2014年全国各地高考试题分类汇编(文数)2----函数与导数(解答题)(全Word,精心排版)

2014 年全国各地高考试题分类汇编(文数) 函数与导数(解答题)
(2014 安徽文数)20. (本小题满分 13 分)设函数 f ( x) ? 1 ? (1 ? a) x ? x2 ? x3 ,其中 a ? 0 . (1)讨论 f ( x) 在其定义域上的单调性; (2)当 x ? [0,1] 时,求 f ( x) 取得最大值和最小值时的 x 的值. 解: (1) f ? x ? 的定义域为 ? ??, ??? , f ? ? x ? ? 1 ? a ? 2x ? 3x2 . 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ?

?1 ? 4 ? 3a ?1 ? 4 ? 3a , x2 ? , x1 ? x2 ,所以 f ? ? x ? ? ?3? x ? x1 ?? x ? x2 ? . 3 3

当 x ? x1 或 x ? x2 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x1 ? x ? x2 时, f ? ? x ? ? 0 . 故 f ? x ? 在 ? ??, x1 ? 和 ? x2 , ??? 内单调递减,在 ? x1 , x2 ? 内单调递增. (2)因为 a ? 0 ,所以 x1 ? 0 , x2 ? 0 .

1 ,由(I)知, f ? x ? 在 ?0,1? 上单调递增,所以 f ? x ? 在 x ? 0 和 x ? 1 处分别取得最小 (i)当 a …4 时, x2 …
值和最大值. (ii)当 0 ? a ? 4 时, x2 ? 1 .由(I)知, f ? x ? 在 ?0, x2 ? 上单调递增,在 ? x2 ,1? 上单调递减, 因此 f ? x ? 在 x ? x2 ?

?1 ? 4 ? 3a 处取得最大值.又 f ? 0? ? 1, f ?1? ? a , 3

所以当 0 ? a ? 1 时, f ? x ? 在 x ? 1 处取得最小值; 当 a ? 1 时, f ? x ? 在 x ? 0 和 x ? 1 处取得最小值; 当0 ? a ? 4 时, f ? x ? 在 x ? 0 处取得最小值; (2014 北京文数)20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? 2 x ? 3x .
3

(1)求 f ( x ) 在区间 [?2,1] 上的最大值; (2)若过点 P(1, t ) 存在 3 条直线与曲线 y ? f ( x) 相切,求 t 取值范围; (3)问过点 A(?1, 2), B(2,10), C (0, 2) 分别存在几条直线与曲线 y ? f ( x) 相切?(只需写出结论) 解: (1)由 f ? x ? ? 2x3 ? 3x 得 f ? ? x ? ? 6x2 ? 3 .令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ? 因为 f ? ?2? ? ?10 , f ? ? ?

2 2 或x? . 2 2

? ?

2? ?? 2, 2 ? ?

? 2? f? ? 2 ? ? ? ? 2 , f ?1? ? ?1 , ? ? ? ? 2? ?? 2. 2 ? ?
1

所以 f ? x ? 在区间 ? ?2,1? 上的最大值为 f ? ? ?

3 2 (2)设过点 P ?1, t ? 的直线与曲线 y ? f ? x ? 相切于点 ? x0 , y0 ? ,则 y0 ? 2 x0 ? 3x0 ,且切线斜率为 k ? 6x0 ? 3,
2 所以切线方程为 y ? y0 ? 6 x0 ? 3

?

? ? x ? x ? .因此 t ? y ? ? 6 x
0 0

2 0

3 2 ? 3? ?1 ? x0 ? .整理得 4x0 ? 6x0 ? t ? 3 ? 0.

设 g ? x ? ? 4x3 ? 6x2 ? t ? 3 ,则“过点 P ?1, t ? 存在 3 条直线与曲线 y ? f ? x ? 相切”等价于“ g ? x ? 有 3 个不同零 点”. g? ? x ? ? 12x2 ?12x ? 12x ? x ?1? , g ? x ? 与 g? ? x ? 的变化情况如下表:

x

? ??, 0?
?

0

? 0,1?
?

1
0
t ?1

?1, ???
?

g? ? x ?
g ? x?

0
t ?3

所以, g ? 0? ? t ? 3 是 g ? x ? 的极大值, g ?1? ? t ?1 是 g ? x ? 的极小值. 当 g ? 0? ? t ? 3 ? 0 ,即 t ? ?3 ,此时 g ? x ? 在区间 ? ??,1? 和 ?1, ?? ? 上分别至多有 1 个零点, 所以 g ? x ? 至多有 2 个零点. 当 g ?1? ? t ?1…0 ,即 t …?1 时,此时 g ? x ? 在区间 ? ??, 0 ? 和 ? 0, ?? ? 上分别至多有 1 个零点, 所以 g ? x ? 至多有 2 个零点. 当 g ? 0? ? 0 且 g ?1? ? 0 ,即 ?3 ? t ? ?1 时,因为 g ? ?1? ? t ? 7 ? 0 , g ? 2? ? t ?11 ? 0 , 所以 g ? x ? 分别在区间 ? ?1,0? , ?0,1? 和 ?1, 2 ? 上恰有 1 个零点.由于 g ? x ? 在区间 ? ??, 0 ? 和 ?1, ?? ? 上单调, 所以 g ? x ? 分别在区间 ? ??, 0 ? 和 ?1, ?? ? 上恰有 1 个零点. 综上可知,当过点 P ?1, t ? 存在 3 条直线与曲线 y ? f ? x ? 相切时, t 的取值范围是 ? ?3, ?1? . (3)过点 A ? ?1, 2? 存在 3 条直线与曲线 y ? f ? x ? 相切;过点 B ? 2,10? 存在 2 条直线与曲线 y ? f ? x ? 相切; 过点 C ? 0,2? 存在 1 条直线与曲线 y ? f ? x ? 相切. (2015 大纲文数)21. (本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? ax3 +3x2 ? 3x(a ? 0) . (1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若 f ( x ) 在区间 (1 , 2) 是增函数,求 a 的取值范围. 解: (1) f ? ? x ? ? 3ax ? 6x ? 3 , f ? ? x ? ? 0 的判别式 ? ? 36 ?1 ? a ? . (i)若 a …1 ,则 f ? ? x ? …0 ,且当且仅当 a ? 1 , x ? ?1 .故此时 f ? x ? 在 R 上是增函数. (ii)由于 a ? 0 ,故当 a ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 有两个根: x1 ?

