2016新课标三维人教A版数学必修2 3.3 直线的交点坐标与距离公式


直线的交点坐标与距离公式
3.3.1&3.3.2 两直线的交点坐标、两点间的距离

预习课本 P102~105,思考并完成以下问题 1.怎样求两条直线的交点坐标?

2.怎样通过两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系?

3.两点间距离公式是什么?

[新知初探]
1.两直线的交点坐标 (1)两直线的交点坐标: 几何元素及关系 点A 直线 l 点 A 在直线 l 上 代数表示 A(a,b) l:Ax+By+C=0 Aa+Bb+C=0
? ?A1x+B1y+C1=0, 方程组? ?A2x+B2y+C2=0 ? ?x=a, ? 的解是? ?y=b ?

直线 l1 与 l2 的交点是 A

(2)两直线的位置关系
?A1x+B1y+C1=0 ? 方程组? 的解 ? ?A2x+B2y+C2=0

一组

无数组

无解

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直线 l1 与 l2 的公共点个数 直线 l1 与 l2 的位置关系

一个 相交

无数个 重合

零个 平行

2.两点间距离公式 (1)公式:点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2.

(2)文字叙述:平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算 术平方根. [点睛] (1)此公式与两点的先后顺序无关.

(2)当直线 P1P2 平行于 x 轴时,|P1P2|=|x2-x1|. 当直线 P1P2 平行于 y 轴时,|P1P2|=|y2-y1|. 当点 P1,P2 中有一个是原点时,|P1P2|= x2+y2.

[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)过 P1(0,a),P2(0,b)的两点间的距离为 a-b( ) )

(2)不论 m 取何值,x-y+1=0 与 x-2my+3=0 必相交( 答案:(1)× (2)×

2.已知点 A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则 a 的值为( A.1 B.-5 C.1 或-5 D.-1 或 5

)

解析:选 C ∵|AB|= ?a+2?2+?3+1?2=5, ∴a=-5 或 a=1. 3.两直线 2x+3y-k=0 和 x-ky+12=0 的交点在 y 轴上,那么 k 的值为________. k 解析:在 2x+3y-k=0 中,令 x=0 得 y= , 3 k? 将? 6. ?0,3?代入 x-ky+12=0,解得 k=± 答案:± 6

两条直线的交点问题

[典例] 求过直线 2x-y+2=0 和 x+y+1=0 的交点,且斜率为 3 的直线方程. [解]
?2x-y+2=0, ?x=-1, ? ? 法一:(点斜式法)解方程组? 得? 所以两直线的交点坐 ?x+y+1=0, ? ? ?y=0,

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标为(-1,0),又所求直线的斜率为 3, 故所求直线的方程为 y-0=3[x-(-1)],即 3x-y+3=0. 法二:(分离参数法)设所求直线为 l,因为 l 过已知两直线的交点,因此 l 的方程可设为 2x-y+2+λ(x+y+1)=0(其中 λ 为常数),即(λ+2)x+(λ-1)y+λ+2=0 ①, λ+2 1 又直线 l 的斜率为 3,所以- =3,解得 λ= , 4 λ-1 1 将 λ= 代入①,整理得 3x-y+3=0. 4

求过两条直线交点的直线方程,一般是先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写 出直线方程. 也可用过两条直线 A1x+B1y+C1=0 与 A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,再根据其他条件求出待定系数,写出直线方程.

[活学活用]
三条直线 ax+2y+7=0,4x+y=14 和 2x-3y=14 相交于一点,求 a 的值.
?4x+y=14, ?x=4, ? ? 解:解方程组? 得? ?2x-3y=14, ? ? ?y=-2,

所以两条直线的交点坐标为(4,-2). 由题意知点(4,-2)在直线 ax+2y+7=0 上,将(4,-2)代入,得 a×4+2×(-2)+7 3 =0,解得 a=- . 4 两点间距离公式

[典例] (1)已知点 A(-3,4),B(2, 3),在 x 轴上找一点 P,使|PA|=|PB|,并求|PA| 的值; (2)已知点 M(x,-4)与点 N(2,3)间的距离为 7 2,求 x 的值. [解] (1)设点 P 的坐标为(x,0),则有 ?x+3?2+?0-4?2= ?x-2?2+?0- 3?2= x2+6x+25, x2-4x+7.

|PA|= |PB|=

由|PA|=|PB|, 9 得 x2+6x+25=x2-4x+7,解得 x=- . 5 9 - ,0?. 故所求点 P 的坐标为? ? 5 ? |PA|=

?-9+3?2+?0-4?2=2 109. ? 5 ? 5
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(2)由|MN|=7 2, 得|MN|= ?x-2?2+?-4-3?2=7 2,

即 x2-4x-45=0, 解得 x1=9 或 x2=-5. 故所求 x 的值为 9 或-5.

若已知两点的坐标 P1(x1,y1),P2(x2,y2),求两点间的距离,可直接应用两点间的距离 公式|P1P2|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2.若已知两点间的距离,求点的坐标,可设未知数, 逆用两点间的距离公式列出方程,从而解决问题.

