2019-2020学年最新高中数学第一章不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式课件新人教A版选修4_5_图文

2.基本不等式

学习目标
1.掌握重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R). 2.理解两个正数的算 术平均与几何平均. 3.掌握基本不等式及 其应用.

思维脉络

1.重要不等式 定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 2.基本不等式 (1)定理 2:如果 a>0,b>0,那么+2 ≥ ,当且仅当 a=b 时,等号成 立. (2)算术平均与几何平均:如果 a,b 都是正数,则称+2 为 a,b 的算术 平均, 为 a,b 的几何平均.
(3)两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.

名师点拨1.重要不等式与基本不等式的区别

重要不等式

基本不等式

不同点 相同点

重要不等式对任意实 基本不等式的成立条件是

数 a,b 都成立

a>0,b>0

重要不等式与基本不等式都反映了不等关系,都当且仅

当 a=b 时等号成立

2.基本不等式的常见变形

(1)ab≤2 +2 2;(2)ab≤

+ 2

2;(3) + ≥2(ab>0);

(4)

+ 2

2 ≤ 2+2 2;(5)a+b≤

2(2 + 2).

做一做 1 给出下列结论:①若 x≠0,则 x+4<2 ·4=4;②若

a>0,b>0,则lg+lg ≥ lg·lg;③当 x∈ 0, π 时,sin x+ 9 的最小值

2

2

sin

为 6;④若 a∈R,则 a2+1≥a.其中正确的是 ④ .(填序号)

4

解析:对于①,当 x>0 时,x+4≥2 ·4=4 成立,故①错误.





对于②,因为当 0<a<1,0<b<1 时 lg a<0,lg b<0,所以lg+lg ≥
2

lg·lg不成立,故②错误.

对于③,因为当 x∈

0,

π 2

时,0<sin x<1,所以 sin

x+sin9≥2 sin·sin9=6,但若等号成立,需要 sin x=sin9,即 sin x=3.



sin

x≠3,所以

sin

x+sin9

的最小值为


6

不成立,故③错误.

对于④,因为 a2+14=a2+

1 2

2≥2·a·12=a

当且仅当

=1
2

时,等号成立 ,所以④正确.

3.利用基本不等式求最值 对两个正实数x,y. (1)如果它们的和S是定值,则当且仅当x=y时,它们的积 P 取得最 大值; (2)如果它们的积P是定值,则当且仅当x=y时,它们的和 S 取得最 小值.
名师点拨利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相 等”,即
(1)各项或各因式为正; (2)和或积为定值; (3)各项或各因式能取得相等的值.

做一做2

若x>0,y>0,且x+y=

1 3

,则xy的最大值为(

)

A.233

B.2 3

C.19

D.316

解析:由基本不等式可得

xy≤

+ 2

2

=

1 3
2

2
= 316,

当且仅当 x=y=16时,等号成立.故 xy 取最大值316.

答案:D

思考辨析

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画

“×”.

(1)对于任意的实数x,y,都有x2+y2≥2xy. ( )

(2)函数 y=x+1的最小值是 2. ( × )

(3)ab≤

+ 2

2
成立的条件是 a>0,b>0. (

×

)

(4)若 a>0,则 a3+12的最小值为 2 . ( × )

(5)若 a,b∈R+,则2+2 2 ≥ 2+. (

)

探究一

探究二

探究三

思维辨析

运用基本不等式求最值或取值范围

【例 1】 求解下列各题:(1)若 x<0,求函数 f(x)=1-x-16的最小值;

(2)设 x>0,求函数 y=x-1++41的最小值;

(3)已知正数

a,b

满足1


+

1=3,求

a+b

的取值范围.

分析:(1)因为 x<0,所以可对-x 和-16利用基本不等式求最小值.(2)

先将原函数解析式变形为 y=x+1++41-2,再对 x+1++41运用基本不

等式求最值.(3)一种思路是根据1 + 1=3,先将 a+b 中的 b 用 a 表示,

再用基本不等式求范围;另一种思路是对1 + 1=3 变形,先获得

a+b与ab的关系,再利用解不等式消去ab建立关于a+b的不等式进

行求解.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

解:(1)因为 x<0,

所以 f(x)=1-x-16=1+ (-) +

-

16

≥1+2

(-)·

-

16

=9,

当且仅当-x=-16,即 x=-4 时,等号成立.故 f(x)min=9.