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a , x2 ? . a a

若 0 ? a ? 1 ,则当 x ? ? ??, x2 ? 或 x ? ? x1 , ??? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? ??, x2 ? , ? x1 , ??? 上是增函数;
2

当 x ? ? x2 , x1 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? x2 , x1 ? 上是减函数; 若 a ? 0 ,则当 x ? ? ??, x1 ? 或 ? x2 , ??? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? ??, x1 ? , ? x2 , ??? 上是减函数; 当 x ? ? x2 , x1 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? x1 , x2 ? 上是增函数. (2)当 a ? 0 , x ? 0 时, f ? ? x ? ? 3ax2 ? 6x ? 3 ? 0 ,故当 a ? 0 时, f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 上是增函数. 当 a ? 0 时, f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 上是增函数当且仅当 f ? ?1? …0 且 f ? ? 2? …0 ,解得 ? 综上, a 的取值范围是 ? ?

5 ? a ?0. 4

? 5 ? ,0 ? 4 ? ?

? 0, ?? ? .
f ( x) ? ex ? ax ( a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A ,曲

(2014 福建文数)22. (本小题满分 12 分)已知函数 线y?

2 x (1)求 a 的值及函数 f ( x ) 的极值; (2)求证:当 x ? 0 时, x ? e f ( x) 在点 A 处的切线斜率为 ?1 .
x

(3)求证:对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,使得当 x ? ( x0 , ??) 时,恒有 x ? ce 解:(1)由 f ? x ? ? ex ? ax ,得 f ? ? x ? ? ex ? a .又 f ? ? 0? ? 1 ? a ? ?1 , 得 a ? 2 .所以 f ? x ? ? ex ? 2x , f ? ? x ? ? ex ? 2 .令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ln 2 .

当 x ? ln 2 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减;当 x ? ln 2 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增. 所以当 x ? ln 2 时, f ? x ? 取得极小值,且极小值为 f ? ln 2? ? eln 2 ? 2ln 2 ? 2 ? ln 4 , f ? x ? 无极大值. (2)令 g ? x ? ? ex ? x 2 ,则 g' ? x ? ? ex ? 2x .由(1)得 g' ? x ? ? f ? x ? … f ? ln 2? ? 0 , 故 g ? x ? 在 R 上单调递增,又 g ? 0? ? 1 ? 0 ,因此,当 x ? 0 时, g ? x ? ? g ? 0? ? 0 ,即 x ? e .
2 x

(3) 解法一: 对任意给定的正数 c , 取 x0 ?
x

1 1 2 x x 2 , 由 (2) 知, 当 x ? 0 时,x ? e . 所以当 x ? x0 时,e ? x ? x , c c
x

即 x ? ce .因此,对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,当 x ? ? x0 , ??? 时,恒有 x ? ce . 解法二:令 k ?
x

1 ? k ? 0 ? ,要使不等式 x ? ce x 成立,只需要 e x ? kx 成立. c

而要使 e ? kx 成立,只需要 x ? ln ? kx ? ,即 x ? ln k ? ln x 成立. ①若 0 ? k ? 1 ,则 ln k ? 0 ,易知当 x ? 0 时, x ? ln x …ln k ? ln x 成立. 即对任意 c ??1, ??? ,取 x0 ? 0 ,当 x ? ? x0 , ??? 时,恒有 x ? ce .
x

②若 k ? 1 ,令 h ?x ? ?x ? lnx ? lnk ,则 h' ? x ? ? 1 ?

1 x ?1 ? ,所以当 x ? 1 时,h' ? x ? ? 0 ,h ? x ? 在 ?1, ?? ? 内 x x

单调递增.取 x0 ? 4k , h ? x0 ? ? 4k ? ln ? 4k ? ? ln k ? 2 ? k ? ln k ? ? 2 ? k ? ln 2? , 易知 k ? ln k , k ? ln 2 ,所以 h ? x0 ? ? 0 .因此对任意 c ? ? 0,1? ,取 x0 ?
3

4 x ,当 x ? ? x0 , ??? 时,恒有 x ? ce . c

综上,对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,当 x ? ? x0 , ??? 时,恒有 x ? ce .
x

解法三:①若 c …1 ,取 x0 ? 0 ,由(2)的证明过程知, e ? 2 x ,
x

所以当 x ? ? x0 , ??? 时,有 ce …e ? 2 x ? x ,即 x ? ce .
x x
x

②若 0 ? c ? 1 ,令 h ? x ? ? cex ? x ,则 h' ? x ? ? cex ?1.令 h' ? x ? ? 0 ,得 x ? ln

1 1 .当 x ? ln 时, h' ? x ? ? 0 , c c

2 2ln 2 2 2 2 2? ?2 h ? x ? 单调递增.取 x0 ? 2 ln , h ? x0 ? ? ce c ? 2ln ? 2 ? ? ln ? ,易知 ? ln ? 0 , c c c c c? ?c

又 h ? x ? 在 ? x0 , ??? 内单调递增,所以当 x ? ? x0 , ??? 时,恒有 h ? x ? ? h ? x0 ? ? 0 ,即 x ? ce .
x

综上,对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,当 x ? ? x0 , ??? 时,恒有 x ? ce .
x

(2014 广东文数)21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? 1? a ? R ? . 3

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)当 a ? 0 时,试讨论是否存在 x0 ? ? 0, ?
2

? ?

