江苏省泰兴市第一高级中学2014-2015学年高一下学期调研测试(一)数学试题

2015 年春学期高一年级调研测试(一)
高 一 数 学
(满分 160 分,120 分钟) 2015.3.29 一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程,请把答案填写 在答题 纸 的相应位置上.) .. . 1.直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 的倾斜角为 2.已知数列{ an }的通项公式为 an ?
2

. __项. . 。 .

2 1 ,那么 是它的第_ n ?n 10

3.在等比数列{ an }中,若 a4 ? 27 , q ? ?3 ,则 a7 ? 4.已知直线 l 过点 ?0,0? ,斜率为 2,则直线 l 的方程是 5.等差数列 ?an ? 中, S10 ? 120 ,那么 a2 ? a9 ? 6.数列 ?an ? 满足 a1 ? 3,

1 an?1

?

1 ? 5(n ? N ? ) 则 an ? an




7.不等式

2? x ? 0 的解集是 x ?1

8.若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ?

1 2 ,则 a1a3 a5 ? 2

.

9.已知等比数列 {an } 中,公比 q ? 0 ,且 a1 ? a4 ? 9, a2 a3 ? 8 ,则

a2012 ? a2013 ? a2010 ? a2011



10.已知关于 x 的不等式 ax﹣b<0 的解集是(3,+∞) ,则关于 x 的不等式 是 _________ .

>0 的解集

11 . 若 ?an ? 是 等 差 数 列 , 首 项 a1 ? 0 , a2013 ? a2014 ? 0, a2013 ? a2014 ? 0 , 则 使 前 n 项 和

Sn ? 0 成立的最大自然数 n 是
12.若数列 ?an ? 满足: a1 ?



1 n ?1 an ( n ? N * ) , an ?1 ? ,则 ?an ? 的通项公式为 2 2n

an ?

.

13. 已知等差数列 ?an ? 中, 下列结论正确的序号是_________ a1 ? 0 且前 n 项和满足 s20 ? s40 , ① s30 是 s n 中的最大值;② s30 是 s n 中的最小值;③ s30 ? 0 ;④ s60 ? 0

14. 已知等比数列 {an } 满足 a1 ? 1 , 0 ? q ? 的某一项,则公比 q 为____________.

1 ,且对任意正整数 k , ak ? (ak ?1 ? ak ? 2 ) 仍是该数列中 2

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 15.已知两点 A(3,2) ,B(8,12) (1)求直线 AB 的方程; (2)若点 C(-2,a)在直线 AB 上,求实数 a 的值。

16.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1
2

(1) 若 f ( x) ? 0 的解集是 ?x | x ? 3 或x ? 4? ,求实数 a , b 的值. (2) 若 f (?1) ? 1 且 f ( x) ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

17.已知数列 ?an ? 是首项为 1 的等差数列,数列 ?bn ? 是等比数列,设 cn ? an ? bn ,且数列

?cn ?的前三项分别为 3,6,11
(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?cn ? 的前 10 项和 S10 ;

18.设 S n 为数列{ a n }的前项和,已知 a1 ? 0 , S n ? (1)求 a1 , a 2 ;

2an ?1 , n ?N ? a1
(3)求数列{ na n }的前 n 项和.

(2)证明数列{ a n }是等比数列;

19.已知数列{an}的首项 a1=a,前 n 项和为 Sn,且?a2,Sn,2an+1 成等差数列. (1)试判断{an}是否成等比数列,并说明理由; (2)若 a5 ? 32 ,设 bn ? log2 (a1a2 ?an ) ,试求

1 1 1 ? ? ? ? 的值. b1 b2 bn

20.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 2n?1 ? 2 ;数列 {bn } 满足

6n2 ? (t ? 3bn )n ? 2bn ? 0(t ? R, n ? N ? ) .
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)①试确定 t 的值,使得数列 {bn } 为等差数列; ②在①结论下,若对每个正整数 k ,在 ak 与 ak ?1 之间插入 bk 个 2,得到一个新数列

{cn } .设 Tn 是数列 {cn } 的前 n 项和,试求满足 Tm ? 2cm?1 的所有正整数 m .

附加题 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ?

1 2 11 n ? n (n ? N? ) . 2 2
1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 (2an ? 11)(2 an ? 9)

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 cn ?

Tn ,求使不等式 Tn ?
(3)设 f (n) ? ?

k ? 对一切 n ? N 都成立的最大正整数 k 的值; 2013

? (n ? 2k ? 1 , k ? N? ), ?an , ? 是否存在 m ? N ,使得 ? ? ?3an ? 13, (n ? 2k , k ? N ),

f (m ? 15) ? 5 f (m) 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

高一数学调研测试(一)参考答案
1.

