高三文科数学一轮复习平面向量4-1


第1讲 平面向量的概念及线性运算

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【2013年高考会这样考】 1.考查平面向量的线性运算. 2.本节的试题多以填空题的形式出现,属容易题,主要考查 向量的基础知识. 【复习指导】 透彻理解平面向量的有关概念及运算是学好本节的基础,会运 用概念分析和求解相关问题.

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基础梳理 1.向量的有关概念 (1)向量:既有大小又有方向 的量叫向量;向量的大小叫做向 量的 长度 (或称模). (2)零向量:长度等于 0 的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于 1个单位 的向量.

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(4)平行向量:方向相同或 相反 的非零向量,又叫共线向量, 规定:0与任一向量共线. (5)相等向量:长度相等且 方向 相同的向量. (6)相反向量:长度相等且 方向 相反的向量.

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2.向量的线性运算 向量 运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律

求两个向量 加法 和的运算

三角形法则

(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c)

平行四边形法则
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求a与b的 相反向量

减法 -b的和的
运算叫做 a与b的差 三角形法则

a-b=a+(-b)

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3.向量的数乘运算及其几何意义 (1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的 数乘,记作λa ①|λa|= |λ||a| ,它的长度与方向规定如下: ;

②当λ>0时,λa与a的方向 相同;当λ<0时,λa与a的方向

相反 ;当λ=0时,λa= 0 .
(2)运算律:设λ,μ是两个实数,则 ①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③ λ(a+b)=λa+λb.

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4.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ, 使得

b=λa

.

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一条规律 一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点 指向最后一个向量终点的向量. 两个防范 (1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则λ可能不存 在,也可能有无数个. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量 共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时, 才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所在直线平 行,必须说明这两条直线不重合.
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双基自测 1.(人教A版教材习题改编)D是△ABC的边AB上的中点,则向
→ 量CD等于( → 1→ A.-BC+2BA → 1→ C.BC-2BA 解析 ). → 1→ B.-BC-2BA → 1→ D.BC+2BA

→ → → 如图,CD=CB+BD

→ 1→ → 1→ =CB+ BA=-BC+ BA. 2 2 答案 A
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2.判断下列四个命题: ①若a∥b,则a=b;②若|a|=|b|,则a=b;③若|a|=|b|,则a ∥b;④若a=b,则|a|=|b|. 正确的个数是( ).

A.1 B.2 C.3 D.4 解析 只有④正确. 答案 A

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3.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 ( → → → A.EF=OF+OE → → → C.EF=-OF+OE → → → B.EF=OF-OE → → → D.EF=-OF-OE ).

→ → → → → 解析 EF=EO+OF=OF-OE. 答案 B

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4.(2011· 四川)如图,正六边形ABCDEF中, → → → BA+CD+EF=( A.0 → C.AD → B.BE → D.CF ).

→ → → → → → → → → 解析 BA+CD+EF=DE+CD+EF=CE+EF=CF. 答案 D

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5.设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与2a-b共线,则λ =________. 解析
?1=2k, ? 由题意知:a+λb=k(2a-b),则有:? ?λ=-k, ?

1 1 ∴k=2,λ=-2. 1 答案 -2

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考向一 平面向量的概念 【例1】?下列命题中正确的是( ).

A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形 的四个顶点 C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 [审题视点] 否.
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以概念为判断依据,或通过举反例说明其正确与

解析 由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确;由于数 学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在 同一直线上,而此时就构不成四边形,所以B不正确;向量的 平行只要求方向相同或相反,与起点是否相同无关,所以D不 正确;对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题 来入手考虑,假设a与b不都是非零向量,即a与b中至少有一个 是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可知a与b共线,符 合已知条件,所以有向量a与b不共线,则a与b都是非零向量, 故选C. 答案 C
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解决这类与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题,其关 键在于透彻理解平面向量的概念,还应注意零向量的特殊性, 以及两个向量相等必须满足:(1)模相等;(2)方向相同.

