2017-2018学年(新课标)北师大版高中数学必修一《函数》章末复习方案及高频考点解析

2017-2018 学年(新课标)北师大版高中数学必修一 章末复习 1.函数及其表示 (1)函数的概念: 函数是建立在两个非空数集之间的一种特殊的对应关系, 即是一种特殊的映射. 函数具 有三个要素,即定义域、对应法则和值域,三者缺一不可.其中最重要的是定义域和对应法 则,值域由定义域和对应法则确定.研究函数时应注意定义域优先的原则,其题型主要有以 下几类: ①已知 f(x)的函数表达式,求定义域; ②已知 f(x)的定义域,求 f(φ(x))的定义域,其实质是由φ(x)的取值范围,求出 x 的取值 范围; ③已知 f(φ(x))的定义域,求 f(x)的定义域,其实质是由 x 的取值范围,求φ(x)的取值范 围. (2)相同函数: 判断两个函数是否相同,应抓住两点:①定义域是否相同;②对应法则是否相同.同时 应注意,解析式可以化简. (3)映射的概念: ①映射是建立在两个非空集合之间的一种特殊的对应关系, 这种对应满足存在性与唯一 性.判断给出的对应 f:A→B 是否为映射,可从给出的对应是否满足(i)A 中的不同元素可 以有相同的像,即允许多对一,但不允许一对多;(ii)B 中的元素可以无原像,即 B 中可以 有“空元” . ②特殊的映射:一一映射:如果映射 f 是集合 A 到集合 B 的映射,并且对于集合 B 中 的任一元素,在集合 A 中都有且只有一个原像,这时这两个集合的元素之间存在一一对应 的关系,并把这个映射叫作从集合 A 到集合 B 的一一映射. ③函数是一种特殊的映射,它是数集到数集的映射. 2.函数的基本性质 函数的奇偶性、单调性与最值是函数最重要的性质,在每年的高考中均有体现.常见问 题有判断函数的奇偶性、单调性,求单调区间,求函数的最值或求某变量的取值范围、奇偶 性与单调性的应用等. (1)函数的奇偶性: 具有奇偶性的函数的特点: a.对称性:奇(偶)函数的定义域关于原点对称; b.整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个 x 都必须成立; c.可逆性:f(-x)=f(x)?f(x)是偶函数; f(-x)=-f(x)?f(x)是奇函数; d.图像特征:奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y 轴对称. (2)函数单调性: ①单调性的判定: 判断函数的单调性一般有两种方法:一是定义法;二是图像法.其中定义法具有严格的 推理性,在证明单调性时通常使用此法,其基本思路是: a.设元:即设 x1、x2 是该区间内的任意两个值,且 x1<x2; b.作差:即作 f(x2)-f(x1)(或 f(x1)-f(x2)); c.变形:即通过通分、配方、因式分解等手段,对差式向有利于判断符号的方向变形; d. 定号: 根据给定的区间和 x2-x1 的符号, 确定差 f(x2)-f(x1)(或 f(x1)-f(x2))的符号, 当符号不确定时,可以进行分类讨论; e.结论:根据定义得出结论. ②求函数的单调区间: 求函数的单调区间通常可采用: a.利用已知函数的单调性; b.定义法:先求定义域,再利用单调性定义; c.图像法:如果 f(x)是以图像形式给出的,或者 f(x)的图像易作出,可由图像的直观 性写出它的单调区间. 函数的单调性是对某个区间而言的, 所以要受到区间的限制, 例如函数 y=x-1 在(-∞, 0)和(0,+∞)内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)内单调 递减,只能分开写,即函数的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),不能用“∪” . 3.二次函数的图像与性质 (1) 对 于任何二次函 数 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 都可以通 过 配方化 为 y = a(x + b 2 ) + 2a 4ac-b2 b 4ac-b2 =a(x-h)2+k,其中 h=- ,k= .熟练掌握“配方法”是掌握二次函数性 4a 2a 4a 质的关键. (2)研究二次函数时应注意二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)中系数 a,b,c 对函数图像 及性质的影响: ①二次项系数 a 的正负决定着函数图像的开口方向、开口大小和单调性; ②一次项系数 b 是否为 0 决定着函数的奇偶性,当 b=0 时,函数为偶函数;当 b≠0 时,函数为非奇非偶函数. ③c 是否为 0 决定着函数图像是否经过原点. ④a 和 b 共同决定着函数的对称轴,a,b,c 共同决定着函数的顶点位置. [例 1] 求下列函数的解析式: (1)已知 f(x)是一次函数,且 f(f(x))=4x-1; (2)f(x+1)=2x2+5x+2; (3)f(x)+2f(-x)=x2+2x. [解] (1)设 f(x)=ax+b(a≠0). ∵f(f(x))=4x-1,∴f(ax+b)=4x-1. ∴a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x-1, 2 ? ? ? ? ?a =4, ?a=-2, ? ∴ 解得? 1 或? ?ab+b=-1, ?b=1. ? ?b=- , ? a=2, ? 3 1 ∴f(x)=2x- 或 f(x)=-2x+1. 3 (2)令 x+1=t,则 x=t-1. ∴f(t)=2(t-1)2+5(t-1)+2=2t2+t-1. ∴f(x)=2x2+x-1. (3)由题意知 f(x)+2f(-x)=x2+2x.① 将 x 换成-x,得 f(-x)+2f(x)=x2-2x.② 联立①②消去 f(-x),得 3f(x)=x2-6x, 1 即 f(x)= x2-2x. 3 [借题发挥] 求函数的解析式常见的类型及求法 (1)待定系数法.若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法. (2)换元法.已知函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意自变量的取值范围. (3)消元法. 若已知 f(x)满足某个等式, 这个等式除 f(x)是未知量外, 还出现其他未知量, 1 如 f(-x)、 f( )等, 可根据已知等式构造其他等式组成

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