广西南宁市2015届高三第二次适应性测试考试数学(理)试题

2015 年南宁市高中毕业班第二次适应性测试 理科数学
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分共 60 分。 1 1.已知全集为 R,集合 A={x|x2+5x-6≥0},B={x|x≤ 或 x>8}, 2 则 A∩(?RB)等于 (A)[6,8) (B)[3,8] (C)[3,8) (D)[1,8]
a=1 开始

2.设 i 是虚数单位,? z 是复数 z 的共轭复数,若(1-i)? z =2,则 z 为 (A)1+i (B)1-i (C)2+i (C)2-i

2 3.(x- )5 的展开式中,x 的系数为 x (A)40 (B)-40 (C)80 (D)-80


a=4a+1

a<500 否

4.如图所示的程序框图,其输出结果是 (A)341
2

(B)1364

(C)1365

(D)1366

x y2 5.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 4x-3y+1= a b
0 垂直,则双曲线的两条渐近线方程为 3 (A)y=± x 4 4 (B)y=± x 3 3 (C)y=± x 5 5 (D)y=± x 4

输出 a

结束

?y-1≥0 ? 6.已知实数 x,y 满足?2x-y-1≥0 ,若 x-y 的最小值为-2,则实数 m 的值为 ? ?x+y-m≤0
(A)0 (B)2 (C)4 (D)8 π 7.设△ABC 的内角 A、B、C 所对边长分别为 a、b、c,若 c2=(a-b)2+6,C= ,则△ABC 的面积 3 是 (A)3 9 3 (B) 2 3 3 (C) 2 (D)3 3

8.设抛物线 C:y=x2 与直线 l:y=1 围成的封闭图形记为 P,则图形 P 的面积 S 等于 (A)1 1 (B) 3 2 (C) 3 4 (D) 3

1 9.函数 f(x)= (1+cos2x)sin2x,x∈R 是 2 (A)最小正周期为 π 的奇函数 (C)最小正周期为 π 的偶函数 π (B)最小正周期为 的奇函数 2 π (D)最小正周期为 的偶函数 2
1

10.某高校要从 6 名短跑运动员中选出 4 人参加全省大学生运动会 4× 100m 接力赛,其中甲不能跑第 一棒,乙不能跑第四棒,则甲跑第二棒的概率为 (A) 4 15 (B) 2 15 (C) 4 21 1 (D) 5

11.已知右图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面 积为 (A)24π (B)6π (C)4π (D)2π

1 12.设△ABC 的内角 A、B、C 所对边的边长分别为 a、b、c,且 sin2A+sin2B+sin2C= ,面积 S∈ 2 [1,2],则下列不等式一定成立的是 (A)(a+b)>16 2 (C)6≤abc≤12 (B)bc(b+c)>8 (D)12≤abc≤24

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡中的横线上) → → → → → 13.已知向量→ a 、 b 满足|→ a |=| b |=2 且(→ a +2 b )?(→ a - b )=-2,则向量→ a 与 b 的夹角为_____
?-2, x>0 14.已知函数 f(x)=? 2 ,若 f(0)=-2,f(-1)=1,则函数 g(x)=f(x)+x 的零点个数 - x + bx + c,x≤0 ?

为_____________ V1 3 15.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1、S2,体积分别为 V1,V2,若它们的侧面积等且 = ,则 V2 2 S1 的值是_______ S2 16.设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线 y=kx(k>0)与 AB 相交于点 D, 与椭圆相交于 E、F 两点,若ED=6DF,则所 k 的值为_______
?? ??

2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,且 2a1,a3,3a2 成等比数列。 (1) 求等比数列{an}的通项公式;
?1? (2) 若数列{bn}满足 bn=(n+2)log2an,求数列? ?的前 n 项和 Tn. ?bn?