1? ?1 ? ?1? ? ,1? ,使得 f ? x0 ? ? f ? ? . 2? ?2 ? ?2?

解: (1) 定义域为 R , f ? ? x ? ? x ? 2x ? a . ①当 a ? 1 时, 令 f ? ? x? ? 0 , 则 x2 ? 2x ?a ? 0 ? x?? ? 1 或 x ? ?1 ? 1 ? a ,所以

? 1 a

f ? x ? 的单调递增区间为 ? ??, ?1 ? 1 ? a ? 和 ? ?1 ? 1 ? a , ?? ? ;令 f ? ? x ? ? 0 ,可得

?1 ? 1 ? a ? x ? ?1 ? 1 ? a ,所以 f ? x ? 的单调递减区间为 ?1 ? 1 ? a , ?1 ? 1 ? a .
②当 a …1 时, f ? ? x ? …0 在 R 上恒成立,所以 (2) a ? 0 时, ?1 ? 1 ? a ? 0 .由(1)知,

?

?

f ? x ? 在 R 上是增函数. f ? x ? 在 ? ?1 ? 1 ? a , ?? ? 上是增函数.

? 1 1 1 7 ?1? ? f ? 0? ? f ? ? , ? 1 剠 ? ? a ? 1, ?a ? , ? ? 7 ? ? 24 4 2 12 ? ? 7 ? a ?2? ?? ?? ? a ? 0, ①? ,则 ? ? 12 12 ??1 ? 1 ? a ? 1 ?a ? ? 5 ?a ? ? 5 ? ? ? 4 ? 4 ? 2 ?
不存在 x0 ? ? 0, ?

? ?

1? ?1 ? 1 ? ,1? ,使得 f ? x0 ? ? ; 2? ?2 ? 2

? 7 ?1? f ? 0? ? f ? ? , ? a?? , ? ? 1 ? ? 1? ?1 ? 12 ? ? 5 ? a ? ? 7 ?2? ?? ②? ,存在 x0 ? ? 0, ? ? ,1? ,使得 f ? x0 ? ? ; ? 2 4 12 ? 2? ?2 ? ??1 ? 1 ? a ? 1 ?a ? ? 5 ? ? 4 ? 2 ?
③ ?1 ? 1 ? a ?

1 1 5 ? 1? ?1 ? ? a ? ? ,不存在 x0 ? ? 0, ? ? ,1? ,使得 f ? x0 ? ? ; 2 2 4 ? 2? ?2 ?

4

? f ?1? ? f ? ? ④? ? 1 ? ?1 ? ? ?2 ? f ?1? ? f ? ? ⑤? ? 1 ? ?1 ? ? ?2

?1? ? ?, ?2?

25 ? a? ? , ? 25 1 ? ? 1? ?1 ? 12 ?? ? ?3 ? a ? ? ,不存在 x0 ? ? 0, ? ? ,1? ,使得 f ? x0 ? ? ; 12 2 ? 2? ?2 ? ??3 ? a ? ? 5 1? a ? 1 ? ? 4

?1? ? ?, ?2?

25 ? a ? ? , ? 25 5 1 ? ? 1? ?1 ? 12 ?? ? ? ? a ? ? ,存在 x0 ? ? 0, ? ? ,1? ,使得 f ? x0 ? ? ; 12 4 2 ? 2? ?2 ? ??3 ? a ? ? 5 1? a ? 1 ? ? 4
1 ? 1? ?1 ? ?3 , f ? x ? 在 ? 0,1? 上是单调函数,故不存在 x0 ? ? 0, ? ? ,1? ,使得 f ? x0 ? ? . 2 ? 2? ?2 ?

⑥ ?1 ? 1 ? a 厔 1? a

综上所述,当 a ? ? ?

1 ? 25 5 ? ? 5 7 ? ? 1? ?1 ? , ? ? ? ? , ? ? 时,存在 x0 ? ? 0, ? ? ,1? ,使得 f ? x0 ? ? . 2 ? 12 4 ? ? 4 12 ? ? 2? ?2 ?

当 a ? ? ??, ?

? ?

25 ? ? 5 ? ? 7 ? 1 ? 1? ?1 ? ?? ? ?? , 0 ? 时,不存在 x0 ? ? 0, ? ? ,1? ,使得 f ? x0 ? ? . ? 12 ? ? 4 ? ? 12 ? 2 ? 2? ?2 ?

(2014 湖北文数)21. (本小题满分 14 分) π 为圆周率, e ? 2.718 28 为自然对数的底数. ln x (1)求函数 f ( x) ? 的单调区间; (2)求 e 3 , 3 e , e π , πe , 3 π , π3 这 6 个数中的最大数与最小数. x 解: (1)函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? .因为 f ? x ? ?

ln x 1 ? ln x ,所以 f ? ? x ? ? . x x2

当 f ? ? x ? ? 0 ,即 0 ? x ? e 时,函数 f ? x ? 单调递增;当 f ? ? x ? ? 0 ,即 x ? e 时,函数 f ? x ? 单调递减. 故函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0,e ? ,单调递减区间为 ? e, ?? ? . (2)因为 e ? 3 ? π ,所以 e ln 3 ? e ln π , π ln e ? π ln 3 ,即 ln 3 ? ln π , ln e ? ln 3 .
e e π π

于是根据函数 y ? ln x , y ? e , y ? π 在定义域上单调递增,可得 3 ? π ? π , e ? e ? 3 .
x
x
e e 3 3 π π

故这 6 个数的最大数在 π 与 3 之中,最小数在 3 与 e 之中.