[活学活用]
已知点 A(-2,-1),B(-4,-3),C(0,-5),求证:△ABC 是等腰三角形. 证明:∵|AB|= |AC|= |BC|= ?-4+2?2+?-3+1?2=2 2,

?0+2?2+?-5+1?2=2 5, ?0+4?2+?-5+3?2=2 5,

∴|AC|=|BC|. 又∵点 A,B,C 不共线, ∴△ABC 是等腰三角形. 直线恒过定点问题

[典例] 求证:不论 λ 为何实数,直线(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3 都恒过一定点. [证明] 法一:(特殊值法)取 λ=0,得到直线 l1:2x+y+3=0, 取 λ=1,得到直线 l2:x=-3, 故 l1 与 l2 的交点为 P(-3,3). 将点 P(-3,3)代入方程左边, 得(λ+2)×(-3)-(λ-1)×3=-6λ-3, ∴点(-3,3)在直线(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3 上. ∴直线(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3 恒过定点(-3,3). 法二:(分离参数法)由(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3, 整理,得(2x+y+3)+λ(x-y+6)=0. 则直线(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3 通过直线 2x+y+3=0 与 x-y+6=0 的交点.
?2x+y+3=0, ?x=-3, ? ? 由方程组? 得? ?x-y+6=0 ? ? ?y=3.

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∴直线(λ+2)x-(λ-1)y=-6λ-3 恒过定点(-3,3).

解决过定点问题常用的三种方法: (1)特殊值法,给方程中的参数取两个特殊值,可得关于 x,y 的两个方程,从中解出的 x,y 的值即为所求定点的坐标. (2)点斜式法,将含参数的直线方程写成点斜式 y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0, y0). (3)分离参数法, 将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程 A1x+B1y+C1+λ(A2x +B2y+C2)=0 的形式,则该方程表示的直线必过直线 A1x+B1y+C1=0 和 A2x+B2y+C2 =0 的交点,而此交点就是定点.比较这三种方法可知,方法一计算较烦琐,方法二变形较 困难,方法三最简便因而也最常用.

[活学活用]
已知直线 λ:5ax-5y-a+3=0. (1)求证:不论 a 为何值,直线 l 总经过第一象限; (2)若使直线 l 不经过第二象限,求 a 的取值范围. 1 3 x- ? , 解:(1)证明:直线 l 的方程可化为 y- =a? 5 ? 5? 1 3? 所以不论 a 取何值,直线 l 恒过定点 A? ?5,5?, 又点 A 在第一象限, 所以不论 a 取何值,直线 l 恒过第一象限. (2)令 x=0,y= 3-a , 5

3-a 由题意, ≤0,解得 a≥3. 5 所以 a 的取值范围为[3,+∞). 对称问题 题点一:点关于点对称 1.过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1:2x+y-8=0 和 l2:x-3y+10=0 截得的线段被 点 P 平分,求直线 l 的方程. 解:设 l1 与 l 的交点为 A(a,8-2a), 则由题意知,点 A 关于点 P 的对称点 B(-a,2a-6)在 l2 上, 代入 l2 的方程得-a-3(2a-6)+10=0, 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

解得 a=4,即点 A(4,0)在直线 l 上, 所以直线 l 的方程为 x+4y-4=0. 题点二:点关于线对称 2.点 P(-3,4)关于直线 x+y-2=0 的对称点 Q 的坐标是( A.(-2,1) C.(2,-5) 解析:选 B 设对称点坐标为(a,b), a-3 b+4 ? ? 2 + 2 -2=0, ?b-4 ? ?a+3=1, 题点三:线关于点对称 3.与直线 2x+3y-6=0 关于点(1,-1)对称的直线方程是( A.3x-2y+2=0 C.3x-2y-12=0 )
? ?a=-2, 解得? 即 Q(-2,5). ?b=5, ?

)

B.(-2,5) D.(4,-3)

B.2x+3y+7=0 D.2x+3y+8=0

解析:选 D 由平面几何知识易知所求直线与已知直线 2x+3y-6=0 平行, 则可设所求直线方程为 2x+3y+C=0. 在直线 2x+3y-6=0 上任取一点(3,0),关于点(1,-1)对称点为(-1,-2), 则点(-1,-2)必在所求直线上, ∴2×(-1)+3×(-2)+C=0,C=8. ∴所求直线方程为 2x+3y+8=0. 题点四:线关于线对称 4.求直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l:2x-3y+1=0 的对称直线 m′的方程. 解:在直线 m 上取一点,如 M(2,0), 则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上. 设对称点为 M′(a,b),则 a+2? b+0? 2×? -3×? ? ? ? 2 ? ? 2 ?+1=0, ?b-0 2 ?a-2×3=-1. ? 6 30? 解得 M′? ?13,13?.
?2x-3y+1=0, ? 设直线 m 与直线 l 的交点为 N,则由? 得 N(4,3). ? ?3x-2y-6=0.

