人教版高中数学必修1至必修5知识点总结

高中数学必修一常用公式及结论 归纳总结
描述法。 且 1、集合的含义与表示 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些 元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性:确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、 描述法格式为:{元素|元素的特征},例如 2、常用数集及其表示方法 (1)自然数集 N(又称非负整数集) :0、1、2、3、?? *(2)正整数集 N 或 N :1、2、3、?? +(3)整数集 Z:-2、-1、0、1、?? (4)有理数集 Q:包含分数、整数、有限小数等 (5)实 数集 R:全体实数的集合 (6)空集 Ф:不含任何元素的集合 3、元素与集合的关系:属于

∈,不属于 例如:a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A,记作 a∈A 4、集合与集合的关系:子集、 真子集、相等 (1)子集的概念 如果集合 A 中的每一个元素都是集合 B 中的元素,那么集合 A 叫做集合 B 的子集(如图 1),记 合 Q 的元素,那么 P 不包含于 Q, (图 或 作或. A,B B或 A 若集合 P 中存在元素不是集 真子集(如图 2). 记作 (2)真子集的概念 若集合 A 是集合 B 的

子集,且 B 中至少有一个元素不属于 A,那么集合 A 叫做集合 B 的 等于集合 B,记作

图 2) (3)集合相等:若集合 A 中的元素与集合 B 中的元素完全相同则称集合 A 、重要结论(1)传递性:若, ,则

(2)空 Ф 集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集 . nnn 2226、含有个元素的集合,它 的子集个数共有 个;真子集有–1 个;非空子集有–1 个(即 n2 不计空集);非空的真子集有–2 个. 7、集合的运算:交集、并集、补集 B (1)一般地,由所有属于 A 又属于 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的交集. 记作 A∩B(读作"A 交 B") ,即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B} . (2) 一般地,对于给定的两个集合 A,B 把它们所有的元素并在一起所组成的集合 ,叫做 A,B 的并

n

集.记作 A∪B(读作"A 并 B") ,即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B} . (3)若 A 是全集 U 的子集,由 U 中不属于 A 的元素 构成的集合, 记作 且 叫做 A 在 U 中的补集,

注:讨论集合的情况时,不要发

遗忘了的情况。 8、映射观点下的函数概念 如果 A,B 都是非空 的数集,那么 A 到 B 的映射 f:A→B 就叫做 A 到 B 的函数,记 作 y=f(x), 其中 x∈A,y∈B.原象的集合 A 叫做函数 y=f(x)的

定义域,象的集合 C ( CB )叫做函数 y=f(x) 的值域 . 函数符号 y=f(x) 表 示 “y 是 x 的 函 数 ” , 有 时 简 记 作 函 数 f(x).

、分段函数:在定义域的不同部分,有不同的 对应法则的函数。如
2

、求函数的定义域的原

则: (解决任何函数问题,必须要考虑其定义域) 1,则 如 分式的分母不为零; 如 则

偶次方根的被开方数大于或等于零; 如 则 如 如 且 则 对数的底数大于0且不等于1; a 对数的真数大于0;

指数为0的底不能为零;,则 11、函数的奇偶性 (1)奇函数满足, 奇函 (2)偶函数满足, 偶函 注:①具有奇偶性的函数,其

(在整个定义域内考虑) 数的图象关于原点对称; 数的图象关于 y 轴对称;

定义域关于原点对称;②若奇函数在原点有定义,则 ③根据奇偶 性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函 数、非奇非偶函数。 12、函数的单调性(在定义域的某个区间 内考虑) 图象从左到右上升; 当时,都有,则在该区间上是增函数, 当时,都有,则在该

区间上是减函数,图象从左到右下降。 1212f(x)f(x)函数在某区 间上是增函数或减函数,那么说在该区间具有单调性,该区间 叫做单调(增/减)区间
2 2

、一元二次方程 (1)求根公式:(2)判别式:

(3)时方程有两个不等实根;时方程有 一个实根;时方程无实根。 (4)根与系数的





——









:



12 、二次函数:

一般式; 两根式 12 y b2 对称轴方程为:x=; ;

(1)顶点坐标为(2) 2a2a4a 0 2

(3)当时,图象是开口向上的抛物线, 在 x=处取得最小值 象是开口向下的抛物线,在 x=处取得最大值 ( 4 )二次函数图象与轴的交点个数和判别式的关系: 时,有两个交点;时,有一个交点 (即顶点) ;时,无交点。 15 、 函 数 的 零 点 当时,图

x
如是函数的一个零点。 零点
x

使的实数叫做函数的零点。例 注:函数有 方程有实根

函数的图象与轴有交点

、 函 数 零 点 的 判 定 : 如果函数在区间上的图象是连续

不 断 的 一 条 曲 线 , 并 且 有 。 那 使得 区间内有零点,即存在。 分数指数幂 (,且) (1).如;(2).如; ( 3) ; mn3mxa 数时, ; 当为偶数时, (4)当为奇 、有 m3nn 么,函数在 、





















