向量加法运算及其几何意义教学设计

2.2.1 向量加法运算及其几何意义教学设计
杨丽军 一、 教材分析 《向量的加法运算及其几何意义》选自人教版《必修 4》第 2.2.1 节, 内容包括向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用,向量加法的运 算律及应用。本节课是学习平面向量基本概念之后的一节比较重要的课, 通过类比数的运算,研究向量的运算及运算律,渗透数学类比的思想。向 量的加法更是后续学习的铺垫,因为向量加法运算是平面向量的线性运算 (向量加法、向量减法、向量数乘运算以及它们之间的混合运算) 中最基 本、最重要的运算,减法运算、数乘向量运算都可以归结为加法运算。故 本节课在空间向量与立体几何中起着举足轻重的地位。

二、 学情分析 学生在上节课中学习了向量的定义及表示,相等向量,平行向量等概念, 知道向量可以自由移动,这是学习本节内容的基础. 学生对数的运算了如 指掌,但是,对于向量的加法运算,学生可能不明白向量可以相加的道理. 于 是便产生了疑惑:向量既有大小,又有方向,难道可以相加吗?为此,我在案 例设计中,首先回顾物理中位移、力的合成,让学生体验向量加法的实际含 义,明确向量的加法就是物理中学过矢量的合成,在此基础上,归纳总结向 量加法的三角形法则和平行四边形法则. 而向量的运算律发现并不困难, 主要任务是让学生对向量进行探究,构造图形进行验证. 关于例 2 的教学, 主要是帮助学生正确理解题意,把问题转化为向量的加法运算。 三、 教学目标 知识与技能 理解和掌握向量加法的运算及运算律, 能够运用向量加法三角形法则 和平行四边形法则求任意两个向量的和向量, 并初步学会用向量方法解决 几何问题及实际问题。

过程与方法 通过观察物理学中的位移合成和力的合成实例, 类比数的运算及运算 规律, 归纳向量的加法运算及其运算律, 体验数学知识发生、 发展的过程, 培养数学类比、迁移、分类、归纳等能力。 情感态度价值观 从位移的合成、力的合成实例中得到向量加法运算法则,之后用来解 决实际问题(如例 2),让学生体验数学源于生活,又用于生活的道理。体 验探索的乐趣。 四、 重点 向量加法的三角形法则、平行四边形法则及运算律。 难点 数的加法对向量加法的负迁移,造成向量加法的意义的理解困难。

五、 教学过程设计 同学们,我们知道,数能进行运算,因为有了运算而使数的威力无穷.与 数的运算类比,向量是否也能进行运算呢?作为既有大小又有方向的一个 矢量,它的运算和实数的运算有什么区别呢?本节课我们将一起来探讨向 量加法运算及其几何意义。
【环节一 复习回顾】

问题 1:向量的概念、表示法.什么是平行向量,相等向量? 【设计意图】 因为学生已经学习相关知识,又考虑到本节课的教学内容,因此,简单 :

地描述一下相关知识,作这个介绍,学生能够接受。
【环节二 引入】 问题 2:坐飞机从上海到香港,再从香港到台北,这俩次飞行的位移是多少?

O

上海

台北

B

A
香港

【设计意图】 求位移是学生在学习物理中经常遇到的问题,问题的提出可以激发学 :

生的学习兴趣,同时体现向量的应用价值,通过学生所熟悉的位移和的求法,进一 步明确本节课的探索目标,使得教学过程自然流畅。 问题 3:用二个互相垂直的力 F1,F2 把橡皮条拉长一定的距离 OE,再撤去 F1,F2, 用一个力 F 作用在橡皮条上,使橡皮沿着相同的方向伸长相同的长度,记录 F 的大 小和方向。 结论: 排除误差,可以通过实验验证,在取得相同效果的前提下,合力 F 的方向在以 F1,F2 的为邻边的平行四边形的对角线上,且大小等于平行四边形的对角线的长。

【设计意图】 学生虽然具备一定的物理知识,不过对于力的合成和分解,同样是高 :

一才开始接触,有必要通过课件直观显示让学生再次认识合力的大小和方向,学生 经过对课件的观察和分析,很自然地认识平行四边形法则,为向量的加法做铺垫。 → 结论: 位移和力都可以看成向量,从物理的角度,力 F 和位移AC都得到相同的效果, 我们把它们称为合力和合位移,从数学的角度可以把它们看成是二个向量相加.那 么根据以上结果,我们如何定义二个向量的加法呢?
【环节三 向量加法定义的探究】 问题 4:让学生讨论,怎么定义任意二个向量的和? (教师在黑板上画出二个自由

向量),学生讨论以后可能会出现以下定义方式: 已知向量 a , b ,在平面内任取一点 A ,作 AB ? a, BC ? b ,则向量 AC 叫做向量 a, b 的 和.记作: a ? b ,即 a ? b ? AB ? BC ? AC 。
? ?
? ? ??? ??? ? ? ????

? ?

??? ?

? ??? ?

?

????

? ?

【设计意图】 对于此环节,比较常见的处理方式是直接给出定义,事实上,学生通过 :

引入环节的活动可以初步认识平行四边形法则和三角形法则,能调动学生的积极 性,激发学生的思维,同时也让学生在比较讨论中进一步掌握, 根据学生的回答,教 师适当提示,总结出向量加法的定义。

【环节三

向量加法的二个运算法则】

问题 5:我们已经定义了向量的加法,那么已知俩个向量→、→,如何求作和向量 a b
? ? a ? b 呢?