又∵m′经过点 N(4,3),

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∴由两点式得直线 m′的方程为 9x-46y+102=0. 题点五:距离和(差)最值问题 5.已知直线 l:x-2y+8=0 和两点 A(2,0),B(-2,-4). (1)在直线 l 上求一点 P,使|PA|+|PB|最小; (2)在直线 l 上求一点 P,使||PB|-|PA||最大. 解:(1)设 A 关于直线 l 的对称点为 A′(m,n), n-0 ? ?m-2=-2, 则? m+2 n+ 0 ? ? 2 -2· 2 +8=0, 因为 P 为直线 l 上的一点, 则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|, 当且仅当 B, P, A′三点共线时, |PA|+|PB|取得最小值, 为|A′B|, 点 P 即是直线 A′B 与直线 l 的交点,
? ? ?x=-2, ?x=-2, 解? 得? ?x-2y+8=0, ? ? ?y=3, ?m=-2, ? 解得? 故 A′(-2,8). ? ?n=8,

故所求的点 P 的坐标为(-2,3). (2)A,B 两点在直线 l 的同侧,P 是直线 l 上的一点, 则||PB|-|PA||≤|AB|, 当且仅当 A,B,P 三点共线时, ||PB|-|PA||取得最大值,为|AB|, 点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点, 又直线 AB 的方程为 y=x-2,
?y=x-2, ?x=12, ? ? 解? 得? ?x-2y+8=0, ? ? ?y=10,

故所求的点 P 的坐标为(12,10).

有关对称问题的两种主要类型 (1)中心对称:
? ?x′=2a-x, ①点 P(x,y)关于 O(a,b)的对称点 P′(x′,y′)满足? ?y′=2b-y. ?

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称: ① 点 A(a , b) 关 于 直 线 Ax + By + C = 0(B≠0) 的 对 称 点 A′(m , n) , 则 有

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n-b ? A? ? ?m-a×?-B?=-1, ? a+m b+n ? ?A· 2 +B· 2 +C=0. ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

层级一
A.(4,1) 4 1? C.? ?3,3?

学业水平达标
) B.(1,4) 1 4? D.? ?3,3?

1.直线 x+2y-2=0 与直线 2x+y-3=0 的交点坐标是(

解析:选 C

?x+2y-2=0, ? 由方程组? 得 ? ?2x+y-3=0,

?x=3, ? 1 ?y=3.

4

即直线 x+2y-2=0 与直线 2x

4 1? +y-3=0 的交点坐标是? ?3,3?. 2.过点 A(4,a)和点 B(5,b)的直线与 y=x+m 平行,则|AB|的值为( A.6 C.2 解析:选 B 由 kAB=1,得 ∴b-a=1. ∴|AB|= ?5-4?2+?b-a?2= 1+1= 2. ) b-a =1, 1 B. 2 D.不能确定 )

3.方程(a-1)x-y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线( A.恒过定点(-2,3) B.恒过定点(2,3) C.恒过点(-2,3)和点(2,3) D.都是平行直线 解析:选 A

(a-1)x-y+2a+1=0 可化为-x-y+1+a(x+2)=0,

?-x-y+1=0, ?x=-2, ? ? 由? 得? ? ? ?x+2=0, ?y=3.

4. 已知点 A(x,5)关于点(1, y)的对称点为(-2, -3), 则点 P(x, y)到原点的距离是( A.2 B.4

)

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C.5

D. 17

x-2 5-3 解析:选 D 根据中点坐标公式得到 =1 且 =y,解得 x=4,y=1,所以点 P 2 2 的坐标为(4,1),则点 P(x,y)到原点的距离 d= ?4-0?2+?1-0?2= 17. 5.到 A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点 P 满足的方程是( A.3x-y-8=0 C.3x-y+6=0 解析:选 B 设 P(x,y), 则 ?x-1?2+?y-3?2= ?x+5?2+?y-1?2, 即 3x+y+4=0. 6.点 P(2,5)关于直线 x+y=1 的对称点的坐标是________. b-5 ?-1?=-1, ? ?a-2· 解析:设对称点坐标是(a,b),则? a+2 b+5 ? ? 2 + 2 =1. 求对称点坐标是(-4,-1). 答案:(-4,-1) 7.经过两直线 2x-3y-3=0 和 x+y+2=0 的交点且与直线 3x+y-1=0 垂直的直线 l 的方程为________.
?2x-3y-3=0, ? 解析:由方程组? 得 ?x+y+2=0, ?

)

B.3x+y+4=0 D.3x+y+2=0

解得 a=-4,b=-1,即所

?x=-5, ? 7 ?y=-5.