? ; 6

2、 4



3、 ?729 ;4.

7、 (??, ?1) ? [2, ??) 13.②④;

3 ; 15n ? 14 1 n 1 8. ;9.4 或 ; 10.(-3,2); 11.4026;12. n ; 4 4 2

2 x ? y ? 0 ;5、 24



6、

14. 2 ? 1 ; (2) a ? ?8 ………14 分

15.解: (1) 2 x ? y ? 4 ? 0 ………7 分

2 16.解 (1) 由题意得: a ? 0 且 3, 4 是方程 ax ? bx ? 1 ? 0 的两个根. ………………3 分

所以, ?

?9a ? 3b ? 1 ? 0 1 7 ,b?? ,解得 a ? 12 12 ?16a ? 4b ? 1 ? 0

………………7 分

⑵ 由 f (?1) ? 1 ? a ? b ? 0 , 而 f ( x) ? 2 恒成立 , 即: ax ? bx ? 1 ? 0 恒成立.
2

………………9 分 ………………11 分

所以 a ? 0 且 ? ? b2 ? 4a ? 0,

?a ? 0 ,解得 ?4 ? a ? 0 ,此为所求的 a 的取值范围 ?? 2 ? a ? 4a ? 0

………………14 分

17.解: (1)设数列 ?an ? 的公差为 d ,数列 ?bn ? 的公比为 q ,……………1 分

?1 ? b1 ? 3 则? ?(1 ? d ) ? b1q ? 6 ? 2 ?(1 ? 2d ) ? b1q ? 11

……………………4 分

?b1 ? 2 ? ? ? d ? 1 ( q ? 0舍去) ? an ? n, bn ? 2 n ?q ? 2 ?

……………………7 分

(2)数列 ?cn ? 的前 10 项和 S10 ? (a1 ? a2 ? ? ? a10 ) ? (b1 ? b2 ? ? ? b10 ) ………8 分

?

10(1 ? 10) 2(210 ? 1) ? …………………………………………………12 分 2 2 ?1

=2101…………………………………………………14 分 18. 解: (1) 当 n=1 时, 2a1 ? a1 ? a1 ? a1 ? a1 ? 0, a1 ? 1. ……………2 分 (2) n ? 1

a n ? s n ? s n ?1 ?

2a n 2a ? 1 ? n ?1 ? 1 ? 2a n ? 2a n ?1 ? a n ? 2a n ?1 ……7 分 a1 a1

∵ a1 ? 0,? a n ? 0,?

an ?2 a n?1

?{an } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列…………………………………9 分
(3)由(2)得 an ? 2 n?1

设Tn ? 1 ? a1 ? 2 ? a 2 ? 3 ? a3 ? ? ? n ? a n ? qTn ? 1 ? qa1 ? 2 ? qa 2 ? 3 ? qa3 ? ? ? n ? qa n ? qTn ? 1 ? a 2 ? 2 ? a3 ? 3 ? a 4 ? ? ? n ? a n ?1
上式左右错位相减:

(1 ? q )Tn ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? na n ?1 ? a1

1? qn ? na n ?1 ? 2 n ? 1 ? n ? 2 n 1? q

? Tn ? (n ? 1) ? 2 n ? 1, n ? N * . ……………………………………………16 分
19. (I)∵ 2Sn ? ?a2 ? 2an?1 ,∴当 n≥ 2 时, 2Sn?1 ? ?a2 ? 2an . 两式相减得 2an ? 2an?1 ? 2an ; ∴当 n≥ 2 时, an ?1 ? 2an . ……………………………………………………4 分 ……………………5 分

又当 n ? 1 时, 2a1 ? ?a2 ? 2a2 ,即 a2 ? 2a1 ,适合上式,

∴当 a1 ? a ? 0 时,此时 an ? 0 , ?an ? 不是等比数列. ………………………6 分 当 a ? 0 时,
an ?1 ? 2 ,此时, ?an ? 是首项为 a,公比为 2 的等比数列. an

………7 分

(II)∵ a5 ? 32 ,∴ a ? 0 ,此时 an ? a ? 2n?1 . ∴ 32 ? a ? 24 ,解得 a ? 2 ,∴ an ? 2n . ……………………………………………9 分 ………12 分

bn ? log 2 (a1a2 ? an ) = log2 (21 ? 22 ? ?? 2n ) = 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n =

n(n ? 1) , 2 n n n 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ) = 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ?( ? ∴S =S = 2S ( ? )] n ?1 2 2 3 n n ?1 i ?1 b i i ?1 n( n ? 1) i ?1 n
= 2(1 ?