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【训练1】 给出下列命题: → → ①若A,B,C,D是不共线的四点,则AB =DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件; ②若a=b,b=c,则a=c; ③a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b; ④若a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等. 其中正确命题的序号是________. 解析 答案 ①②正确,③④错误. ①②
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考向二

平面向量的线性运算

【例2】?如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中 点,则( ).

→ → → A.AD+BE+CF=0 → → → B.BD-CF+DF=0 → → → C.AD+CE-CF=0 → → → D.BD-BE-FC=0 [审题视点] 利用平面向量的线性运算并结合图形可求.
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解析

→ → → → → → ∵AB+BC+CA=0,∴2AD+2BE+2CF=0,

→ → → 即AD+BE+CF=0. 答案 A

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三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法,共 起点的向量,和用平行四边形法则,差用三角形法则.

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→ → → 【训练2】 在△ABC中, AB =c, AC =b,若点D满足 BD = → → 2DC,则AD=( ).

2 1 5 2 A.3b+3c B.3c-3b 2 1 1 2 C.3b-3c D.3b+3c 解析 → → → → → → ∵BD=2DC,∴AD-AB=2(AC-AD),

→ → → ∴3AD=2AC+AB 1 → 2→ 1→ 2 ∴AD=3AC+3AB=3b+3c. 答案 A
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考向三

共线向量定理及其应用

【例3】?设两个非零向量a与b不共线. → → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b). 求证:A,B,D三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线. → → [审题视点] (1)先证明 AB , BD 共线,再说明它们有一个公共 点;(2)利用共线向量定理列出方程组求k.

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→ → → (1)证明 ∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b). → → → → ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB. → → ∴AB,BD共线,又它们有公共点,∴A,B,D三点共线. (2)解 ∵ka+b与a+kb共线, ∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb), 即(k-λ)a=(λk-1)b. 又a,b是两不共线的非零向量, ∴k-λ=λk-1=0.∴k2-1=0.∴k=± 1.

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平行向量定理的条件和结论是充要条件关系,既可以证明向量 共线,也可以由向量共线求参数.利用两向量共线证明三点共 线要强调有一个公共点.

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→ 【训练3】 (2011· 兰州模拟)已知a,b是不共线的向量,AB=λa → +b, AC =a+μb(λ,μ∈R),那么A,B,C三点共线的充要条 件是( ).

A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1 解析 → → 由 AB =λa+b, AC =a+μb(λ,μ∈R)及A,B,C三点共

→ → 线得: AB =t AC ,所以λa+b=t(a+μb)=ta+tμb,即可得
?λ=t, ? ? ?1=tμ, ?

所以λμ=1.故选D.

答案

D
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难点突破 11——有关平面向量中新定义问题解题策略 从近两年课改区高考试题可以看出高考以选择题形式考查平面 向量中新定义的问题,一般难度较大.这类问题的特点是背景 新颖,信息量大,通过它可考查学生获取信息、分析并解决问 题的能力.解答这类问题,首先需要分析新定义的特点,把新 定义所叙述的问题的本质弄清楚,然后应用到具体的解题过程 之中,这是破解新定义信息题难点的关键所在.

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【示例1】?

(2011· 山东)设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系

→ → → 中两两不同的四点,若A1A3=λA1A2(λ∈R),A1A4= 1 1 → μA1A2 (μ∈R),且 λ + μ =2,则称A3,A4调和分割A1,A2.已知平 面上的点C,D调和分割点A,B,则下列说法正确的是 ( A.C可能是线段AB的中点 B.D可能是线段AB的中点 C.C、D可能同时在线段AB上 D.C、D不可能同时在线段AB的延长线上
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).

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【示例2】?

(2010· 山东)定义平面向量之间的一种运算“⊙”

如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a⊙b=mq-np,下 面说法错误的是( ).

A.若a与b共线,则a⊙b=0 B.a⊙b=b⊙a C.对任意的λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b) D.(a⊙b)2+(a· 2=|a|2|b|2 b)

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