3

1 又所求直线与直线 3x+y-1=0 垂直,故 k= , 3 3 7 1 x+ ?, ∴直线方程为 y+ = ? 5 3? 5? 即 5x-15y-18=0. 答案:5x-15y-18=0 8.在直线 x-y+4=0 上求一点 P,使它到点 M(-2,-4),N(4,6)的距离相等,则点 P 的坐标为________. 解析:设 P 点的坐标是(a,a+4), 由题意可知|PM|=|PN|, 即 ?a+2?2+?a+4+4?2= ?a-4?2+?a+4-6?2,

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3 5? 3 解得 a=- ,故 P 点的坐标是? ?-2,2?. 2 3 5? 答案:? ?-2,2? 9.光线从 A(-4,-2)点射出,到直线 y=x 上的 B 点后被直线 y=x 反射到 y 轴上 C 点,又被 y 轴反射,这时反射光线恰好过点 D(-1,6),求 BC 所在的直线方程. 解:作出草图,如图所示,设 A 关于直线 y=x 的对称点为 A′, D 关于 y 轴的对称点为 D′,则易得 A′(-2,-4),D′(1,6).由入 射角等于反射角可得 A′D′所在直线经过点 B 与 C. y-6 x-1 故 BC 所在的直线方程为 = , 6+4 1+2 即 10x-3y+8=0. 10.已知两条直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0,试分别确定 m,n 的值, 满足下列条件: (1)l1 与 l2 相交于一点 P(m,1); (2)l1∥l2 且 l1 过点(3,-1); (3)l1⊥l2 且 l1 在 y 轴上的截距为-1. 解:(1)把 P(m,1)的坐标分别代入 l1,l2 的方程得 m2+8+n=0,2m+m-1=0,解得 m 1 73 = ,n=- . 3 9 (2)显然 m≠0.∵l1∥l2 且 l1 过点(3,-1),

?-m=- 2 , ? ? ? ?m=4, ?m=-4, m ∴? 8 解得? 或? ?n=-4, ?n=20. ? ? ?3m-8+n=0, ?
(3)由 l1⊥l2 且 l1 在 y 轴上的截距为-1.当 m=0 时,l1 的方程为 8y+n=0,l2 的方程为 2x-1=0.∴-8+n=0,解得 n=8.∴m=0,n=8. 而 m≠0 时,直线 l1 与 l2 不垂直. 综上可知,m=0,n=8.

层级二
A.2x-y-5=0 C.x+2y+3=0

应试能力达标
) B.x+2y-3=0 D.2x-y-1=0

1.直线 l:x+2y-1=0 关于点(1,-1)对称的直线 l′的方程为(

解析:选 C 由题意得 l′∥l,故设 l′:x+2y+c=0,在 l 上取点 A(1,0),则点 A(1,0) 关于点(1,-1)的对称点是 A′(1,-2),所以 1+2×(-2)+c=0,即 c=3,故直线 l′的 方程为 x+2y+3=0,故选 C.

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2.已知平面上两点 A(x, 2-x),B A.3 C.2 解析: 选 D ∵|AB|= 1 时等号成立,∴|AB|min= . 2

? 2,0?,则|AB|的最小值为( ?2 ?
1 B. 3 1 D. 2

)

?x- 2?2+? 2-x?2= 2? ?

? 3 2?2+1≥1当且仅当 x=3 2 2 x- 4 4 ? 4 2 ?

3.无论 k 为何值,直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0 都过一个定点,则该定点为( A.(1,3) C.(3,1) B.(-1,3) D.(3,-1)

)

解析:选 D 直线方程可化为(2x+y-5)+k(x-y-4)=0,此直线过直线 2x+y-5=0
? ? ?2x+y-5=0, ?x=3, 和直线 x-y-4=0 的交点. 由? 解得? 因此所求定点为(3, -1). 故 ?x-y-4=0, ? ? ?y=-1.

选 D. 4.已知点 A(3,-1),B(5,-2),点 P 在直线 x+y=0 上,若使|PA|+|PB|取最小值, 则 P 点坐标是( A.(1,-1) 13 13 ,- ? C.? 5? ?5 ) B.(-1,1) D.(-2,2)

解析:选 C 点 A(3,-1)关于直线 x+y=0 的对称点为 A′(1,-3),直线 A′B 的方

?x= 5 , 1 13 程为 y= x- ,与 x+y=0 联立方程组并解得? 4 4 13 ?y=- 5 ,
________.

13

13 13? 所以点 P? ? 5 ,- 5 ?.

5.若两直线(m+2)x-y-m=0,x+y=0 与 x 轴围成三角形,则实数 m 的取值范围是

解析:当直线(m+2)x-y-m=0,x+y=0 及 x 轴两两不平行,且不共点时,必围成三 角形.当 m=-2 时,(m+2)x-y-m=0 与 x 轴平行;当 m=-3 时,(m+2)x-y-m=0 与 x+y=0 平行; 当 m=0 时, 三条直线都过原点, 所以 m 的取值范围为{m|m≠-3, 且 m≠ -2,且 m≠0}. 答案:{m|m≠-3,且 m≠-2,且 m≠0} 6.若直线 l:y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则 k 的取值范围 是________. 解析:法一:由题意知直线 l 过定点 P(0,- 3),

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直线 2x+3y-6=0 与 x,y 轴的交点分别为 A(3,0),B(0,2), 如图所示,要使两直线的交点在第一象限, 则直线 l 在直线 AP 与 BP 之间, 而 kAP= - 3-0 3 3 = ,∴k> . 3 3 0-3 3 3+6 ? ?x= 3k+2 , 得? 6k-2 3 y= ? ? 3k+2 .

