空间几何体 A ? BCDE 中, 底面 BCDE 是梯形, 且 CD ∥ BE , CD ? 2BE ? 4, ?CDE ? 60? ,

?ADE 是边长为 2 的等边三角形, F 为 AC 的中点. (Ⅰ)求证: BF ∥平面 ADE ; (Ⅱ)若 AC ? 4 ,求证:平面 ADE ⊥平面 BCDE ;
(Ⅲ)若 AC ? 4 ,求几何体 C ? BDF 的体积.
D

A F C

E

B

(22) (本小题满分 12 分) 已知圆 C 的圆心在坐标原点且与直线 l1 : x ? y ? 2 2 ? 0 相切. (Ⅰ)求直线 l2 : 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 被圆 C 所截的弦 AB 的长; (Ⅱ)过点 G 作两条与圆 C 相切的直线,切点分别为 M 、N ,求直线 MN 的方程; ( 1,3) (Ⅲ)若与直线 l1 垂直的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 P、Q ,且 ?POQ 为钝角,求直线 l 在 y 轴上 的截距的取值范围.

马鞍山市第二中学 2016—2017 学年度 高二第一学期期中素质考试数学(理科)答案
一.选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分
4

题号 答案

1 D

2 A

3 D

4 C

5 B

6 B

7 B

8 C

9 C

10 B

11 B

12 C

二、填空:本题共4小题,每小题 5 分 13.

1 3

14.相交

?2 1? , ? ? 5 2? ? 15.

16. 2或 2

三、解答题: 17. 解: (1)由三视图可知底面 ABCD 为矩形, AB = 2, BC = 4 定点 P 在面 ABCD 内的射影为 BC 的中点 E,棱锥的高为 2

1 \ VP - ABCD = S矩形ABCD ? PE 3
(2) 平面

1 16 创 2 4? 2 3 3


……………………………………4 分 ,

, AE ? 平面

? PE ^

ABCD

ABCD

\ PE ^ AE

取 AD 中点 F ,? AB = CE = BE = 2 ,
\ EF = 1 AD 2 ,\ AE ^ ED ,

? ED ? AE = E ,\ AE ^ 平面 PED ,

? AE ? 平面 PAE ,

\ 平面 PAE ^ 平面 PDE
分 18. 解: (1)当 a = - 1 时,显然不满足题意

……………………………………10

a- 2 ? l 在 x 轴上的截距是 a +1 , l 在 y 轴上的截距是 a - 2

\

a- 2 =a- 2 a +1

解得 a = 2或a = 0 …………………………………… 6

\ 直线 l 的方程为 3x + y = 0或x + y +2 = 0


5

(2)直线 l 可化为: y = - (a +1) x + a - 2 由已知
\ a? 1

祆 - (a +1) > 0 - (a +1)=0 镲 或 眄 a- 2? 0 a 2? 0 镲 铑
……………………………………12

分 19. 解(1)设 a, b, h 分别为三棱台上、下底面边长和高,则 h =

3 2

1 3 63 3 \ V= 创 h(a 2 + ab + b2 ) = 3 4 8
? h = 3, h / = 39 2 ,

……………………………………6 分

(2)

……………………………………12 分
1 27 \ S = (3a + 3b)h / = ? 2 2 39 2 27 39 4

20.解:圆的方程为: ( x - m)2 + ( y - 1)2 = (m - 2)2 +1
(1)当 m ? 2 时,圆的半径有最小值,此时圆的面积最小
2 2 (2)当 m = 2 时,圆的方程为 ( x - 2) + ( y - 1) = 1

……………………………………4 分

设所求的直线为 y + 2 = k ( x - 1) ,即 kx - y - k - 2 = 0
\ 2k - 1 - k - 2 1+k 2 = 1.解得k = 4 3

\ 切线方程为4 x - 3 y - 10 = 0 ,

当 l 与 x 轴垂直时, x = 1 也满足条件。

\ 所求的直线方程为x=1或4 x-3y-10=0
分 21. 证明:(1)取 DA 的中点 G 连结 FG,GE,
1 1 \ GF ? DC , GF = DC 2 2 ? F 为 AC 的中点, ,

…………………………………… 12

又? DC ? BE, CD = 2BE ,\ EB ? GF ,且 EB = GF ,
6

\ 四边形 BFGE 为平行四边形,\ BF ? EG ,
? EG ? 平面 ADE , BF ? 平面 ADE , BF ? 平面 ADE ………………………………… 4

分 (2)取 DE 的中点 H ,连 AH ,CH , ?D ADE 为等边三角形, \ AH ^ DE ,且 AH = 3 , DHC 中, DH = 1, DC = 4, HDC = 60? , 在D

\ HC = 13 ,\ AC 2 = AH 2 + HC 2 ,即 AH ^ HC , ? DE ? HC H ,\ AH ^ 平面 BCDE , ? AH ? 平面 ADE ,\ 平面 ADE ^ BCDE ……………………………………8 分
1 1 4 3 (3) VA- BCD = SDBCD ?AH = 创 3 3 2
3 =2,

1 \ VC - BDF = VF - BDC = VA- BDC = 1 2 ? F 是 AC 中点,

……………………………………12 分

22.解: (1)由已知, r =

2 2 1 + (- 1)
2 2

= 2 ,则圆 C 的方程为 x2 + y 2 = 4

\ d = 1, \ AB = 2 22 - 12 = 2 3

……………………………………4 分

(2) 连 OG,OM.则

OG = 10, GM = 6

\ 以G为圆心, GM 为半径的圆(x-1)2 +( y - 3)2 = 6

\ lMN : x +3 y - 4 = 0

……………………………………8 分

(3)设所求直线 l 的方程为: y = - x + b ,点 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) ,
ì ? y = - x +b b2 - 4 í 2 x + x = b , x ? x = 2 1 2 1 2 2 2 ? x +y =4 2 , 由? 可得 2 x - 2bx + b - 4 = 0 ,则

由 D> 0 得 -2 2 < b < 2 2 ;由 ?POQ 为钝角, ??? ? ??? ? 2 2 \ OP? OQ < 0 即 x1x2 + y1 y2 < 0 ? 2x1x2 b( x1 + x2 ) +b < 0 ? b

4?

2 <b < 2;

??? ? ???? ? OP 与 OQ 共线时, b = 0 ,\ b ? ( 2,0) ? (0, 2) . ……………………………………12 分

7


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