3

π

e

3

ln π ln 3 ln e ? ? . π 3 e ln π ln 3 ln 3 ln e 3 π π 3 e 3 e 3 ? ? 由 ,得 ln π ? ln 3 ,所以 3 >π ;由 ,得 ln 3 ? ln e ,所以 3 ? e . π 3 3 e π e 综上,6 个数中的最大数是 3 ,最小数是 3 .
由 e ? 3 ? π 及(1)的结论,得 f ? π ? ? f ? 3? ? f ? e? ,即 (2014 湖南文数)21. (本小题满分 13 分)已知函数 (1)求

f ( x) ? x cos x ? sin x ? 1( x ? 0) .

f ( x) 的单调区间; f ( x) 的从小到大的第 i(i ? N* ) 个零点,求证:对一切 n ? N* ,有

(2)记 xi 为

1 1 ? 2? 2 x1 x2

?

1 2 ? . xn 2 3

解: (1) f ' ? x ? ? cos x ? x sin x ? cos x ? ? x sin x ? x ? 0? .
5

当 x ? ? 2k ?,2k ? ? ?? , k ? Z 时, f ' ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 单调递减; 当 x ? ? 2k? ? ?,2k? ? 2?? , k ? Z 时, f ' ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 单调递增. (2)由 f ? 0? ? 1 , f ( ?) ? ? cos ? ? sin ? ? 1 ? ?? ? 1 ? 0 ,则 x1 ? ? 0, ?? ,

f (2?) ? 2? cos2? ? sin 2? ? 1 ? 2? ? 1 ? 0 ,则 x2 ? ? ?,2?? ,

1 4 2 1 1 4 1 5 2 ? 2? , 2? 2 ? 2? 2 ? 2? , 2 x1 ? 3 x1 x2 ? ? ? 3
当 n≥3 时,

1 1 ? 2? 2 x1 x2

?

1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 1 1 1 1 ? ? 4 ? 1 ? ? … ? 5 ?1? ? ? ?…? ? ? ? 2? ? 2 2 2 ? ? ? 4 xn 2 2 3 n ? 2 n ?1? ? n ? 1? ? ? ? ? ?

?

1 1 2 1 ? 1 ? 6 6? ? ? ? 2 ? 3 .综上所述: 2 ? 2 ? 2 ? ? ? n ?1? x1 x2

?

1 2 ? . xn 2 3

(2014 江西文数)18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (4x 2 ? 4ax ? a 2 ) x ,其中 a ? 0 . (1)当 a ? ?4 时,求 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 f ( x) 在区间 [1,4] 上的最小值为 8 ,求 a 的值. 解: (1)当 a ? ?4 时,由 f ? ? x ? ?

2 ? 5x ? 2 ?? x ? 2 ? x

?0得x ?

2 或x ? 2, 5

由 f ? ? x ? ? 0 得 x ? ? 0, ? 或 x ? ? 2, ??? ,故函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 0, ? 和 ? 2, ??? .

? ?

2? 5?

? ?

2? 5?

(2) f ? ? x ? ?

?10 x ? a ?? 2 x ? a ? , a ? 0 ,由
2 x

f ? ? x? ? 0 得 x ? ?

a a 或x ? ? . 2 10

当 x ? ? 0, ?

? ?

a? a? ? a ? 时, f ? x ? 单调递增;当 x ? ? ? , ? ? 时, f ? x ? 单调递减, 10 ? ? 10 2 ? ? a? f ?? ? ? 0. ? 2?

当 x ?? ? ①当 ?

2 ? a ? , ?? ? 时, f ? x ? 单调递增.易知 f ? x ? ? ? 2 x ? a ? x …0 ,且 ? 2 ?

a ? 1 ,即 ?2 ? a ? 0 时, f ? x ? 在 ?1, 4? 上的最小值为 f ?1? , 2

由 f ?1? ? 4 ? 4a ? a2 ? 8 ,得 a ? ?2 2 ? 2 ,均不符合题意. ②当 1 ? ? ③当 ?

a ? 4 ,即 ?8 ? a ? ?2 时, f ? x ? 在 ?1, 4? 上的最小值为 2

? a? f ? ? ? ? 0 ,不符合题意. ? 2?

a ? 4 ,即 a ? ?8 时, f ? x ? 在 ?1, 4? 上的最小值可能在 x ? 1 或 x ? 4 处取得,而 f ?1? ? 8 , 2

2 由 f ? 4 ? ? 2 64 ? 16a ? a ? 8 得 a ? ?10 或 a ? ?6 (舍去) ,

?

?

6

当 a ? ?10 时, f ? x ? 在 ?1, 4 ? 上单调递减, f ? x ? 在 ?1, 4? 上的最小值为 f ? 4? ? 8 ,符合题意. 综上, a ? ?10 . (2014 辽宁文数)21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ?( x ? cos x) ? 2sin x ? 2 ,

g ( x ) ? ( x ? ?)

1 ? sin x 2 x ? ?? (1)存在唯一 x0 ? ? 0, ? ,使 f ( x0 ) ? 0 ; ? ? 1 .求证: 1 ? sin x ? ? 2?
?? ? , ? ? ,使 g ( x1 ) ? 0 ,且对(1)中的 x0 ,有 x0 ? x1 ? ? . ?2 ?