(2)因为 x>0,

所以 y=x-1++4 1=x+1++4 1-2≥2

(

+

1)·

4 +1

-2=2.

当且仅当 x+1=+41,即 x=1 时,等号成立,

所以函数的最小值等于 2.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

(3)(方法 1)由1 + 1=3 得 a+b=3ab,所以 b=3-1.

由 a>0,b>0,可得 a>13.



a+b=a+3-1=a+

1 3
3-1

+

13=a-13

+

1 3
3-1

+

2 3

1

≥2

-

1 3

·33-1

+

2 3

=

43,

当且仅当

a-13

=

1

3
3-1

,即

a=23时,等号成立,

故 a+b 的取值范围是

4 3

,

+



.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

(方法 2)由1 + 1=3 得 a+b=3ab.

因为 ab≤

+ 2

2
,所以 a+b≤3

+ 2

2
,

即 4(a+b)≤3(a+b)2.

又 a>0,b>0,所以 a+b≥43,当且仅当 a=b=23时,等号成立,

即 a+b 的取值范围是

4 3

,

+



.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

反思感悟1.运用基本不等式求最值的一些技巧:含有多个变量的 条件求最值问题,一种方法是减少变量的个数,将问题转化为只含 有一个变量的函数的最值问题进行解决.另一种方法是采用常值代 换的方法,先对代数式变形后,再运用基本不等式进行求解.
2.两个正数的和与积的转化:基本不等式具有将“和式”转化为“积 式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等 式的证明中,还可以用于求代数式的最值或范围.在条件等式中,如 果同时含有两个变量的和与积的形式,就可以先直接利用基本不等 式对两个正数的和与积进行转化,再通过解关于“和式”或“积式”的 不等式进行求解.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

变式训练1 (1)已知0<x<2,则函数f(x)=x(2-x)的最大值等



.

(2)设x>0,y>0,且x+2y=1,则

1

1 +

的最小值为

.

解析:(1)因为 0<x<2,所以 2-x>0,所以 f(x)=x(2-x)≤

+2- 2

2
=1,

当且仅当 x=2-x,即 x=1 时,等号成立,函数 f(x)取得最大值 1.

(2)因为

x>0,y>0,且

x+2y=1,所以1

+

1

=

+2

+

+2=3+2

+

≥3+2

2

·=3+2

2,当且仅当2 = ,即 x=

2y 时,等号成立,故

1

+

1取得最小值


3+2

2.

答案:(1)1 (2)3+2 2

探究一

探究二

探究三

思维辨析

运用基本不等式证明相关不等式

【例 2】 (1)已知 m>0,求证24+6m≥24.

(2)设 a,b,c∈(0,+∞),且 a+b+c=1,求证

1

-1

1

-1

1

-1

≥8.

分析:对于(1),因为m>0,所以可把

24

和6m分别看作基本不等式

中的 a和b,直接利用基本不等式证明;对于(2),考虑到a+b+c=1,首

先将不等式左边每个括号中分子上的1替换为a+b+c,化简后再利

用基本不等式,然后根据不等式的性质证明.

证明:(1)因为 m>0,由基本不等式,得24+6m≥2

24

×

6

=2 24 × 6=2×12=24,当且仅当24=6m,即 m=2 时,等号成立,故 24 +6m≥24.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

(2)因为 a+b+c=1,所以

1

-1

1

-1

1

-1

=

++

-1

++

-1

++

-1

=



+





+





+



.