18.(本小题满分 12 分) 为了了解高一学生的体能情况,某校随机抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理 后,画出了频率分布直方图,如图所示,已知次数在[100,110)间的频数为 7,次数在 110 以下(不 含 110)视为不达标,次数在[110,130)视为达标,次数在 130 以上视为优秀。 (1) 求此次抽样的样本总数为多少人? (2) 在样本中, 随机抽取一人调查, 则抽中不达标学生、 达标学生、 优秀学生的概率分别是多少? (3) 将抽样的样本频率视为总体概率,若优秀成绩记为 15 分,达标成绩记为 10 分,不达标记为 5 分,现在从该校高一学生中随机抽取 2 人,他们分值和记为 X,求 X 的分布列和期望。

(19)(本小题满分 12 分) 如图所示多面体中, AD⊥平面 PDC, ABCD 为平行四边形, E 为 AD 的中点, F 为线段 BP 上一点,∠CDP=120° ,AD=3,AP=5,PC=2 7 (1) 试确定点 F 的位置,使得 EF∥平面 PDC; 1 (2) 若 BF= BP,求直线 AF 与平面 PBC 所成的角的正弦值. 3 B

A E F D P

C

3

(20)(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C:y=2x2,直线 l:y=kx+2 交 C 于 A,B 两点,M 是线段 AB 的中点,过 M 作 x 轴的垂线 交 C 于点 N, (1) 证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (2) 是否存在实数 k 使以 AB 为直径的圆 M 经过点 N,若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由.

(21)(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=(1+x)2-2ln(1+x). (1) 若关于 x 的不等式 f(x)-n≥0 在[0,e-1](e 是自然对数底数)上有实数解,求实数 m 的取值范围; (2) 设 g(x)=f(x)-x2-1,若关于 x 的方程 g(x)=p 至少有一个解,求 p 的最小值; 1 1 ?1? (3) 证明不等式 ln(n+1)<1+ + +…+ (n∈N*). 2 3 n

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 AB 为半圆 O 的直径,AB=4,C 为半圆上异于 A、B 的一点,过点 C 答半圆的切线 CD,过点 A 作 AD⊥CD 于 D,交半圆于点 E,且 DE=1, (1) 证明:AC 平分∠BAD; (2) 求 BC 的长。

23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ?x=2cosφ ?x=m+tcosα 已知直线 l:? (t 为参数,α≠kπ,k∈Z)经过椭圆 C:? (φ 为参数)的左焦点 F, y = t sin α ? ?y= 3sinφ (1)求 m 的值; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求|FA|×|FB|的最小值。

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-a|. (1) 若 f(x)≤m 的解集为{x|-1≤x≤5},求实数 a、m 的值; (2) 当 a=2 且 0≤t≤2 时,解关于 x 的不等式 f(x)+t≥f(x+2)

4

2015 年南宁市高中毕业班第二次适应性测试(理科数学)参考答案
题号 答案 π 13. 3 14.3 1 D 2 B 9 15. 4 3 A 4 C 5 A 6 D 7 C 8 D 9 D 10 C 11 B 12 B

2 ?3? 16.k= 或 3 8

10.某高校要从 6 名短跑运动员中选出 4 人参加全省大学生运动会 4× 100m 接力赛,其中甲不能跑第 一棒,乙不能跑第四棒的跑法: 问题分成二类(棒选人,按第一棒是否选乙分两类): 3 ①乙跑第一棒,乙跑第一棒有 A1 4A5=60 种方法; 1 2 ②乙不跑第一棒有 A1 4A4A4=192 种方法. 3 1 1 2 故共有 A1 4A5+A4A4A4=252 种 2 甲跑第二棒的方法:C1 4A4=48 ∴甲跑第二棒的概率为 P= 48 4 = 252 21