(2)存在唯一 x1 ? ?

解: (1)当 x ? ? 0,

? ?

?? ? ?? ? 时, f ? ? x ? ? π ? π sin x ? 2cos x ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? 0, ? 上为增函数, 2? ? 2?

2 ? ?? ?π? π 又 f ? 0 ? ? ?π ? 2 ? 0 , f ? ? ? ? 4 ? 0 ,所以存在唯一 x0 ? ? 0, ? ,使 f ? x0 ? ? 0 . ? 2? ?2? 2

(2)当 x ? ?

?? ? cos x 2x , ? ? 时,化简得 g ? x ? ? ? π ? x ? ? ? ? 1 .令 t ? π ? x , 1 ? sin x π ?2 ?
f ?t ? ? ?? t cos t 2 ? t ? 1 , t ? ?0, ? ,则 u' ? t ? ? . 1 ? sin t π π ?1 ? sin t ? ? 2?
? ? π? ? π? ? , u' ? t ? ? 0 .在 ? x0 , ? 上 u ? t ? 为增函数, 2? ? 2?

记 u ?t ? ? g ? π ? t ? ? ?

由(1)得,当 t ? ? 0, x0 ? 时, u' ? t ? ? 0 ,当 t ? ? x0 ,

由u?

?π? ? π? ? π? ? ? 0 知,当 t ? ? x0 , ? 时, u ? t ? ? 0 ,所以 u ? t ? 在 ? x0 , ? 上无零点. ?2? ? 2? ? 2?

在 ? 0, x0 ? 上 u ? t ? 为减函数,由 u ? 0? ? 1 及 u ? x0 ? ? 0 知存在唯一 t0 ? ? 0, x0 ? ,使 u ? t0 ? ? 0 , 于是存在唯一 t0 ? ? 0,

? ?

?? ?? ? ? ,使 u ? t0 ? ? 0 ,设 x1 ? π ? t0 ? ? , ? ? ,则 g ? x1 ? ? g ? π ? t0 ? ? u ?t0 ? ? 0 , 2? ?2 ?

因此存在唯一 x1 ? ?

?? ? , ? ? ,使 g ? x1 ? ? 0 .由于 x1 ? π ? t0 , t0 ? x0 ,所以 x0 ? x1 ? π . ?2 ?
x ?1 ,其中 a 为常数. x ?1

(2014 山东文数)20. (本小题满分 13 分)设函数 f ? x ? ? a ln x ?

(1)若 a ? 0 ,求曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (2)讨论函数 f ? x ? 的单调性. 解: (1)由题意知 a ? 0 时, f ? x ? ?

?

?

1 x ?1 2 x ? ? 0, ?? ? ,此时 f ? ? x ? ? .可得 f ? ?1? ? ,又 f ?1? ? 0 , 2 2 x ?1 ? x ? 1?

所以曲线 y ? f ? x ? 在 1, f ?1? 处的切线方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 .

?

?

7

(2)函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? . f ? ? x ? ?

ax 2 ? ? 2a ? 2 ? x ? a a 2 . ? ? 2 x ? x ? 1?2 x ? x ? 1?

当 a …0 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,
2 当 a ? 0 时,令 g ? x ? ? ax2 ? ? 2a ? 2? x ? a , ? ? ? 2a ? 2 ? ? 4a ? 4 ? 2a ? 1? . 2

1 2 ? ? x ? 1? 1 ①当 a ? ? 时, ? ? 0 , f ? ? x ? ? 2 ? 0 ,函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递减. 2 2 x ? x ? 1?
②当 a ? ? ③当 ?

1 时, ? ? 0 , g ? x ? ? 0 , f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递减. 2

1 ? a ? 0 时, ? ? 0 ,设 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? 是函数 f ? x ? 的两个零点, 2

则 x1 ?

? ? a ? 1? ? 2a ? 1 ? ? a ? 1? ? 2a ? 1 a ? 1 ? 2a ? 1 a 2 ? 2a ? 1 ? 2a ? 1 , x2 ? .由于 x1 ? ? ? 0, a a ?a ?a

所以 x ? ? 0, x1 ? 时, g ? x ? ? 0 , f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减,

x ? ? x1 , x2 ? 时, g ? x ? ? 0 , f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增, x ? ? x2 , ??? 时, g ? x ? ? 0 , f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减,
综上可得:当 a …0 时,函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增, 当a? ?

? ? ? a ? 1? ? 2a ? 1 ?? ? ? a ? 1? ? 2a ? 1 ? 1 时, f ? x ? 在 ? 0, , ?? ? 上单调递减, ?? ? ?? ? 2 a a ? ?? ?

在?

? ? ? a ? 1? ? 2a ? 1 ? ? a ? 1? ? 2a ? 1 ? , ? 上单调递增, ? ? a a ? ?
m ,m ? R . x x 零点的个数; 3

(2014 陕西文数)21. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ln x ?