) (3)

(1) ;

(2) ;

、指数函数(且) ,其中是自变量, 叫做底数,定义域是 R 图 1 象 x 1 0 x 0 (1)定义域:R 性

(2)值域: (0,+∞)

质 (3)过定点(0,1) ,即

x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函 数
b

、若,则叫做以

为底的对数。记作: (, )a 3 aN 其 中 , 叫 做 对 数 的 底 数 , 叫 做 对 数 的 真 数 。 注:指数式与对数式的 互化公式: a21、对数的性质 没有对数,即中; 即 底数的对数等于 1,即 ; (1)零和负数 (2)1 的对数等于 0, 、常用

对 数 : 以 10 为 底 的 对 数 叫 做 常 用 对 数 , 记 为 : 自然对数:以 e(e=2.71828?)为底的对数 叫做自然对数,记为: 、对数恒等式: a24、

对 数 的 运 算 性 质 ( a > 0 , a≠1 , M > 0 , N > 0 )

(注意公式的逆用) 、对数的换底 公式 (,且,,且,). alogamn1 推论①或;

②. am

、对数函数

(,且) :其中,是自变量,叫做底数,定义域是 a 图像 x 1 0 x 1 0

定义域:(0, ∞) 值域:R 性质 过定点(1,0) 增函数 减 函数 0<x<1 时,y<0 0<x<1 时,y>0 取值范围 y>0 x>1 时, x>1 时,

、指数函数与对数

函数互为反函数;它们图象关于直线对称. a1 、幂函数() ,其中是自

变量。要求掌握这五种情况(如下图) 2 4
、幂函数的性质及图象变化规律: (Ⅰ)所有幂函 数 在 ( 0 , +∞ ) 都 有 定 义 , 并 且 图 象 都 过 点 ( 1 , 1 ) ; (Ⅱ)当时,幂函数的图象都通过原点,并且在 区间上是增函数. 区间上是减函数.
1 1-22-22

(Ⅲ)当时,幂函数的图象在 2
-1-12-2 3 3 222 1

11

1

-2-2

-1-3

必修 2

32a

、边长 锥体

为的等边三角形面积 正 体积: V=Sh 柱底锥底 3423

=Sh31、柱体体积: ,

球表面积公式: , 球 332、四个公理:

球体积公式: (上述四个公式不要求记忆)

① 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平 面内。 ② 过不在一条直线上的三点,有且仅有一个平面。 ③ 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且仅有一条 过该点的公共直线。 ④ 平行于同一直线的两条直线平行(平

行的传递性) 。 33、等角定理:

1

2 3 空间中如果两个角的

两边对应平行,那么这两个角相等或互补 (如图) (在同一平面 内,没有公共点) : 平行 共面直线 、两条直线的位 异面

置关系: 相交(在同一平面内,有一个公共点) : 直线

: (不同在任何一个平面内的两条直线,没有公共点)

直线与平面的位置关系: (1)直线在平面上; (2)直线在 平面外(包括直线与平面平行,直线与平面相交) 两个平面的 位置关系: (1)两个平面平行; (2)两个平面相交 35、直线与 平面平行: 定义 一条直线与一个平面没有公共点,则这条直线 与这个平面平行。 判定 平面外一条直线与此平面内的一直线平 行,则该直线与此平面平行。 性质 一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 36、 平面与平面平行: 定义 两个平面没有公共点,则这两平面平行。 判定 若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两 个平面平 行。 5

性质 ① 如果两个平面平行,则其中一个面内的任一 直线与另一个平面平行。 ② 如果两个平行平面同时

与第三个平面相交,那么它们交线平行。 37、直线与平 面垂直: 定义 如果一条直线与一个平面内的任一直

线都垂直,则这条直线与这个平面垂直。 判定 一条直 线与一个平面内的两相交直线垂直,则这条直线与这个 平面垂直。 性质 ①垂直于同一平面的两条直线平行。

②两平行直线中的一条与一个平面垂直,则另一条也与 这个平面垂直。 38、平面与平面垂直: 定义 两个平行 相交,如果它们所成的二面角是直二面角,则这两个平 面垂直。 判定 一个平面过另一个平面的垂线,则这两 个平面垂直。 性质 两个平面垂直,则一个平面内垂直 于交线的直线与另一个平面垂直。 39、三角形的五“心” (1)为的外心(各边垂直平分线的交点) .外心 到三个顶点的距离相等 (2)为的重心(各边中 ( 3)

