3.1.4_-3.15空间向量的正交分解及其坐标表示(学案)

安吉县高级中学高二数学组 数学选修 2-1 第三章 《空间向量与立体几何》



日 第

周周

总第



笔记栏:

3.1.4 -3.1.5 空间向量的正交分解及其坐标表示
主备: 张倩 审核: 鲍利人 姓名 授课人: 学号 班级

【学习目标】 1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示; 2. 掌握空间向量的坐标运算的规律; 【教学重点】空间向量的正交分解及坐标运算规律 【教学难点】空间向量的正交分解 一、知识链接 1.平面向量基本定理:

??? ?? 对平面上的任意一个向量 P , a,b 是平面上两个 向量,总是存在 实数对 ? x, y ? ,使得 ??? ??? ?? 向量 P 可以用 a,b 来表示,表达式为 ,其中 a,b 叫做 . ?? ? ? 若 a ? b ,则称向量 P 正交分解. 2.平面向量的坐标表示: 平面直角坐标系中,分别取 x 轴和 y 轴正方向上的 向量 ? ?? ? ? ? i, j 作为基底,对平面上任意向量 a ,有且只有一对实数 x,y,使得 a ? xi ? y j , ? ? 则称有序对 ? x, y ? 为向量 a 的 ,即 a = .

二、学习过程 探究一、空间向量的正交分解 ? 问题:对空间的任意向量 a ,能否用空间的几个向量唯一表示?如果能,那需要几个向量?这几个 向量有何位置关系? 新知: 1.空间向量的正交分解:设 i, j , k 是空间三个两两垂直的向量,那么,对空间任一向量 p ,存在一个 ___________,使得___________,我们称___________为向量 p 在 i, j , k 上的分向量. ? ? ? ?? 2.空间向量基本定理:如果三个向量 a, b, c ,对空间任一向量 p ,存在有序实数组 {x, y, z} ,使 ? ? ? ? ? ? ? ? 得 p ? xa ? yb ? zc . 把 的一个基底, a, b, c 都叫做基向量. 反思:空间任意一个向量的基底有 个. 3.单位正交分解:如果空间一个基底的三个基向量互相 ,长度都为 ,则这个基底叫做单位正 交基底,通常用{i,j,k}表示. 4.空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系 O-xyz 和向量 a,且设 i、j、k 为 x 轴、y 轴、z ? ? ? ? 轴 方向的 向量, 则存在有序实数组 {x, y, z} , 使得 a ? xi ? y j ? zk , 则称有序实数组 {x, y, z} 为 ? ? 向量 a 的坐标,记着 p ? . 5.向量的直角坐标运算: 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴a+b= ; ⑵a-b= ; (? ? R) ; ⑷a·b= ⑶λa= . 6.两个向量共线或垂直的判定 若 b ? 0 则 a / / b ? ____________;

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? ? a ⊥ b ? ________________

想一千次,不如行动一次;华丽的跌倒,胜过无谓的徘徊。

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笔记栏:

7.向量的模长及夹角的坐标公式 设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) ,则| a |= a ? a =___________;

?

?

?

? ?

? ? ? ? a ?b cos〈 a , b 〉= ? ? =___________. | a || b |
思考:当 0<cos〈 a , b 〉<1 时,夹角〈 a , b 〉的范围____________ 当-1<cos〈 a , b 〉<0 时,夹角〈 a , b 〉的范围____________ 当 cos〈 a , b 〉=0 时,夹角〈 a , b 〉等于____________ 8.两点间距离 设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,

?

?

?

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?

?

?

?

?

???? ???? AB =__________________________, AB =_________________________

试一试: ? ? ? ? ? 1. 设 a ? 2i ? j ? 3k ,则向量 a 的坐标为 . 2. 已知 a= (2, ?3,5) ,b= (?3,1, ?4) ,求 a+b,a-b,8a,a·b 三、典型剖析
??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? 例 1. M,N 分别是四面体 OABC 的边 OA,BC 的中点, P,Q 是 MN 的三等分点, 用 OA, OB, OC 表示 OP 和 OQ .

