2.2椭圆的几何性质(第一课时)_图文

第一课时

一.复习回顾
定 义

椭圆的标准方程
y
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y
M
F 2 M

图 形

F1

o

F2

x

o
F1

x

方 程 焦 点
a,b,c之间

x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
F(±c,0)

y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
F(0,±c)

的关系

c2=a2-b2

二.练习

x 1.P为椭圆

2

+ 16 =1上一点,F1、F2是其左、右焦点 25

y

2

(1)若|PF1|=3,则|PF2|=_________________ (2)过左焦点F1任作一条弦AB, 则⊿ABF2的周长为___ 20 (3)若点P在椭圆上运动, A F1 25 则|PF1|?|PF2|的最大值为___

7

y B 0
P
P

F2

x

2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0), 并且经过点 ( 5 ,? 3 ), 求它的标准方程.

解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0). 2 a b 由椭圆的定义知

2

2

5 3 2 5 3 2 2 2 2a ? ( ? 2) ? ( ? ) ? ( ? 2) ? ( ? ) ? 2 10 2 2 2 2 所以 a ? 10 .
又因为

c?

,所以 b 2 2

? a ? c ? 10 ? 4 ? 6.
2 2

x2 y2 因此, 所求椭圆的标准方程为 ? ? 1. 10 6

解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0). 2 a b 又?焦点的坐标分别是 2,0), (2,0) ?c ? 2 (?

( 5 )2 ( ? 3 )2 ② 又由已知 2 2 ? 2 (1)确定焦点的位置; ?1 a b 2 (2)设出椭圆的标准方程; 联立①②, 解得a 2 ? 10,b 2 ? 6
写出椭圆的标准方程. ? 1. 因此, 所求椭圆的标准方程为 ?

?a ? b ? 4
2 2



求椭圆标准方程的解题步骤:

(3)用待定系数法确定a、b的值,

x 10

2

y 6

2

3.动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是10,则 动点P的轨迹为( A ) A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹

4.变式:
(1)动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是8,则

动点P的轨迹为( B )
(2)动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是7,则

动点P的轨迹为( D )

x2 y2 5.方程 ? ? 1表示的曲线是椭圆,求k的取值范围. 5 4k k>0且k≠5/4 6.变式:
x2 y2 ? ? 1表示焦点在y轴上的椭圆,求k的 (1)方程 5 4k

取值范围.
2

k>5/4
2

x y ? ? 1表示焦点坐标为(±2,0)的椭圆, (2)方程 5 4k
求k的值.
k=1/4

7. 地球中心为一个焦点的椭圆,设其近地点距地 面n千米,远地点距地面m千米,地球半径为 m-n R,那么这个椭圆的焦距为___________千米. 2 2 x y 8. P是椭圆 ? ? 1上的点,F1和F2是焦点,则 4 3 4 3 k ? PF1 ? PF2 的最大值是____,最小值是_____.

思考:
x2 y2 1.椭圆 ? ? 1的焦距为2,则m的值是多少? m 4 2 2 x y 2.椭圆 ? ? 1的焦点坐标是什么? m-2 m?5 3.在圆x 2 ? y 2 ? 4上任取一点P, 过P作x轴的垂线

PD( D为垂足),当点 在圆上运动时,线段 P PD 中点M的轨迹是什么?为什么 ?
变式:已知圆 ? y ? 9,从这个圆上任取一点 x
2 2

P作x轴的垂线PP/ ( P /为垂足),点 在PP/ 上, M 并且PM ? 2MP / , 求点M轨迹方程。

1、方程

?x ? 3?

2

?y ?
2

?x ? 3?

2

? y 2 ? 10

表示________。 2、方程 ?x ? 3?2 ? y 2 ? ?x ? 3?2 ? y 2 ? 6 表示________。 2 2 3、方程 x 2 ? ? y ? 3? ? x 2 ? ? y ? 3? ? 10 表示________。 4、方程 ?x ? 3? ? 4 ? 的解是________。
2

?x ? 3?