?y=kx- 3, 法二:解方程组? ?2x+3y-6=0,

3 3+ 6 6k-2 3 由题意知 x= >0 且 y= >0. 3k+2 3k+2 由 3 3+6 >0 可得 3k+2>0, 3k+2 3 . 3

∴6k-2 3>0,解得 k> 答案:

? 3,+∞? ?3 ?

7.已知△ABC 的一个顶点 A(2,-4),且∠B,∠C 的角平分线所在直线的方程依次是 x+y-2=0,x-3y-6=0,求△ABC 的三边所在直线的方程. 解:如图,BE,CF 分别为∠B,∠C 的角平分线,由角平分线的 性质,知点 A 关于直线 BE,CF 的对称点 A′,A″均在直线 BC 上. ∵直线 BE 的方程为 x+y-2=0, ∴A′(6,0). 2 4? ∵直线 CF 的方程为 x-3y-6=0,∴A″? ?5,5?. 4 0- 5 ∴直线 A′A″的方程是 y= (x-6), 2 6- 5 即 x+7y-6=0,这也是 BC 所在直线的方程.
?x+7y-6=0, ? 4 2? , 由? 得 B? 3 3?, ? ? ?x+y-2=0, ? ?x+7y-6=0, 由? 得 C(6,0), ?x-3y-6=0, ?

∴AB 所在直线的方程是 7x+y-10=0,AC 所在直线方程是 x-y-6=0.

8.已知两直线 l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4(0<a<2)与两坐标轴的正半轴围 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

成四边形.当 a 为何值时,围成的四边形面积取最小值?并求最小值. 解:两直线 l1:a(x-2)=2(y-2),l2:2(x-2)=-a2· (y-2),都过点 (2,2),如图: 设两直线 l1,l2 的交点为 C,且它们的斜率分别为 k1 和 k2, a 则 k1= ∈(0,1), 2 1 2 -∞,- ?. k2=- 2∈? 2? a ? ∵直线 l1 与 y 轴的交点 A 的坐标为(0,2-a), 直线 l2 与 x 轴的交点 B 的坐标为(2+a2,0). 1?2 15 1 1 ∴SOACB=S△OAC+S△OCB= (2-a)· 2+ · (2+a2)· 2=a2-a+4=? ?a-2? + 4 . 2 2 1 15 ∴当 a= 时,四边形 OACB 的面积最小,其值为 . 2 4

3.3.3&3.3.4

点到直线的距离、两平行线间的距离

预习课本 P106~109,思考并完成以下问题 1.点到直线的距离公式是什么?

2.两条平行直线间的距离公式是什么?

[新知初探]
点到直线的距离与两条平行线间的距离 点到直线的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 公式 d= |Ax0+By0+C| A2+B2 两条平行直线间的距离 夹在两条平行直线间公垂线段的长度 两条平行直线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2: Ax+By+C2=0(C1≠C2)之间的距离 d= |C1-C2| A2+B2

[小试身手]
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1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)点 P(x0,y0)到与 x 轴平行的直线 y=b(b≠0)的距离 d=y0-b( (2)点 P(x0,y0)到与 y 轴平行的直线 x=a(a≠0)的距离 d=|x0-a|( (3)两直线 x+y=m 与 x+y=2n 的距离为 答案:(1)× (2)√ (3)√ ) B. 3 D. 5 |-5| = 5. 5 ) |m-2n| ( 2 ) ) )

2.原点到直线 x+2y-5=0 的距离为( A.1 C.2 解析:选 D d=

3.已知直线 l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则 l1,l2 之间的距离为( A.1 C. 3 B. 2 D.2

|1-?-1?| 解析:选 B 由题意知 l1,l2 平行,则 l1∥l2 之间两直线的距离为 = 2. 12+12

点到直线的距离公式

[典例] 求点 P(3,-2)到下列直线的距离: 3 1 (1)y= x+ ;(2)y=6;(3)x=4. 4 4 [解] 3 1 (1)直线 y= x+ 化为一般式为 3x-4y+1=0,由点到直线的距离公式可得 d= 4 4

|3×3-4×?-2?+1| = 32+?-4?2 18 . 5 (2)因为直线 y=6 与 y 轴垂直,所以点 P 到它的距离 d=|-2-6|=8. (3)因为直线 x=4 与 x 轴垂直,所以点 P 到它的距离 d=|3-4|=1.

应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式. (2)点 P 在直线 l 上时,点到直线的距离为 0,公式仍然适用.