(1)当 m ? e (e 为自然对数的底数)时,求 f ( x) 的极小值; (2)讨论函数 g ( x) ? f ?( x) ? (3)若对任意 b ? a ? 0 ,

f (b) ? f (a) ? 1 恒成立,求 m 的取值范围. b?a

解: (1)当 m ? e 时, f ? x ? ? ln x ?

x?e e 则 f ? ? x ? ? 2 ,所以当 x ? ? 0,e ? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? 0,e ? 上单 x x

调递减;当 x ? ? e,+?? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? e, +? ? 上单调递增.所以当 x ? e 时, f ? x ? 取得极小值

e ? 2 , f ? x ? 所以的极小值为 2. e x 1 m x 1 3 (2)由题设知, g ? x ? ? f ? ? x ? ? ? ? 2 ? ? x ? 0 ? ,令 g ? x ? ? 0 ,得 m ? ? x ? x ? x ? 0 ? .设 3 x x 3 3 1 3 2 ? ? x ? ? ? x ? x ? x …0 ? , 则 ?? ? x ? ?? x ? 当 x ??0 所以 ? ? x ? 在 ? 0,1? ?? 1 ? x x 1 ?, 1 , ? 时, ?? ? x ? ? 0 , ? 1? ?? 3 f ? e ? ? ln e ?
8

上单调递增;当 x ? ?1, ?? ? 时,?? ? x ? ? 0 ,所以 ? ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减.所以 x ? 1 是 ? ? x ? 的唯一极值点, 且是极大值点, 因此 x ? 1 也是 ? ? x ? 的最大值点, 所以 ? ? x ? 的最大值为 ? ?1? ? 的图像(如图) ,可知

2 . 又 ? ? 0? ? 0 , 结合 y ? ? ? x ? 3

2 时,函数 g ? x ? 无零点; 3 2 ②当 m ? 时,函数 g ? x ? 有且只有一个零点; 3 2 ③当 0 ? m ? 时,函数 g ? x ? 有两个零点; 3
①当 m ? ④当 m ? 0 时,函数 g ? x ? 有且只有一个零点. 综上所述,当 m ? 当m ?

2 时,函数 g ? x ? 无零点; 3

2 2 或 m ? 0 时,函数 g ? x ? 有且只有一个零点;当 0 ? m ? 时,函数 g ? x ? 有两个零点. 3 3

(3)对任意的 b ? a ? 0 , 设 h ? x ? ? f ? x ? ? x ? ln x ?

f ?b? ? f ? a ? ? 1 恒成立,等价于 f ?b? ? b ? f ? a ? ? a 恒成立. ?*? b?a
m ? x ? x ? 0 ? ,所以 ?*? 等价于 h ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递减.由 x
2

1 m 1 1? 1 ? h? ? x ? ? ? 2 ? 1 ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立,得 m …? x2 ? x ? ? ? x ? ? ? ? x ? 0 ? 恒成立,所以 m … (对 x x 4 2? 4 ? m? 1 1 ?1 ? , h? ? x ? ? 0 仅在 x ? 时成立) ,所以 m 的取值范围是 ? , ?? ? . 2 4 ?4 ?
x 2

(2014 四川文数)21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? e ? ax ? bx ?1 ,其中 a, b ? R , e ? 2.71828 ??? 为自然对数的底数. (1)设 g ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数,求函数 g ? x ? 在区间 ?0,1? 上的最小值; (2)若 f ?1? ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 0,1? 内有零点,求证: e ? 2 ? a ? 1 . 解:(1)由 f ? x ? ? ex ? ax2 ? bx ?1,有 g ? x ? ? f ? ? x ? ? ex ? 2ax ? b .所以 g? ? x ? ? ex ? 2a . 因此,当 x ??0,1? 时, g? ? x ? ??1 ? 2a,e ? 2a? .当 a ? 因此 g ? x ? 在 ?0,1? 上的最小值是 g ? 0? ? 1 ? b ; 当 a … 时, g? ? x ? ? 0 ,所以 g ? x ? 在 ?0,1? 上单调递减.因此 g ? x ? 在 ?0,1? 上的最小值是 g ?1? ? e ? 2a ? b ; 当

1 时, g? ? x ? …0 ,所以 g ? x ? 在 ?0,1? 上单调递增. 2

e 2

1 e ? a ? 时,令 g? ? x ?= ? 0 ,得 x ? ln ? 2a ? ??0,1? .所以函数 g ? x ? 在区间 ? ?0, ln ? 2a ? ? ? 上单调递减,在区间 2 2

? ln ? 2a ? ,1? ? 上单调递增.于是, g ? x ? 在 ?0,1? 上的最小值是 g ? ln ? 2a ?? ? 2a ? 2a ln ? 2a ? ? b .
综上所述,当 a ? 当

1 时, g ? x ? 在 ?0,1? 上的最小值是 g ? 0? ? 1 ? b ; 2

1 e ? a ? 时, g ? x ? 在 ?0,1? 上的最小值是 g ? ln ? 2a ?? ? 2a ? 2a ln ? 2a ? ? b ; 2 2
9

当 a … 时, g ? x ? 在 ?0,1? 上的最小值是 g ?1? ? e ? 2a ? b . (2)设 x0 为 f ? x ? 在区间 ? 0,1? 内的一个零点,则由 f ? 0? ? f ? x0 ? ? 0 可知, f ? x ? 在区间 ? 0, x0 ? 上不可能单 调递增,也不可能单调递减.则 g ? x ? 不可能恒为正,也不可能恒为负.故 g ? x ? 在区间 ? 0, x0 ? 内存在零点 x1 . 同理 g ? x ? 在 ? x0 ,1? 区间内存在零点 x2 .所以 g ? x ? 在区间 ? 0,1? 内至少有两个零点.

e 2

1 时, g ? x ? 在 ?0,1? 上单调递增,故 g ? x ? 在 ? 0,1? 内至多有一个零点. 2 e 1 e 当 a … 时, g ? x ? 在 ?0,1? 上单调递减,故 g ? x ? 在 ? 0,1? 内至多有一个零点.所以 ? a ? . 2 2 2
由(1)知,当 a ? 此时 g ? x ? 在区间 ? ?0, ln ? 2a ? ? ? 上单调递减,在区间 ln ? 2a ? ,1? ? 上单调递增. 因此 x1 ? 0, ln ? 2a ? ? ? , x2 ? ln ? 2a ? ,1 ,必有 g ? 0? ? 1 ? b ? 0 , g ?1? ? e ? 2a ? b ? 0 . 由 f ?1? ? 0 ,有 a ? b ? e ? 1 ? 2 ,有 g ? 0? ? 1 ? b ? a ? e ? 2 ? 0 ,

?