2

? 4 ? 10

三 二、椭圆 进 行 1、范围:x 2 ? 1, 2 新 a 课 -a≤x≤a,

简单的几何性质
y2 ? 1得 : 2 b

-b≤y≤b

椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2

A1

b F1

a F2

A2

o c
B1

2、椭圆的顶点 2 2

令 x=0,得 y=?,说明椭圆与 y轴的交点(
令 y=0,得 x=?, 说明椭圆与 x轴的交点( *顶点:椭圆与它的对称 轴的四个交点,叫做椭圆的 顶点。 *长轴、短轴: 线段 A1A2、B1B2分别叫做椭圆 的长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半

x y 在 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)中, a b

0, ±b ), )。 ±a, 0

y B1(0,b)
A1 o

A2(a,0) x
B2(0,-b)

轴长和短半轴长。

焦点总在长轴上!

3.椭圆的对称性

Y P1(-x,y)

P(x,y)

O

X

P3(-x,-y)

P2(-x,-y)

3、椭圆的对称性 2 2 x y 在 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)之中, a b
把(X)换成(-X),方程不变,说明椭圆关于( Y )轴对称; 把(Y)换成(-Y),方程不变,说明椭圆关于( X )轴对称; 把(X)换成(-X), (Y)换成(-Y),方程还是不变,说明椭圆 y 关于( 原点 )对称;

所以,坐标轴是 椭圆的对称轴,原点 是椭圆的对称中心。

o

x

中心:椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

练习:根据前面所学有关知识画出下列图形
x y ? ?1 (1) 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2

x2 y2 ? ?1 (2) 25 4
y
4 3 B 2 2 1

A1

A2 x

A1

A2 x

-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

123 4 5

B1

-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4

离心率:椭圆的焦距与长轴长的比:

4、椭圆的离心率

y

c e? 叫做椭圆的离心率。 a

[1]离心率的取值范围: 因为 a > c > 0,所以0<e <1 [2]离心率对椭圆形状的影响:

O

x

1)e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越小,椭圆就 越扁 2)e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b就越大,椭圆就 越圆 3)特例:e =0,则 a = b,则 c=0,两个焦点重合, 椭圆方程变为(?)

标准方程 范围

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称

|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前

对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系

(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b

c e ? a

a2=b2+c2

同前

4

内容升华

一个范围,三对称 四个顶点,一个离 心率

例1.已知椭圆方程为16x2+25y2=400,则 它的长轴长是: 10 ;短轴长是: 8 ;
焦距是:

6

;离心率等于:

焦点坐标是:

(?3, 0) ;顶点坐标是:?5, 0) (0, ?4) ; (
80


3 5



外切矩形的面积等于:

解题步骤: 1、将椭圆方程转化为标准方程求a、b:
x2 y2 ? ?1 25 16

2、确定焦点的位置和长轴的位置.

例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程
(1) a=6, e=

1 , 焦点在x轴上 3

x y ? ?1 36 32

2

2

x2 y 2 y2 x2 (2) 离心率 e=0.8, 焦距为8 ? ? 1或 ? ?1 25 9 25 9 x2 y2 y2 x2 (3) 长轴是短轴的2倍, 且过点P(2,-6) ? ? 1或 ? ? 1 148 37 52 13
(4)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直, 且焦距为6 x2 y2

18

?

9

?1

求椭圆的标准方程时, 应: 先定位(焦点), 再定量(a、b)

当焦点位置不确定时,要讨论,此时有两个解!