+

≥2



·

,



+

≥2



·

,



+



≥2



·,

所以



+





+





+



≥8



·



·



·

=8,

当且仅当


=



,



=



,



=

,

即 a=b=c 时,等号成立,故原不等式成立.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

反思感悟利用基本不等式证明不等式的方法与技巧 1.用基本不等式证明不等式时,首先依据不等式两边式子的结构 特点进行恒等变形,使之具备基本不等式的结构特点和使用条件, 然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明. 2.对含有条件的不等式的证明问题,要将条件与结论结合起来,找 出变形的思路,构造出基本不等式.若两次(或两次以上)使用基本不 等式的传递性,则应保证等号成立的条件一致.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

变式训练 2 已知 a>0,b>0,且 a+b=2,求证1 + 1≥2.

证明:因为

a+b=2,所以1

+

1

=

12(a+b)

1

+

1

=

1 2

+

+

+

=

1 2



+



+

2



1 2

2



·

+1=2,

当且仅当


=

,即

a=b

时,等号成立,故原不等式成立.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

运用基本不等式解决实际问题
【例3】 已知26辆货车以相同速度v(单位:km/h)由A地驶向400 km处的B地,每两辆货车的间距为d km,现知d与速度v的平方成正比, 且当v=20时,d=1.
(1)写出d关于v的函数关系式; (2)若不计货车的长度,则26辆货车都到达B地最少需要多少小时? 此时货车的速度为多少? 分析:对于(1),可由已知数据代入求得;对于(2),首先列出时间与 速度的关系式,然后借助基本不等式求解.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

解:(1)由题意可设d=kv2,其中k为比例系数,k>0.

因为当v=20时,d=1,所以1=k·202,

即 k=4100,因此 d=4010v2(v>0).

(2)因为每两辆货车的间距为d km,所以最后一辆货车与第一辆货

车的间距是25d km,所以最后一辆货车到达B地所需的时间为

400

+

25

h,

由(1)可知 d=4100v2,代入整理,

得 t=400 + 16≥2

400

·16=2×5=10,

当且仅当400


=

16,即

v=80

时,等号成立.

故26辆货车都到达B地最少需要10 h,此时货车的速度为80 km/h.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

反思感悟用基本不等式求解实际问题的盲点: (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,利用基本不等式求得函 数的最值. (3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自 变量的取值范围)内求解.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

变式训练3 某公司一年购买某种货物400 t,每次都购买x t,运费

为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存

储费用之和最小,则x=

t.

解析:该公司一年购买某种货物 400 t,每次都购买 x t,则需要购

买400次,运费为 4 万元/次,一年的总存储费用为 4x 万元,则一年的总

运费与总存储费用之和为

400

×

4

+

4

万元.

而1 600+4x≥2

1

600

×

4=160,当且仅当1

600=4x,即

x=20

时,等

号成立.故当 x=20 时一年的总运费与总存储费用之和最小.

答案:20

探究一

探究二

探究三

思维辨析

忽视基本不等式成立的条件而致错

典例若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( )

A.254

B.258

C.5

D.6

错解由基本不等式得 x+3y≥2 3,则 5xy≥2 3,所以 ≥

253.

又 3x+4y≥2

12=4



,所以 3x+4y≥4

3

×

23 5

=

254,故

3x+4y 的最小值是254.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

正解由

x+3y=5xy

可得 1
5

+

53=1,所以

3x+4y=(3x+4y)

1 5

+

3 5

=

9 5

+

4 5

+

3 5

+

12 5



153+2

3 5

·152

=

13 5

+

152=5,当且仅当35

=

152,即

x=2y 时,等号成立.故 3x+4y 的最小值是 5.

答案:C

探究一

探究二

探究三

思维辨析

纠错心得本题错解中忽视了基本不等式中等号成立的条件,没有 注意到两次运用基本不等式时等号成立的条件不一致,从而出现错 误.连续使用基本不等式时取等号的条件很严格,要求同时满足任 何一次的字母取值存在且一致.因此尽量不要连续两次或两次以上 使用基本不等式.若连续使用两次或两次以上时,应保证每次等号 成立的条件都相等.此外,在求解含有两个变量的代数式的最值问 题时,通常的办法是变量替换或常数值“1”的替换,即首先由已知条 件得到某个式子的值为常数,然后将待求最值的代数式乘“1”,最后 对代数式进行变形整理,从而可利用基本不等式求最值.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

变式训练(2017吉林三模)已知x>0,y>0,x+2y+2xy-8=0,则x+2y的

最小值是 ( )

A.3

B.4

C.92

D.121

解析:因为

x>0,y>0,所以

2xy=x·2y≤

+2 2

2
(当且仅当 x=2y 时,

等号成立).