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(3)直线方程 Ax+By+C=0 中,A=0 或 B=0 公式也成立,但由于直线是特殊直线(与 坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.

[活学活用]
1.若点 P(3,a)到直线 x+ 3y-4=0 的距离为 1,则 a 的值为( A. 3 C.- 3或 3 3 B.- 3 3 3 或 3 3 )

D.-

|3+ 3a-4| 3 解析:选 D 由点到直线的距离公式得 =1,解得 a= 3或 a=- . 2 3 2.过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( A.x+2y-5=0 C.x+3y-7=0 ) B.2x+y-4=0 D.3x+y-5=0

解析:选 A 当所求直线 l 与线段 OA 垂直时,原点到直线的距离最大.∵kOA=2,∴ 1 kl=- . 2 1 ∴所求直线方程为 y-2=- (x-1). 2 即 x+2y-5=0. 两平行线间的距离 [典例] 求与两条平行直线 l1:2x-3y+4=0 与 l2:2x-3y-2=0 距离相等的直线 l 的 方程. [解] 设所求直线 l 的方程为 2x-3y+C=0.

由直线 l 与两条平行线的距离相等, 得 |C-4| 2 +3
2 2=

|C+2| 22+32

,即|C-4|=|C+2|,

解得 C=1. 故直线 l 的方程为 2x-3y+1=0.

由两平行直线间的距离求直线方程通常有两种思路: (1)设出所求直线方程后,在其中 一条直线上取一点,利用点到直线的距离公式求解; (2)直接运用两平行直线间的距离公式 求解.

[活学活用]
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c+2 2 13 1. 若两平行直线 3x-2y-1=0,6x+ay+c=0 之间的距离为 , 则 a 的值为( 13 A.-1 C.0 B.1 D.-1 或 1

)

a c 6 解析:选 D 由题意,得 = ≠ ,所以 a=-4,c≠-2.所以直线 6x+ay+c=0 3 -2 -1

?c+1? ?2 ? 2 13 c c +1?=2, 的方程可化为 3x-2y+ =0.由两平行线间的距离公式,得 = ,即? 2 ? ? 2 13 13
c+2 解得 c=2 或-6,所以 =-1 或 1,故选 D. a 2.若直线 m 被平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2,则 m 的倾斜角可以是: ①15°; ②30°; ③45°; ④60°; ⑤75°.其中正确答案的序号是______. 解析:两平行线间的距离 d= |3-1| = 2,故 m 与 l1 或 l2 的夹角为 30°.又 l1,l2 的倾 1+1

斜角为 45°,∴直线 m 的倾斜角为 30°+45°=75°或 45°-30°=15°. 答案:①⑤ 距离的综合应用

[典例] 已知正方形的中心为直线 2x-y+2=0,x+y+1=0 的交点,正方形一边所在 的直线 l 的方程为 x+3y-5=0,求正方形其他三边所在直线的方程. [解] 设与直线 l: x+3y-5=0 平行的边所在的直线方程为 l1: x+3y+c=0(c≠-5). 由

?2x-y+2=0, ? ? 得正方形的中心坐标为 P(-1,0), ? ?x+y+1=0

由点 P 到两直线 l,l1 的距离相等,得 l1:x+3y+7=0. 又正方形另两边所在直线与 l 垂直,

|-1-5| 1 +3
2

2=

|-1+c| 12+32

,得 c=7 或 c=-5(舍去).∴

∴设另两边所在直线的方程分别为 3x-y+a=0,3x-y+b=0. ∵正方形中心到四条边的距离相等, ∴ |-3+a| 3 +?-1?
2 2=

|-1-5| 12+32

,得 a=9 或 a=-3,

∴另两条边所在的直线方程分别为 3x-y+9=0,3x-y-3=0. ∴另三边所在的直线方程分别为 3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.

利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时,需特别注意直线方程 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

要化为一般式,同时要注意构造法、数形结合法的应用,本节中距离公式的形式为一些代 数问题提供了几何背景,可构造几何图形,借助几何图形的直观性去解决问题.

[活学活用]
1.已知 P,Q 分别是直线 3x+4y-5=0 与 6x+8y+5=0 上的动点,则|PQ|的最小值 为( ) A.3 C. 3 2 3 B. 2 D. 3

解析:选 B 由于所给的两条直线平行,所以|PQ|的最小值就是这两条平行直线间的距 离.由两条平行直线间的距离公式,得 d= |-10-5| 3 3 2 2 =2,即|PQ|的最小值为2. 6 +8

2.若动点 A,B 分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上,则 AB 的中点 M 到 原点的距离的最小值为________. 解析:依题意,知 l1∥l2,故点 M 所在的直线平行于 l1 和 l2,可设点 M 所在直线的方 |m+7| |m+5| 程为 l:x+y+m=0(m≠-7 且 m≠-5),根据平行线间的距离公式,得 = ?|m 2 2 +7|=|m+5|?m=-6,即 l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得点 M 到原点的距 |-6| 离的最小值为 =3 2. 2 答案:3 2