练习:过适合下列条件的椭圆的标准方程: Q (1)经过点P(?3, 0) 、 (0, ?2) ; 3 (2)长轴长等于 20 ,离心率等于 5 . 解:(1)由题意, a ? 3 b ? 2 ,又∵长轴在 x 轴上,所以,椭圆的标准方程为

2 (2)由已知, a ? 20

c 3 e ,? a ? 5
2 2

x2 y 2 ? ?1 9 4

c ∴ a ? 10 , ? 6 ,∴ b2 ? 102 ? 62 ? 64



y2 x2 x y ? ?1 ? ?1 或 所以椭圆的标准方程为 100 64 100 64

例3.已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标 轴上,长轴是短轴的三倍,且椭圆经过点P (3,0),求椭圆的方程。

x y x 2 ? y ? 1或 ? ?1 9 81 9

2

2

2

练习: k ?8 9 (1).若椭圆 + =1的离心率为 0.5,则:k=_____ (2).若某个椭圆的长轴、 短轴、焦距依次成等差数列,
3 则其离心率e=__________ 5

x

2

y

2

5 ? 或4 4

课堂小结

椭圆中的基本元素

1.基本量: a、b、c、e 几何意义:a-长半轴、b-短半轴、c-半焦距,e-离心率; 相互关系: 2

c ? a ?b
2

2

c e? a

焦点总在长轴上!

2.基本点:顶点、焦点、中心 3.基本线: 对称轴(共两条线)

新知探究

x y 对于椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? b a y
M O x

2

2

椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值 和最小值分别是 最大值为a,最小值为b.

新知探究

x y 对于椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? b a y
M O x

2

2

椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值 和最小值分别是 最大值为a,最小值为b.

新知探究

椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最大 值和最小值分别是什么?
y M O F x

化为关于x的二次函数的最值问题. y
B2

M
F2

|MF2|min=|A2F2| =a-c |MF2|max=|A1F2| A2 x =a+c

A1 F
1

O B1

新知探究

点M在椭圆上运动,当点M在什么位 置时,∠F1MF2为最大?
y M F1 O

点M为短轴的端点.
F2

x

新知探究

1.对于椭圆的原始方程,
(x + c) + y +
2
2 2

(x - c) + y = 2a
2 2

2

2

变形后得到 a - cx = a (x - c) + y , 再变形为
(x-c)+ y a xc
2 2 2

c = a .

这个方程的几何意义如何?

点M(x,y)与定点F(c,0)的距离 和它到定直线 例4、 2
a c l : x ? 的距离比是常数 ( a ? c ? 0). 求M点的轨迹。 c a

解:如图,设d是点M到直线L的距离,根据题意,所求轨
迹的集合是: MF c? P ? {M | ? ? d a? 由此得 :

? x ? c? ? y2
2

令a2 ? c2 ? b2 , 可化得 : (a ? c ) x ? a y ? a (a ? c ).
2 2 2 2 2 2 2 2

a2 ?x c

c ? , 平方,化简得 : a

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b

这是一个椭圆的标准方程,所以点M的 轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b的椭圆。

新知探究

若点F是定直线l外一定点,动点M到点F 的距离与它到直线l的距离之比等于常 数e(0<e<1),则点M的轨迹是椭圆.
l

M F

H

动画

新知探究

点F2(c,0)的准线,相应于焦点 a2 F1(-c,0)的准线方程是 x = y

a 直线 x = c 叫做椭圆相应于焦 c

2

a x= c

2

a x= c
F1 O F2 x

2

椭圆的准线与离心率

c 离心率:e ? a

离心率的范围:
2

0 ? e ?1
L’

a 椭圆的准线 : x ? ? c

y
F’

a 相对应焦点F(c,0),准线是: x ? c

2

M F

L

o

x

a2 相对应焦点F(- c,0),准线是: x ? ? c

y x 思考: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)又如何呢? a b

2

2

新知探究

x2 y 2 椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的准线方程是 b a 2 y a y= c
F2

O
F1

x
a y= c
2

课堂小结

椭圆上的点到一个焦点的距离与 它到相应准线的距离之比等于椭圆的 离心率,这是椭圆的一个重要性质, 通常将它称为椭圆的第二定义.


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