?

?

?

g ?1? ? e ? 2a ? b ? 1? a ? 0 .解得 e ? 2 ? a ? 1 .所以函数 f ? x ? 在区间 ? 0,1? 内有零点时, e ? 2 ? a ? 1 .
2 (2014 天津文数)19. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x ?

2 3 ax ? a ? 0 ? , x ? R . 3

(1)求 f ? x ? 的单调区间和极值; (2)若对于任意的 x1 ? ? 2, ??? ,都存在 x2 ? ?1, ??? ,使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 1,求 a 的取值范围. 解: (1)求导 f ' ? x ? ? 2x ? 2ax 2 ? 2x ?1 ? ax ? , x ? R .因为 a ? 0 ,令 f ' ? x ? ? 0 ,即 2 x ?1 ? ax ? ? 0 ,解得

x1 ? 0 , x2 ?

1 . x 、 f ' ? x ? 、 f ? x ? 的变化如下表: a

x

? ??,0?
?

0

? 1? ? 0, ? ? a?

1 a

?1 ? ? , ?? ? ?a ?
0

f ' ? x?
f ? x?

0
极小值

?

?
极大值

所以 f ? x ? 的单调递减区间为 ? ??,0? , ?

?1 ? ? 1? , ?? ? ,单调递增区间为 ? 0, ? . ?a ? ? a?
1 时, f ? x ? 取得极大值为 a

当 x ? 0 时, f ? x ? 取得极小值为 f ?0? ? 0 ,当 x ?

2 1 ?1? 1 f ? ?? 2 ? 2 ? 2 . 3a ? a ? a 3a

(2)因为对于任意的 x1 ? ? 2, ??? ,都存在 x2 ? ?1, ??? ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 , 所以任意的 x1 ? ? 2, ??? ,f ? x1 ? 都不能为 0 , 结合 (1) 可知,f ? x ? 在 ?
10

1 ?1 ? 且 f ? x1 ? ? 2 ? 0 , , ?? ? 上单调递减, 3a ?a ?

故 2≥

1 1 16 3 a≤0 ,解得 a≥ .此时 f ? x2 ? ? 且 f ? 2? ≤0 ,即 4 ? ? ? ??,0? . a 3 4 f ? x1 ?

对任意的 x1 ? ? 2, ??? ,都存在 x2 ? ?1, ??? ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ,需使得 ? ??,0 ? ? y y ? f ? x ? , x ? 1 , 即 f ?1? ? 1 ?

?

?

2 3 3 ? 3 3? a≥ ,解得 a≤ .综上,实数 a 的取值范围是 ? , ? . 2 3 4 ?4 2?

1? a 2 x ? bx ? a ? 1? ,曲线 2 a (1)求 b ; (2)若存在 x0 ? 1, 使得 f ? x0 ? ? ,求 a 取值范围. y ? f ? x ? 在点?1 ,f ?1?? 处的切线斜率为 0. a ?1 a 解: (1) f ? ? x ? ? ? ?1 ? a ? x ? b .由题设知 f ? ?1? ? 0 ,解得 b ? 1 . x 1? a 2 x ? x, (2) f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? ,由(1)知 f ? ? x ? ? a ln x ? 2
(2014 新课标 1 文数)21. (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? a ln x ?

f ?? x? ?

a 1? a ? a ? ? ?1 ? a ? x ? 1 ? ?x? ? ? x ? 1? . x x ? 1? a ?

1 a ? 1 ,故当 x ? ?1, ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增. ,则 2 1? a a a 1? a a ?1 ? 1 ,使得 f ? x0 ? ? 所以存在 x0 … 充要条件为 f ?1? ? , 即 ,解得 ? 2 ?1 ? a ? 2 ?1 . a ?1 a ?1 2 a ?1
(i)若 a ? (ii)若

1 a ? a ? ? a ? ? a ? 1 ,则 ? 1 ,故当 x ? ?1, 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 . ? 2 1? a ? 1? a ? ? 1? a ?

a a ? ? ? a ? 1 ,使得 f ? x0 ? ? 的充要条 , ?? ? 上单调递增.所以,存在 x0 … f ? x ? 在 ? 1, ? 上单调递减,在 ? a ?1 ? 1? a ? ? 1? a ?
件为 f ?

a ? a ? .而 ?? ? a ?1 ? a ?1

a a2 a a ? a ? ,所以不符合题意. f? ? a ln ? ? ? ? 1 ? a 2 ?1 ? a ? a ? 1 a ? 1 ? a ?1 ?

(iii)若 a ? 1 ,则 f ?1? ?

综上, a 的取值范围是 ? 2 ? 1, 2 ? 1

?

1? a ?a ? 1 a ?1 ? ? . 2 2 a ?1

?

?1, ?? ? .
3 2

(2014 新课标 2 文数)21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x ? 3x ? ax ? 2 ,曲线 y ? f ( x) 在点 ? 0,2 ? 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ?2 . (1)求 a ; (2)求证:当 k ? 1 时,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有 一个交点. 解: (1) f ? ? x ? ? 3x2 ? 6x ? a , f ? ? 0? ? a ,曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0, 2 ? 处的切线方程为 y ? ax ? 2 . 由题设得 ?