向量加法的法则: 1° 向量加法的三角形法则 在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则.运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个 向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。 2° 向量加法的平行四边形法则

如图,以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作平行四边形,则以 O 为起点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加 法的平行四边形法则。 力的合成可以看作向量加法的物理模型。 【设计意图】 此环节目的为强化巩固以上二个环节,系统概括三角形法则和平 : 行四边形法则本环节系统概括、适当拓展并且利用适当的练习,帮助学生找出易 错点,进一步突出重点。 1.向量加法的三角形法则:在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法 的三角形法则 教师提示注意点: (1)要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则 由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。 (2)位移的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型。 2.向量加法的平行四边形法则: 教师通过示范平行四边形的作图过程,并提示注意点: (1) 从两个向量的公共始点出发作和向量, 对角为和, 即三个向量都共起点。 (2) 力的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。
【环节四共线向量加法的探究】

对于零向量与任一向量 我们规定:

+

=

+

=

问题 6:那么共线向量的加法应该怎么进行呢?

共线向量的加法 1、 方向相同: 意义类似于有理数加法中的 “同 号两数相加” ,即和向量的长度等于两个向量的长 长之和,方向与它们相同。
A B C

=

+

2、方向相反:类似于“异号两数相加”作法运用三角形法则,作法依然可 用三角形法制。 和向量的长度等于用较长的模减去较短的模, 方向取模较长的向量的方向。
A B C

=



由此可知,共线向量相加时,依然运用三角形法则。可见三角形法则适用于 任意两个向量相加,而平行四边形法则只适用于不共线向量的加法。
【设计意图】 利用向量定义和与数的加法进行对比得出共线向量的加法,从 :

而达到完善向量加法的目的。
【环节五 探究向量模的关系】

问题 7:思考|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系?

讨论结果:当 a,b 不共线时,|a+b|<|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边); 当 a,b 共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|; 当 a,b 共线且方向相反时,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中当向量 a 的长度大 于向量 b 的长度时,|a+b|=|a|-|b|;当向量 a 的长度小于向量 b 的长度时,|a+b|=|b|-|a|. 一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|。 【设计意图】 通过师生共同讨论得出向量模的关系,进一步明确数的加法与向量 : 加法的不同。 两个向量的和的模不大于这两个向量的模的和,这是一个不等式性 质,解题中具有一定的功能作用。

【环节六向量加法的运算律】 问题 8:向量的加法既然是一种运算,它应该具有一些运算律?请同学们类比实数

加法运算律,猜测一下是什么? 【设计意图】 本环节为本节课的难点,采用启发讨论式教学,让学生分组讨论,教师 : 巡堂指导,学生在尝试证明和对比分析讨论的过程理解二个运算律 请同学们利用下图讨论如何验证?

请同学协作讨论以后写出证明过程,教师投影学生习作,并根据情况进行归纳 点评。 【设计意图】 通过与数的加法运算律类比,得出向量加法的运算律,感受加法运 : 算律的共性,感受通过图形来验证运算律的方法。
【环节七应用举例】 例题 2 :长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输,如图所示,一艘船

从长江南岸 A 点出发,以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度 为向东 2km/h。 (1) 试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两位有效 数字) (2) 求船实际航行的速度大小与方向 (用与江水速度间的夹角表示,精确到 度) 【设计意图】 例 2 的设计体现了数学来源于实际又应用于实际的思想,使学生学 : 会应用数学知识、数学思想和方法解决有关问题。
【环节八课堂练习】

? ? ? ? a b ,用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出 a ? b 1.如图:已知向量
? a ? b ? b

2.根据图示填空:

(1) a ? b ? _____; (2) c ? d ? ______:

? ?

? ? ?

e

d
f

? ? ? ? a ? b ? d ? _______; (3)
? ? ?

E
g

(4) c ? d ? e ? ________. 3. 请选用合适符号填空:

c

C
b

A ? ? ? ? a ? b ____ a ? b (<,>,? ,?, ? )
?? 非零向量a, b处于什么位置时?

a

B

4.

? ? ? ? (1) a ? b ? a ? b ? ? ? ? (2) a ? b ? a ? b ? ? ? ? (3) a ? b ? a ? b ? ? ? ? (4) a ? b ? b ? a

5.根据图形填空:

D

C

? ? ? (1) a + d = ? ? (2) b + c =
A

? ? d ? a

O

? c ? b
B

【设计意图】 本节课采用的是将相应的课堂练习插入相应的环节之后,而不是最 :

后进行课堂训练,这样安排是为了及时巩固,更好更快的掌握相应知识,增强相 应知识的应用能力。
【环节九课堂小结】 问题 9:通过本节课的学习你有哪些收获? 【设计意图】 让学生通过小结,反思学习过程,加深对向量加法及两个法则的理解, :

领会并能利用数学思想和方法解决有关问题。
【环节十 课后作业】

作业: (1)P84:第 2 题要求用两种方法做。

? ? ? ? ? ? ? (2)选做题:能否在平面内构造三个非零向量 a, b, c 使 a ? b ? c ? 0 。

六、 板书设计

向量的加法及其几何意义
一、定义 二、法则 五、运算律 多媒体课件 练习、分析、例题

① 三角形法则: ② 平行四边形法则 三、共线向量的加法
四、模的关系

七、 设计反思 本节课的授课对象是普通高中民族班高一学生, 学生通过观察物理学 中的位移合成和力的合成实例,类比数的运算及运算规律,归纳向量的加 法运算及其几何意义,经历数学知识的发生、发展的过程。但由于本节课 知识点比较多,如何准确把握时间,详略得当,突出重点,突破难点需要 反复试讲揣测。教学是个不断再创造的过程,只有教师本身才能体会其中 的乐趣!

八、 教学反思


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