线的交点).重心将中线分成 2:1 的两段 为的垂心(各边高的交点)

( 4 )为的内心

(各内角平分线的交点). 内心到三边的距离相等 ( 5)为的的旁心(各外角平分线的交点) . 40、直线的斜率: 过 两 点 的 直 线 , 斜 率 , ( )

(2)已知倾斜角为 的直线,斜率( 的切线,其斜率 关系:已知两直线,则 (3)曲线在点(处 、直线位置 且 特殊情况: (1)当都不存在时, ; (2)当不存在而时, 1212121242、 直线的五种方程 : 线过点,斜率为). 点斜式(直 斜截式 (直

线在轴上的截距为,斜率为 ③两点式 (直线过两点与). ④截距式 (分别是直线在轴和轴上的截距,均不为 0)
ya,bx

一般式(其中 A、

B 不同时为 0);可化为斜截式: BB 6

22(

)

(

)A(x,y),B(x,y)43 、 ( 1)平面

上 两 点 间 的 距 离 公 式 : |AB|= 12121122 222( ) ( ) ( )A(x,y,z),B(x,y,z) ( 2 ) 空 间 两 点 距 离 公 式 |AB|= 121212111222| |00P(x,y) l 0(3)点到直线的距离(点,直线:).
0022 12 A 0A 044



两条平行直线与间的距离公式: 1222 mA 0A 0 注: 求直线的平行线,可设平行线为,求出 即得。 A 0 、求两相交直 线 与 的 交 点 : 解 方 程 组 A 0A 0111 111222Ax 0 22246 、 圆 的 方 程 : 222r( ) ( ) (a,b) ①圆的标准方 程 . 其 中 圆 心 为 , 半 径 为

②圆的一般方程. 22 4FDE22( , ) 其 中 圆 心 为 , 半 径 为 , 其 中 > 0 222222( ) ( ) 047 、 直线与圆的位置关系 相离 0 (1); d 相切 0 其中是圆心到直线的距离,且 ( 2 ) ; 22 相交 0(3). 22|AB| 2 (x,y),B(x,y)48 、直线与圆相 交于两点,求弦 AB 长度的公式: ( 1) 1122 22|AB| 1 ( ) 4xxk(2) (结合 韦达定理使用) ,其中是直线的斜率 1212 、两个圆的位置关系:设两圆的 圆心分别为 O , O ,半径分别为 r , r , 121212 外 离 4 条 公 切 线 外切 3 条公切线 1); 2 ); 1212 相交 2 条公切线 内切 1 条公切线 3 ) ; 4 ) ; 121212 0 内含 无公切线 5) 12 必修③公式表 50、算法:是指可以用 计算机来解决的某一类问题是程序或步 骤,这些程序或步骤必须是明确和有效
22 0

的,而且能够在有限步之内完成. 序框图及结构 程序框 名称 功能 7
表示一个算法的起始和结束,是任何流程图不起止框 出的信息,可用在算法 输入、输出框 中任何需要输入、输出的位置。 一条件是否成立,成立时在出口处标明判断框

51、程

可少的。 表示一个算法输入和输 赋值、计算,算法 判断某

中处理数据需要的算式、公 处理框 式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。

“是”或“Y”;不成立时标明“否”或“N”。 52、算 从总体中逐个抽取 总体中个体数较少

法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 53、三种抽样方法的区别与联系 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽 样 各层抽样可采用分层 抽取过程将总体分成几层总体有差异明显的几部简单随机抽样或抽样 中每个个体进行抽取 分组成 系统抽样 被抽取的概将总体平均分成率相等 在起始部分抽样几部 分,按事先确系统抽样 时采用简单随机总体中的个体较多 定的规则分别在各抽样 部分抽取 54、 (1)频率分布直方图(注意其纵坐标是“频率/组距) 频率频数极差 组距 频率 , 。 ,组数 组距组距样本容量 22222[( 12n 123nnn 12 1 ) ( ) ( ) 222 (2)数字特征 ( )]s 频率小矩形面积 众数:一组数据中, 平均数:方差: =

出现次数最多的数。 中位数:一组数从小到大排列,最中间的那个数(若最中间有两个数,则 取其平均数) 。 11

标准差: 据的分散程度;其值越小,数据越集 ,其中回归直线方程: ,

注:通过标准差或方差可以判断一组数 中;其值越大,数据越分散。 22 155、事件的分类: P(必然事件)=1 8

(1)必然事件:必然事件是每次试验都一定出现的事件。

( 2)不可能事件:任何一次试验都不可能出现的 事件称为不可能事件。P(不可能事件)=0 一种表现称作随机事件,简称为事件 (3) 随机事件:随机试验的每一种结果或随机现象的每 基本事件: 一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件, 称作基本事件。 56、在 n 次重复实验中,事件 A 发 生的次数为 m,则事件 A 发生的频率为 m/n,当 n 很大时, 总是在某个常数值附近摆动,就把这 、互斥事件概念:在一次随机事件中, 个常数叫做事件 A 的概率。 (概率范围: )