12 提示:sin2A+sin2B+sin2C=sin2A+sin2B-sin(2A+2B) =sin2A+sin2B-sin2Acos2B-cos2Asin2B =2sin2A(1-cos2B)+sin2B(1-cos2A) 1 ==4sinAsinB(cosAsinB+cosBsinA)=4sinAsinBsinC= 2 1 1 1 即 sinAsinBsinC= ,又 S= absinC= × 2RsinA× 2RsinB× sinC 8 2 2 1 R2 =2R2× = ∈[1,2],则 4≤R2≤8 8 4 b+c b+c b+c (b+c)bc=abc× =8R3sinAsinBsinC× =R3× >R3 恒成立 a a a ∴(b+c)bc>8 x2 16.解:依题意设椭圆的方程为 +y2=1,直线 AB,EF 的方程分别为 x+2y=2,y=kx(k>0), 4 如图,设 D(x0,kx0),E(x1,y1),F(x2,y2),其中 x1<x2,且 x1,x2 满足方程(1+4k2)x2=4 2 故 x2=-x1= ,① 1+4k2 由ED=6DF知 x0-x1=6(x2-x0), 1 5 10 得 x0= (6x2+x1)= x2= ; 7 7 7 1+4k2 由 D 在 AB 上知 x0+2kx0=2 得 x0= 2 2 10 ,∴ = 1+2k 1+2k 7 1+4k2
?? ??

2 ?3? 化简得 24k2-25k+6=0,解得 k= 或 k= 3 8
5

(17)(本小题满分 12 分)解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为 q, ∵2a1,a3,3a2 成等差数列,∴2a1+3a2=2a3……………………1 分 2a1+3a1q=2a1q2…………………………..2 分 1 2q2-3q-2=0,解得 q=2 或 q=- ……………………3 分 2 ∵q>0∴q=2……………………………………………..4 分 ∵a1=2 - ∴数列{an}的通项公式 an=a1qn 1……………………….5 分 =2n,n∈N………………………6 分 (Ⅱ)∵bn=(n+2)log2an=n(n+2)……………………….7 分 1 1 1 ?1? 1 ∴ = = ( - )………………………….9 分 bn n(n+2) 2 n n+2 1 1 1 1 Tn= + +…+ + b1 b2 bn-1 bn 1 1 1 1 1 1 1 ?1? 1 1 ?1? 1 = [(1- )+( - )+( - )+…+( - )+( - )+( - )……………10 分 2 3 2 4 3 5 n n+2 n-2 n n-1 n+1 1 1 1 1 = (1+ - - )…………………….11 分 2 2 n+1 n+2 2n+3 3 = - 2 ……………………………..12 分 4 2(n +3n+2) (18)(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设样本总数为 n ∵由频率分布直方图可知:次数在[100,110)间的频率为 0.014× 10=0.14………………1 分 7 ∴ =0.14,解得 n=50 人……………………………2 分 n (Ⅱ)记抽中不达标学生的事件为 C,抽中达标学生的事件为 B,抽中优秀学生的事件为 A P(C)=0.006× 10+0.014× 10=0.2……………………………………3 分 P(B)=0.028× 10+0.022× 10=0.50…………………………………4 分 P(A)=1-P(B)-P(C)=0.30………………………………………5 分 (Ⅲ)∵在高一年级中随机抽取 2 名学生的成绩和 X=10,15,20,25、30…………6 分 ∴P(X=10)=0.2× 0.2=0.04; P(X=15)=2× 0.2× 0.5=0.2 2 P(X=20)=0.5 +2× 0.2× 0.3=0.37 P(X=25)=2× 0.3× 0.5=0.3 2 P(X=30)=0.3 =0.09[对一个给 1 分,但不超过 4 分]…………………………………10 分 x P 10 0.04 15 0.2 20 0.37 25 0.3 30 0.09

∴E(X)=0.04× 10+0.2× 15+0.37× 20+0.3× 25+0.09× 30………………………………11 分 =21…………………………………………………………………………………12 分 19.(本小题满分 12 分)
6

解(Ⅰ)取 F 为线段 BP 中点,取 PC 的中点为 O,连 FO,DO……………2 分 ∥1BC∴ABCD 为平行四边形,ED∥BC 且 DE=1BC ∵F、O 分别为 BP、PC 的中点,∴FO= 2 2 ∴FO∥ED 且 DE=FO∴四边形 EFOD 是平行四边形…………………3 分 ∴EF∥DO……………………………4 分 ∵EF? / 平面 PDC∴EF∥平面 PDC……………5 分 (Ⅱ)以 DC 为 x 轴,过 D 点作 DC 的垂线为 y 轴,DA 为 z 轴建立空间直角坐标系………6 分 ∵D(0,0,0),C(2,0,0),B(2,0,3),P(-2,2 3,0),A(0,0,3)…………7 分
?? 1?? 4 2 3 2 2 3 ∵设 F(x,y,z), BF =(x-2,y,z-3)= BP =(- , ,-1)∴F( , ,2)………………8 分 3 3 3 3 3 ??

