高三数学一轮复习专练:7.7数学归纳法

双基限时练? 巩固双基,提升能力 一、选择题 1.对于不等式 n2+n<n+1(n∈N*),某学生采用数学归纳法证 明过程如下: (1)当 n=1 时, 12+1<1+1,不等式成立. (2)假设 n=k(k∈N*)时,不等式成立,即 k2+k<k+1,则 n=k +1 时, ?k+1?2+?k+1?= k2+3k+2 < ?k2+3k+2?+?k+2? = ?k+2?2=(k+1)+1. ∴当 n=k+1 时,不等式成立. 上述证法( ) A.过程全部正确 B.n=1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 解析:n=1 的验证及归纳假设都正确,但从 n=k 到 n=k+1 的 推理中没有使用归纳假设,而是通过不等式的放缩法直接证明,不符 合数学归纳法的证题要求. 答案:D 2.用数学归纳法证明等式 1+3+5+?+(2n+1)=(n+1)2(n∈ N*)的过程中,第二步假设 n=k 时等式成立,则当 n=k+1 时应得到 ( ) A.1+3+5+?+(2k+1)=k2 B.1+3+5+?+(2k+3)=(k+2)2 C.1+3+5+?+(2k+1)=(k+2)2 D.1+3+5+?+(2k+3)=(k+3)2 解析:∵n=k+1 时, 等式左边= 1+ 3 +5 +?+ (2k +1) + (2k + 3)= (k +1)2 + (2k + 3) =(k+2)2. 答案:B 3.某个命题与自然数 n 有关,若 n=k(k∈N*)时命题成立,那么 可推得当 n=k+1 时该命题也成立.现已知当 n=5 时,该命题不成 立,那么可推得( ) A.当 n=6 时,该命题不成立 B.当 n=6 时,该命题成立 C.当 n=4 时,该命题不成立 D.当 n=4 时,该命题成立 解析:因为当 n=k 时命题成立可推出 n=k+1 时成立,所以 n =5 时命题不成立,则 n=4 时命题也一定不成立. 答案:C 4.已知 1+2×3+3×32+4×33+?+n×3n-1=3n(na-b)+c 对 一切 n∈N*都成立,则 a、b、c 的值为( 1 1 A.a=2,b=c=4 1 C.a=0,b=c=4 ) 1 B.a=b=c=4 D.不存在这样的 a、b、c 解析:∵等式对一切 n∈N*均成立, ∴n=1,2,3 时等式成立. 1=3?a-b?+c, ? ? 2 即?1+2×3=3 ?2a-b?+c, ? ?1+2×3+3×32=33?3a-b?+c, 3a-3b+c=1, ? ? 整理得?18a-9b+c=7, ? ?81a-27b+c=34, 答案:A 1 5.在数列{an}中,a1=3,且 Sn=n(2n-1)an,通过求 a2,a3,a4, 猜想 an 的表达式为( 1 A. ?n-1??n+1? 1 C. ?2n-1??2n+1? ) 1 B. 2n?2n+1? 1 D. ?2n+1??2n+2? 1 1 解得 a=2,b=c=4. 1 解析:由 a1=3,Sn=n(2n-1)an, 得 S2=2(2×2-1)a2,即 a1+a2=6a2. 1 1 1 1 ∴a2=15= ,S3=3(2×3-1)a3,即3+15+a3=15a3. 3×5 1 1 1 ∴a3=35= ,同理可得 a4= . 5×7 7×9 答案:C 6.设 f(x)是定义在正整数集上的函数,且 f(x)满足:“当 f(k)≥k2 成立时,总可推出 f(k+1)≥(k+1)2 成立”.那么,下列命题总成立 的是( ) A.若 f(3)≥9 成立,则当 k≥1 时,均有 f(k)≥k2 成立 B.若 f(5)≥25 成立,则当 k≤5 时,均有 f(k)≥k2 成立 C.若 f(7)<49 成立,则当 k≥8 时,均有 f(k)<k2 成立 D.若 f(4)=25 成立,则当 k≥4 时,均有 f(k)≥k2 成立 解析: 对于 A, f(3)≥9, 加上题设可推出当 k≥3 时, 均有 f(k)≥k2 成立,故 A 错误. 对于 B,逆推到比 5 小的正整数,与题设不符,故 B 错误.C 显 然错误. 对于 D,f(4)=25≥42,由题设的递推关系,可知结论成立. 答案:D 二、填空题 7.若 f(n)=12+22+32+?+(2n)2,则 f(k+1)与 f(k)的递推关系 是__________. 解析:∵f(k)=12+22+?+(2k)2, f(k+1)=12+22+?+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2, ∴f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2. 答案:f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2 8.在数列{an}中,a1=1,且 Sn,Sn+1,2S1 成等差数列(Sn 表示数 列{an}的前 n 项和),则 S2,S3,S4 分别为__________,由此猜想 Sn =__________. 解析:由 Sn,Sn+1,2S1 成等差数列,得 2Sn+1=Sn+2S1, ∵S1=a1=1,∴2Sn+1=Sn+2. 3 令 n=1,则 2S2=S1+2=1+2=3,∴S2=2. 同理,分别令 n=2,n=3, 7 15 可求得 S3=4,S4= 8 . 2 3 21-1 3 2 -1 7 2 -1 由 S1=1= 20 ,S2=2= 21 ,S3=4= 22 , 4 2n-1 15 2 -1 S4= 8 = 23 ,猜想 Sn= n-1 . 2 n 3 7 15 2 -1 答案:2,4, 8 2n-1 9.下面三个判断中,正确的是__________. ①f(n)=1+k+k2+?+kn(n∈N*), 当 n=1 时,f(n)=1; 1 1 1 ②f(n)=1+2+3+?+ (n∈N*), 2n+1 1 1 当 n=1 时,f(n)=1+2+3; 1 1 1 ③f(n)= + +?+ (n∈N*), n+1 n+2 3n+1

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