层级一

学业水平达标
) 5 B. 3 D. 2 2

1.点 P(1,-1)到直线 l:3y=2 的距离是( A.3 C.1 解析:选 B 点 P(1,-1)到直线 l 的距离 d=

|3×?-1?-2| 5 = ,选 B. 3 02+32 )

2.已知点 M(1,4)到直线 l:mx+y-1=0 的距离为 3,则实数 m=( A.0 C.3 3 B. 4 D.0 或 3 4

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|m+4-1| |m+3| |m+3| 解析:选 D 点 M 到直线 l 的距离 d= = ,所以 =3,解得 m 2 2 m +1 m +1 m2+1 3 =0 或 m= ,选 D. 4 3.已知点 A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC 的面积等于( A.3 C.5 B.4 D.6 ?3-1?2+?1-3?2=2 2, )

1 解析: 选 C 设 AB 边上的高为 h, 则 S△ABC= |AB|· h.|AB|= 2

y-3 x-1 AB 边上的高 h 就是点 C 到直线 AB 的距离.AB 边所在的直线方程为 = ,即 x+y 1-3 3-1 -4=0.点 C 到直线 x+y-4=0 的距离为 |-1+0-4| 5 1 5 = ,因此,S△ABC= ×2 2× =5. 2 2 2 2 5 ,则点 P 的坐标为( 5 )

4.已知点 P(1+t,1+3t)到直线 l:y=2x-1 的距离为 A.(0,-2) C.(0,-2)或(2,4)

B.(2,4) D.(1,1)

|2?1+t?-?1+3t?-1| 5 解析: 选 C 直线 l: y=2x-1 可化为 2x-y-1=0, 依题意得 = , 2 2 5 2 +?-1? 整理得|t|=1,所以 t=1 或-1.当 t=1 时,点 P 的坐标为(2,4);当 t=-1 时,点 P 的坐标 为(0,-2),故选 C. 5.若直线 l1:x+ay+6=0 与 l2:(a-2)x+3y+2a=0 平行,则 l1,l2 间的距离是( )

4 2 A. 3 C.4 2

8 2 B. 3 D.2 2

? ?a?a-2?-3=0, 解析:选 B ∵l1∥l2,∴? 解得 a=-1.∴l1 的方程为 x-y+6=0, ?2a-6?a-2?≠0, ?

?6-2? ? 3? 2 8 2 l2 的方程为-3x+3y-2=0,即 x-y+ =0,∴l1,l2 间的距离是 2 2= 3 . 3 1 +?-1?
6.若点(2,k)到直线 5x-12y+6=0 的距离是 4,则 k 的值是________. |5×2-12k+6| 解析:∵ =4,∴|16-12k|=52, 52+122 ∴k=-3,或 k= 17 答案:-3 或 3 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn 17 . 3

7.直线 4x-3y+5=0 与直线 8x-6y+5=0 的距离为________.

?5-5? ? 2? 5 解析: 直线 8x-6y+5=0 化简为 4x-3y+ =0, 则由两平行线间的距离公式得 2 2 4 +32
1 = . 2 答案: 1 2

8.已知直线 l 与直线 l1:2x-y+3=0 和 l2:2x-y-1=0 间的距离相等,则直线 l 的 方程是________. 解析:由题意可设直线 l 的方程为 2x-y+c=0,于是有 |c-3|=|c+1|.∴c=1,∴直线 l 的方程为 2x-y+1=0. 答案:2x-y+1=0 9.求过点 P(0,2)且与点 A(1,1),B(-3,1)等距离的直线 l 的方程. 解:法一:∵点 A(1,1)与 B(-3,1)到 y 轴的距离不相等,∴直线 l 的斜率存在,设为 k. 又直线 l 在 y 轴上的截距为 2,则直线 l 的方程为 y=kx+2,即 kx-y+2=0. 由点 A(1,1)与 B(-3,1)到直线 l 的距离相等, 得 |k-1+2| |-3k-1+2| = ,解得 k=0 或 k=1. k2+1 k2+1 |c-3| 2 +?-1?
2 2=

,即 2 +?-1?2
2

|c+1|

∴直线 l 的方程是 y=2 或 x-y+2=0. 法二:当直线 l 过线段 AB 的中点时,直线 l 与点 A,B 的距离相等. ∵AB 的中点是(-1,1),又直线 l 过点 P(0,2), ∴直线 l 的方程是 x-y+2=0; 当直线 l∥AB 时,直线 l 与点 A,B 的距离相等. ∵直线 AB 的斜率为 0, ∴直线 l 的斜率为 0,∴直线 l 的方程为 y=2. 综上所述,满足条件的直线 l 的方程是 x-y+2=0 或 y=2. 10.如图,已知直线 l1:x+y-1=0,现将直线 l1 向上平移到直线 l2 的位置, 若 l2, l1 和坐标轴围成的梯形的面积为 4, 求直线 l2 的方程. 解:设 l2 的方程为 y=-x+b(b>1),则 A(1,0),D(0,1),B(b,0), C(0,b). ∴|AD|= 2,|BC|= 2b. 梯形的高 h 就是 A 点到直线 l2 的距离, 故 h= |1+0-b| |b-1| b-1 = = (b>1), 2 2 2 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

由梯形的面积公式得 ∴b2=9,b=± 3.