不可能同时发生的两个事件,叫做互斥事件(如图 1) 。 如果事件 A、B 是互斥事件,则 P(A+B)=P 图1 A B 58、对立事件(如图 2) : (A)+P(B)

指两个事件不可能同时发生,但必有一个发生。 AA 对立事件性质: P ( A) +P() =1 ,其中表示事件 A 的对立事件。 A B 59、古典概型是最简单的随 机试验模型,古典概型有两个特征: (1)基本事件 个数是有限的; 图(2) (2)各基本事件的出现是 等可能的,即它们发生的概率相同. 60、设一试验有 n 个等可能的基本事件,而事件 A 恰包含其中的 m 个基本事件,则事件 A 的概率 P(A)公式为 mA 包含 的基本事件的个数 n 基本事件的总数 运用互斥事件的概率加法公式时,首先要判断它们 是否互斥,再由随机事件的概率公式分别求它们的 概率,然后计算。在计算某些事件的概率较复杂时, 可转而先示对立事件的概率。 构成事件 A 的区域长 度(面积或体积 ④公式表 r112 P( 、几何概型的概率公式: 必修 、终边相同角构成的集合: 63 、 弧 度 计 算 公 式 : 、扇形面积公式:(为弧度) 22 、三角函数的定义:已知是的终边上除原 试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积)

点外的任一点

Px,y r + ——

y yxy 则,其中 +++ + — —

sin



, 的符号

x rrx66、三角函数值 +——

sintan

67、特殊角的三角函数值:

9 34626432112233 -cos 1 0 -1 0 -在在 倍 角 公 式 : 0 33 二 10tan

sin

- - 222222 不存不存

1 -1 0 、

同角三角函数的关系:

69、和角与差角公式:

ssin; sinsin;
2

2

、诱导公式 记忆口诀: 参 考 第 条

奇变偶不变,符号看象限;其中,奇偶是指的个数 ,符 号 66 .

2222 、辅助角 公式:=(辅助角所在象限与点的象限 b 同,且 ).主要在求周期、单调性、最值时运用。 相 如

, 72 、半角公式 ( 降幂公 式 ): 三角函数的性质() (1)最小正周期;振幅为 A;频率;相位: ;初相: ; 值域: ; 对称轴:由解得;对称中心:由解得组成的点 2xy (2)图象平移:左加右减、上加下减。 例如:向左平移 1 个单位,解 析式变为 位,解析式变为 10 (3)函数的最小正周期. 、正弦定理:在一个三角形中,各边与对应角正 向下平移 3 个单 、

弦的比相等。 abc(R 是三角形外接圆半径 sinAsinBsinC75、余弦定理: a
b

推 论
.

、三角形的面积 公式: 图象 值 域 222222 [-1 , 1] , , 最小值 函 数 周期 奇 -1 、三角函数的图象与性质和性质 三角函数 y y y 1 x x x 1 -3 0 -1 定义域 [-1 , 1] 最大值 , , 奇偶性 奇函数 偶 函 数

在 在在 2222 上是增函数 上是增函数 上都 是 增 函 数 单 调 性 在 在 22 上是减函数 上是减函数 11

78 、 向 量 的 三 角 形 法 则 :

79 、 向 量 的 平 行 四 边 形 法 则 : a+b b 设 向 b a+b 量 a=, b b-a 向 aa 量 a b= (x,y)(x,y)80、平面向量的坐标运算 : (1) 加 法 a+b=. ( 2 ) 减 法 a-b=. (3) 数乘 a= 1111 个 向 量 的 ( 4 )数量 夹 角 积 a·b=|||b|cosθ= , 其 中是 这 两

( 5 ) 已 知两点 A , B , 则向 量 . 112221212 、

向 量

a= 的 模 : |a|= , 即

、 两 向 量 的 夹 角 公 式 83 、向量 的 平 行 与 垂 直 ( b0 ) 记 法 : a=,b= 12211122 aab· b=0 . 记法: a=,b=12121122 必修⑤公式 表 84、数列前项和与通项公式的 关系: n n n 项 的 和 为
.

, 数列的前 , 、等差、 等差

等比数列公式对比

数列 等比数列 定 义 式 通项公式及

q


2

广



式 若

成等差,则 比 r 若,则

中项公式 若成等 , 若,则 a 前项和 则 运算性质









成等差数列 成等 比 数 列 一 个 性 质 m2mm3m2mm2mm3m2m 12


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