2 2 3 AF =( , ,-1),设平面 PBC 的法向量→ n1 =(a,b,c) 3 3
??

??CB=0 ?3z=0 则?→ ?? ,? ……………………………9 分 ? n1 ?PC=0 ?4x-2 3y=0
3 令 y=1,可得→ n1 =( ,1,0)……………………………………10 分 2
?? → AF ? n1 → cos< AF , n1 >= ?? ……………………………………………………11 分 | AF ||→ n1 | ??



6 21 35

6 21 ∴直线 AF 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ………………………12 分 35 (20)(本小题满分 12 分) (Ⅰ)解法一:设 A(x1,y1),B(x2,y2),把 y=kx+2 代入 y=2x2 得 2x2-kx-2=0 k 得 x1+x2= …………………………1 分 2 x1+x2 k k k2 ∵xN=xM= = ∴N 点的坐标为( , )…………………………2 分 2 4 4 8 ∵y'=4x∴y'|
x= k=k…………………………………………3 4



即抛物在点 N 处的切的斜率为 k…………………………………………4 分 ∵直线 l:y=kx+2 的斜率为 k∴l∥AB…………………………………5 分 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2)把 y=kx+2 代入 y=2x2 得 2x2-kx-2=0 k 得 x1+x2= …………………………1 分 2 x1+x2 k k k2 ∵xN=xM= = ∴N 点的坐标为( , )…………………………2 分 2 4 4 8
7

k2 k 设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 y- =m(x- ) 8 4 mk k2 将 y=2x2 代入上式得 2x2-mx+ - =0……………3 分 4 8 mk k2 ∵直线 l 与抛物线 C 相切,∴?=m2-8( - )=m2-2mk+k2=(m-k)2=0…4 分 4 8 ∴m=k 即 l∥AB………………………………………………………………5 分 (Ⅱ)假设存在实数 k,存在实数 k 使 AB 为直径的圆 M 经过点 N. 1 ∵M 是 AB 的中点,∴|MN|= |AB. 2 1 1 1 由(Ⅰ)知 yM= (y1+y2)= (kx1+2+kx2+2)= [k(x1+x2)+4]= 2 2 2 1 k2 k2 = ( +4)= +2…………………………………………………7 分 2 2 4
2 k2 k2 k +16 ∵MN⊥x 轴∴|MN|=|yM-yN|= +2- = …………………………8 分 4 8 8

………………………1 分(6 分)

∵|AB|= 1+k2× (x1+x2)2-4x1x2……………………………………9 分 = 1+k2 ∵ k 1 ( )2-4× (-1)= k2+1× k2+16………………………10 分 2 2

k2+16 1 2 = k +1× k2+16∴k=±2 8 4 ………………………2 分(12 分)

使存在实数 k=±2 使 AB 为直径的圆 M 经过点 N. 21.解:(Ⅰ)∵f'(x)=2(1+x)-

2 ………………………1 分(1 分) x+1

1 2 ∵当 x≥0 时,1+x≥ ,∴f'(x)=2(1+x)- 在[0,e-1]上有 f'(x)≥0, x+1 x+2 f(x)=(1+x)2-2ln(1+x)在[0,e-1]上单调递增,………………………………………(2 分) f(x)|max=f(e-1)=e2-2………………………………………1 分(3 分) ∵关于 x 的不等式 f(x)-m≥0 在[0,e-1](e 是自然对数底数)上有实数解, ∴f(x)|max≥m,即 m≤e2-2……………………………………1 分(4 分) 1 (Ⅱ)∵g(x)=f(x)-x2-1=2x-2ln(1+x)∴g'(x)=2(1- )……………………1 分(5 分) x+1 ∵g'(x)=2(1- 1 )在(-1,0)上 g'(x)<0,在(0,+∞)上 g'(x)>0………………………1 分(6 分) x+1