由题意知 2xy=8-(x+2y),所以 8-(x+2y)≤

+2 2

2
.

令x+2y=t(t>0),则t2+4t-32≥0,解得t≥4或t≤-8(舍去),因此

x+2y≥4,即x+2y的最小值是4,故选B.

答案:B

12345

1.下列不等式中恒成立的是( )

A.(a+1)

1

+

1

≥2

B.a2+12≥2(a≠0)

C.a2+9>6a(a∈R)

D.lg(a2+1)>lg |2a|(a≠0)

解析:当 a≠0 时,a2>0,所以 a2+12≥2 2·12=2,当且仅当 a2=12,即
a=±1 时,等号成立,故选项 B 正确.

答案:B

12345

2.函数 f(x)= + 4的最小值等于(

)

A.2

B.2 2

C.4

D.4 2

解析:由基本不等式可知 f(x)= + 4≥2 ·4=4,当且仅当 = 4,即 x=4 时,等号成立.故取得最小值 4.

答案:C

12345
3.某公司要租地建仓库,每月土地占用费y1(单位:万元)与仓库到车 站的距离成反比,而每月库存货物的运输费y2(单位:万元)与仓库到 车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1 和y2分别为2万元和8万元.那么要使这两项费用之和最小,待建仓库 与车站的距离为( ) A.3千米 B.8千米 C.5千米D.6千米
解析:设待建仓库与车站的距离为x千米. 依题意设 y1=1(k1>0),y2=k2x(k2>0),而当 x=10 时,y1=2,y2=8,则 k1=20,k2=45,所以 y1=20(x>0),y2=45x(x>0),所以 y1+y2=20 + 45≥2 16=8,当且仅当 x=5 时,等号成立,故待建仓库与车站的距离 为5千米时,每月土地占用费和每月库存货物的运输费之和最小.
答案:C

12345

4.若 x>0,则 y=2+ 2的最大值为

.

解析:因为 x>0,y=2+ 2,所以 y=+12,因为 x+2≥2 2,当且仅当

x=

2时,等号成立,于是+1 2



1 22

=

42,故 y=2+ 2的最大值为 42.

答案: 2
4

12345

5.设 a,b 均为正实数,求证12 + 12+ab≥2 2.

证明:因为 a,b 均为正实数,所以12 + 12≥2

1 2

1
·2

=

2,当且仅当

1 2

=

12,即

a=b

时,等号成立.又2+ab≥2

2

·=2

2,当且仅当

2=ab

时,等号成立,所以12

+

1 2

+ab≥2+ab≥2

2,当且仅当

1 2 2


= =

1 2

,



,

a=b= 4

2时,等号成立.

2.基本不等式
在多年的高三复习备考中,老师认为以下六句话可以作为引导高三学生科学备考和应考的基本指南。这六句话就是:基础决定能力;过程决定结果;细节决定成败;心态决定状态;态度决定高度;落实决定一切。基础决定能力 毫无疑问,高考复习的主要目的就是要回归基础,巩固基础,夯实基础。没有基础,就没有能力。高考中每一道题的考查都离不开基础,可谓成也基础,败也基础。基础分拿不下来,总分就无法上去。为此,对基础知识要有足够的重视和耐心,不能急功近利,基础往往来自多次的重复和测试。过程决定结果有些学生因为平时对复习不够重视或时间投入不足,所以往往到了考试结果出来以后才感到紧张。复习备考的过程事实上就是一个系统过程,每一天、每一节课、每一次考试都是备考过程的一部分。如果平时在某个方面不够重视的话,必然就会产生不良的结果。只有重视过程的投入和调控,才能期待良好的结果。节决定成败里所说的细节主要是指考试时出现的细节性错误。

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