1 2n .………………………………………………………16 分 )= n ?1 n ?1
n *

20.解: (1) an ? 2 (n ? N ) ………………………4 分 (2)当 n ? 1 时,得 b1 ? 6 ? t , n ? 2 时,得 b2 ? 6 ?

1 54 ? 3t t ; n ? 3 时,得 b3 ? , 2 7

2 则由 b1 ? b3 ? 2b2 ,得 t ? 4 .而当 t ? 4 时,由 6n ? (t ? 3bn )n ? 2bn ? 0 得 bn ? 2n .

由 bn?1 ? bn ? 2 ,知此时数列 ?bn ? 为等差数列. (本题也可用恒成立求解)……9 分 (3)由题意知, c1 ? a1 ? 2, c2 ? c3 ? 2, c4 ? a2 ? 4, c5 ? c6 ? c7 ? c8 ? 2, c9 ? a3 ? 8,? 则当 m ? 1 时, T1 ? 2 ? 2c2 ? 4 ,不合题意,舍去; 当 m ? 2 时, T2 ? c1 ? c2 ? 4 ? 2c3 ,所以 m ? 2 成立; 当 m ? 3 时,若 cm?1 ? 2 ,则 Tm ? 2cm?1 ,不合题意,舍去;从而 cm?1 必是数列 ?an ? 中的某一 项 ak ?1 ,则

Tm ? a1 ? 2 ?? ? 2 ? a2 ? 2 ?? ? 2 ? a3 ? 2 ?? ? 2 ? a4 ? ?? ak ? 2 ?? ? 2 ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?
b1个 b2个 b3个 bk 个

? (2 ? 22 ? 23 ? ?? 2k ) ? 2(b1 ? b2 ? b3 ? ?? bk )
? 2(2k ? 1) ? 2 ?
所以 2
k k ?1

(2 ? 2k )k ? 2k ?1 ? 2k 2 ? 2k ? 2 又 2cm?1 ? 2ak ?1 ? 2 ? 2k ?1 , 2

? 2k 2 ? 2k ? 2 ? 2 ? 2k ?1 ,
2

即 2 ? k ? k ? 1 ? 0 ,所以 2k ? 1 ? k 2 ? k ? k (k ? 1) 因为 2 ? 1 (k ? N ) 为奇数,而 k ? k ? k (k ? 1) 为偶数,所以上式无解.
k * 2

即当 m ? 3 时, Tm ? 2cm?1

综上所述,满足题意的正整数仅有 m ? 2 .………16 分

附加题答案 解: (1)当 n ? 1 时,

a1 ? S1 ? 6

…………… 1 分

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? ( n ?
2

1 2

11 1 11 n) ? [ (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? n ? 5 .…… 2 分 2 2 2

而当 n ? 1 时, n ? 5 ? 6

∴ an ? n ? 5 .
(2) cn ?

………………2 分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (2an ? 11)(2an ? 9) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

∴ Tn ? c1 ? c2 ? … ? cn ?

1 1 1 1 1 1 n [(1 ? ) ? ( ? ) ? … ?( ? )] ? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

∵ Tn ?1 ? Tn ?

n ?1 n 1 ? ? ?0 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 3)(2n ? 1)

∴ Tn 单调递增,故 (Tn ) min ? T1 ?

1 . 3
……………… 5 分



1 k ? ,得 k ? 671 ,所以 kmax ? 670 . 3 2013

? (若由对一切 n ? N ,都有 cn ? 0 ,得 (Tn ) min ? T1 ?

1 ,同样给分) 3

(3) f (n) ? ?

? ?n ? 5, (n ? 2k ? 1, k ? N * ) ( n ? 2k ? 1 , k ? N ? ) ? ?an , = ? ? * ? ? ?3n ? 2, ( n ? 2k , k ? N ) ?3an ? 13, (n ? 2k , k ? N )

(1)当 m 为奇数时, m ? 15 为偶数,

∴ 3m ? 47 ? 5m ? 25 , m ? 11 .


(2)当 m 为偶数时, m ? 15 为奇数, ∴ m ? 20 ? 15m ? 10 , m ?

5 ? N? (舍去) . 7

综上,存在唯一正整数 m ? 11 ,使得 f (m ? 15) ? 5 f ( m) 成立.10 分


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