g(x)|min=g(0)=0…………………………………………………………………..1 分(7 分) ∵x 的方程 g(x)=p 至少有一个解,∴p≥0,p 最小值为 0. …………………………1 分(8 分) (Ⅲ)证明:∵由(Ⅱ)可知 g(x)≥0 在(-1,+∞)上恒成立, ∴ln(1+x)≤x,当且仅当 x=0 时等号成立. …………………………………1 分(9 分) ?1? ?1? ?1? ?1? ∵令 x= ,n∈N*,x∈(0,1),有 ln(1+ )< ,即 ln(n+1)-lnn< ,………………2 分(10 分) n n n n
8

1 1 ?1 ? ∴取 n=1,2,3,,所得不等式相加得 ln(n+1)<1+ + +…+ (n∈N*)………………….1 分(12 2 3 n 分) 22.解:(Ⅰ)∵CD 为半圆 O 的切线,AD⊥CD, ∴OC∥AE,∠EAC=∠ACO. ……………………2 分(2 分) ∵OC=OA,∴∠ACO=∠OAC. ………………………2 分(4 分) 即 AC 平分∠BAD. ………………………1 分(5 分) (Ⅱ)∵A,B,C,E 共圆,∴∠ABC=∠CED.………………………1 分(6 分) ∵CD 为半圆 O 的切线,∴∠BAC∠ECD.………………………1 分(7 分) ∵△ABC∽△CDE, ………………………1 分(8 分) ∴ BC AB = . DE BC ……………………………………………………………………………1 分(9 分)

∵BC=EC,AB=4,DE=1,∴BC=2.……………………………………1 分(10 分)
?x=2cosφ x2 y2 23.解:(Ⅰ)∵椭圆 C:? 的普通方程为 + =1,………………1 分(1 分) 4 3 ?y= 3sinφ

∴F(-1,0).………………………1 分(2 分)
?x=m+tcosα ∵直线 l:? 的普通方程为 y=tanα(x-m),………………………1 分(3 分). ?y=tsinα

∵α≠kπ,k∈Z∴tanα≠0 ………………………1 分(4 分) ∵0=tanα(-1-m)∴m=-1………………………1 分(5 分)
?x=-1+tcosα x2 y2 (Ⅱ)将直线的参数方程? 代入椭圆 C 的普通方程 + =1,并整理, 4 3 ?y=tsinα

得(3cos2α+4sin2α)t2-6tsosα-9=0………………………1 分(6 分) 设点 A,B 在直线参数方程中对应的参数分别为 t1,t2 ………………………1 分(7 分) 则|FA|×|FB|=|t1t2|……………………………………………………1 分(8 分) 9 9 = 2 ...........................................................1 分(9 分) 3cos2α+4sin2α 3+sin α 9 当 sinα=±1 时|FA|× |FB|最小值为 .………………………………………………..1 分(10 分) 4 24.解:(Ⅰ)∵|x-a|≤m,∴-m+a≤x≤m+a.………………………1 分(1 分) ∵-m+a=-1,m+a=5,………………………1 分(2 分) ∴a=2,m=3………………………………………………………………………2 分(4 分) (Ⅱ)f(x)+t≥f(x+2)化为|x-2|+t≥|x).……………………………..1 分(5 分) t 当 x∈(-∞,0)时,2-x+t≥-x,2+t≥0∵0≤ ≤1∴x∈(-∞,0)…………1 分(6 分) 2 t t 当 x∈[0,2)时,2-x+t≥x,x≤1+ ,0≤x≤1+ , 2 2 t t ∵1≤1+ ≤2∴0≤x≤1+ …………………………………………………1 分(7 分) 2 2 当 x∈[2,+∞)时,x-2+t≥x,t≥2,∵当 0≤t<2 时,∴x∈?;当 t=2 时 x∈[2,+∞)……1 分
9

(8 分) t ∴若 0≤t<2 时原不等式的解集为(-∞, +1];当 t=2 时 x∈[2,+∞)……………………2 分(10 2 分)

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