例 2.设 a ? (1,5, ?1), b ? (?2,3,5), 若 ka ? b ∥ a ? 3b ,求 k

?

?

? ?

?

?

例 3.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 D1D、BD 的中点,G 在棱 CD 上,且 CG= 应用空间向量的运算办法解决下列问题: (1)求证:EF⊥B1C; (2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦; (3)若 A 为 C1G 的中点,求 FH 的长.

1 CD , 4

四、课堂小结

想一千次,不如行动一次;华丽的跌倒,胜过无谓的徘徊。

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3.1.4 -3.1.5 课后作业 班级:_____________ 姓名:_____________ 学号:_____________ 1.在以下三个命题中,真命题的个数是( ) ①三个非零向量 a、b、c 不能构成空间的一个基底,则 a、b、c 共面; ②若两个非零向量 a、b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则 a、b 共线; ③若 a、b 是两个不共线的向量,而 c=λ a+μ b(λ 、μ ∈R 且 λ μ ≠0),则{a,b,c}构成空间的 一个基底. A.0 B.1 C.2 D.3

2.若{e1,e2,e3}是空间的一个基底,又 a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2 +3e3,d=xa+yb+zc,则 x,y,z 分别为( 5 1 A. ,-1,- 2 2 5 1 B. ,1, 2 2 ) 5 1 D. ,1,- 2 2 )

5 1 C.- ,1,- 2 2

3.点 M(-1,3,-4)在坐标平面 xOy、xOz、yOz 内的射影的坐标分别是( A.(-1,3,0)、(-1,0,-4)、(0,3,-4) B.(0,3,-4)、(-1,0,-4)、(0,3,-4) C.(-1,3,0)、(-1,3,-4)、(0,3,-4) D.(0,0,0)、(-1,0,0)、(0,3,0)

4.已知点 A 在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中 a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点 A 在基 底{i,j,k}下的坐标是( ) C.(14,12,10) D.(4,3,2) ) D.(1,-3,-2)

A.(12,14,10) B.(10,12,14)

5.与向量 a =(1,-3,2)平行的一个向量的坐标为( A.(1,3,2) B.(-1,-3,2) C.(-1,3,-2) )

?

6.向量 a =(-1,2,3),则向量 a 的模是( A.14 ? B. 14 ? C.11 ?

?

?

D. 11 ) D、以上都不对

7.已知 A(3,0, ?1), B(0, ?2,0), C (2, 4, ?2) ,则三角形 A B C 是( A、等边三角形 B、 等腰三角形 C、 直角三角形

8.已知 A 点的坐标是(-1,-2,6),B 点的坐标是(1,2,-6),O 为坐标原点,则向量 OA 与 OB 的 夹角是( A.0 ) B.

??? ? ??? ? ???? ???? 9.在三棱锥 OABC 中,G 是 ?ABC 的重心,选取 OA, OB, OC 为基底,试用基底表示 OG =

? 2

? C.π

? D.

3? 2

10.已知 a ? (3,0,1), b ? ( k,2, ?1), 且 a, b ?

?

?

? ?

3? ,求实数 k 的值 4

想一千次,不如行动一次;华丽的跌倒,胜过无谓的徘徊。

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→ → 11.如右图,四面体 ABCD 中,AB=a-2c,CD=5a+6b-8c,对角 → 线 AC,BD 的中点分别为 E,F,则EF= 12.已知关于 x 的方程 x2 ? ? t ? 2? x ? t 2 ? 3t ? 5 ? 0 有两个实根, ? ? ? ? ? ? c ? a ? tb ,且 a ? ? ?1,1,3? , b ? ?1,0, ?2? ,当 t= 时, c 的模取得 最大值. 13.已知 A=(3,5,-7),B=(-2,4,3) ,求 AB, BA ,线段 AB 的中点坐标

??? ? ??? ?

;线段 AB 的长

14.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a , (1)求 A 1B 和 B 1C 的夹角 (2)求证: A1B ? AC1

D1

C1 B1

A1

D A B

C

想一千次,不如行动一次;华丽的跌倒,胜过无谓的徘徊。


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