2+ 2b b-1 × =4, 2 2

又 b>1,∴b=3.从而得直线 l2 的方程是 x+y-3=0.

层级二

应试能力达标
) 10 20

1.已知直线 3x+y-3=0 和 6x+my+1=0 互相平行,则它们之间的距离是( A.4 C. 10 4 B.

7 10 D. 20

解析:选 D ∵3x+2y-3=0 和 6x+my+1=0 互相平行,∴m=2.直线 6x+2y+1=0

?1+3? ?2 ? 7 10 1 可以化为 3x+y+ =0,由两条平行直线间的距离公式,得 d= 2 = ,选 D. 2 20 3 + 12
2.两平行线分别经过点 A(3,0),B(0,4),它们之间的距离 d 满足的条件是( A.0<d≤3 C.0<d<4 B.0<d≤5 D.3≤d≤5 )

解析: 选 B 当两平行线与 AB 垂直时, 两平行线间的距离最大为|AB|=5, 所以 0<d≤5. 1 1 ? ?1 ? 3.如果点 P 到点 A? ?2,0?,B?2,3?及直线 x=-2的距离都相等,那么满足条件的点 P 有( ) B.1 个 D.无数个

A.0 个 C.2 个

1 ? ?1 ? 解析:选 B 因为点 P 到点 A? ?2,0?,B?2,3?的距离相等,所以点 P 在线段 AB 的垂 |AB| 3 3 1 直平分线 y= 上.直线 AB 与直线 x=- 平行,且两平行线间的距离为 1.又 1< = ,所 2 2 2 2 以满足条件的点 P 有 1 个. 4.已知定点 P(-2,0)和直线 l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ(λ∈R),则点 P 到直线 l 的 距离的最大值为( A.2 3 C. 14 ) B. 10 D.2 15

解析:选 B 将(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ 变形,得(x+y-2)+λ(3x+2y-5)=0,所以 l 是经过两直线 x+y-2=0 和 3x+2y-5=0 的交点的直线系.设两直线的交点为 Q,由
?x+y-2=0, ? ? 得交点 Q(1,1),所以直线 l 恒过定点 Q(1,1),于是点 P 到直线 l 的距离 ? ?3x+2y-5=0,

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d≤|PQ|= 10,即点 P 到直线 l 的距离的最大值为 10. 5.已知 5x+12y=60,则 解析: x2+y2的最小值是________.

x2+y2表示直线 5x+12y=60 上的点到原点的距离, 在所有这些点到原点距离 60 60 2=13. 5 +12
2

中,过原点且垂直于直线 5x+12y=60 的垂线段的长最小,故最小值为 d= 60 答案: 13

6.在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有________ 条. 解析:由题可知所求直线显然不与 y 轴平行, ∴可设直线为 y=kx+b,即 kx-y+b=0. ∴d1= |k-2+b| |3k-1+b| 5 =1,d2= =2,两式联立,解得 b1=3,b2= , 2 2 3 k +1 k +1

4 ∴k1=0,k2=- .故所求直线共有两条. 3 答案:2 7.已知直线 l 在两坐标轴上的截距相等,且点 P(4,3)到直线 l 的距离为 3 2,求直线 l 的方程. 解:由题意知,若截距为 0, 可设直线 l 的方程为 y=kx. 由题意知 |4k-3|
2

=3 2,解得 k= k +1

-12± 3 14 . 2

若截距不为 0,设所求直线 l 的方程为 x+y-a=0. |4+3-a| 由题意知 =3 2,解得 a=1 或 a=13. 2 故所求直线 l 的方程为 y= =0. -12+3 14 -12-3 14 x,y= x,x+y-1=0 或 x+y-13 2 2

8.已知点 P(a,b)在线段 AB 上运动,其中 A(1,0),B(0,1).试求(a+2)2+(b+2)2 的取 值范围. 解:由(a+2)2+(b+2)2 联想两点间的距离公式,设 Q(-2,-2),又 P(a,b),则|PQ| = ?a+2?2+?b+2?2,于是问题转化为求|PQ|2 的最大值、最小值. 如 图 所 示 , 当 P 与 A 或 B 重 合 时 , |PQ| 取 得 最 大 值 , 即 ?-2-1?2+?-2-0?2= 13. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

当 PQ⊥AB 时,|PQ|取得最小值,此时|PQ|为 Q 点到直线 AB 的距离,由 A,B 两点坐 标可得直线 AB 的方程为 x+y-1=0. 则 Q 点到直线 AB 的距离 d= ∴ 25 ≤(a+2)2+(b+2)2≤13. 2 |-2-2-1| 5 5 2 = = , 2 2 12+12

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