2 ? ?2 ,所以 a ? 1 . a

(2)由(1)知, f ? x ? ? x3 ? 3x2 ? ax ? 2 .设 g ? x ? ? f ? x ? ? kx ? 2 ? x3 ? 3x2 ? ?1? k ? x ? 4 .

11

由题设知 1 ? k ? 0 .当 x ? 0 时, g' ? x ? ? 3x2 ? 6x ? 1 ? k ? 0 , g ? x ? 单调递增,g ? ?1? ? k ?1 ? 0 ,g ? 0? ? 4 , 所以 g ? x ? ? 0 在 ? ??, 0? 上有唯一实根.当 x ? 0 时,令 h ? x ? ? x3 ? 3x2 ? 4 , 则 g ? x ? ? h ? x ? ? ?1 ? k ? x ? h ? x ? . h' ? x ? ? 3x2 ? 6x ? 3x ? x ? 2? , h ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上单调递减,在 ? 2, ??? 上 单调递增,所以 g ? x ? ? h ? x ? …h ? 2? ? 0 .所以 g ? x ? ? 0 在 ? 0, ?? ? 上没有实根. 综上, g ? x ? ? 0 在 R 上有唯一实根,即曲线 y ? f ? x ? 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点. (2014 浙江文数)21.函数 f ? x ? ? x3 ? 3 x ? a ? a ? 0? ,若 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上的最小值记为 g ? a ? . (1)求 g ? a ? ; (2)求证:当 x ? ? ?1,1? 时,恒有 f ? x ?? g ? a ? ? 4 . 解: (1)因为 a ? 0 , ?1 剟x

1,

所以(i)当 0 ? a ? 1 时,若 x ?? ?1, a? ,则 f ? x ? ? x3 ? 3x ? 3a ,则 f ? ? x ? ? 3x2 ? 3 ? 0 , 故 f ? x ? 在 ? ?1, a ? 上是减函数;若 x ?? ?1, a? ,则 f ? x ? ? x3 ? 3x ? 3a , f ? ? x ? ? 3x2 ? 3 ? 0 , 故 f ? x ? 在 ? a,1? 上是增函数.所以 g ? a ? ? f ? a ? ? a3 .
3 2 (ii)当 a …1 时,有 x ? a ,则 f ? x ? ? x ? 3x ? 3a , f ? ? x ? ? 3x ? 3 ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上是减函数,

? a 3 , 0 ? a ? 1, g a = g a ? f 1 ? ? 2 ? 3 a 所以 ? ? .综上, ? ? ? ?? ? ?2 ? 3a, a …1.
(2)令 h ? x ? ? f ? x ? ? g ?a ? . (i)当 0 ? a ? 1 时, g ? a ? ? a3 ,若 x ?? a,1? , h ? x ? ? x3 ? 3x ? 3a ? a3 ,得 h? ? x ? ? 3x2 ? 3 ,则 h ? x ? 在 ? a,1? 上是增函数.所以, h ? x ? 在 ? a,1? 上的最大值是 h ?1? ? 4 ? 3a ? a3 ,且 0 ? a ? 1 ,所以 h ?1? ? 4 . 故 f ? x ? ? g ? a ? ? 4 ;若 x ?? ?1, a? , h ? x ? ? x3 ? 3x ? 3a ? a3 ,得 h? ? x ? ? 3x2 ? 3 ,则 h ? x ? 在 ? ?1, a ? 上是减 函数, 所以 h ? x ? 在 ? ?1, a? 上的最大值是 h ? ?1? ? 2 ? 3a ? a3 . 令 t ? a ? ? 2 ? 3a ? a2 , 知 t ?a? t? ? x ? ? 3 ? 3a2 ? 0 , 在 ? 0,1? 上是增函数.所以, t ? a ? ? t ?1? ? 4 ,即 h ? ?1? ? 4 .故 f ? x ? ? g ? a ? ? 4 . (ii)当 a …1 时, g ? a ? ? ?2 ? 3a ,故 h ? x ? ? x3 ? 3x ? 2 ,得 h? ? x ? ? 3x2 ? 3 , 此时 h ? x ? 在 ? ?1,1? 上是减函数,因此 h ? x ? 在 ??1,1? 上的最大值是 h ? ?1? ? 4 .故 f ? x ? ? g ? a ? ? 4x . 综上,当 x ?? ?1,1? 时,恒有 f ? x ? ? g ? a ? ? 4 . (2014 重庆文数)19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? 点 (1,f (1)) 处的切线垂直于直线 y ?

x a 3 ? ? ln x ? ,其中 a ? R ,且曲线 y ? f ( x) 在 4 x 2

1 x. (1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间和极值. 2
12

1 a 1 ? ? , 4 x2 x 1 3 5 由 f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线垂直于直线 y ? x 知 f ? ?1? ? ? ? a ? ?2 ,解得 a ? . 2 4 4
解:(1)对 f ? x ? 求导得 f ? ? x ? ? (2) 由 (1) 知 f ? x? ?

x 5 3 x2 ? 4 x ? 5 ? ? ln x ? , 则 f ?? x? ? , 令 f ? ? x? ? 0 , 解得 x ? ?1 或 x ? 5 . 因 x ? ?1 4 4x 2 4 x2

不在 f ? x ? 的定义域 ? 0, ?? ? 内, 故舍去. 当 x ? ? 0,5? 时,f ? ? x ? ? 0 , 故 f ? x ? 在 ? 0,5? 内为减函数; 当 x ? ?5, ??? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 5, ?? ? 内为增函数.由此知函数 f ? x ? 在 x ? 5 时取得极小值 f ?5? ? ? ln5 .

13


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