分式方程应用题专题解析


分式方程应用题专题复习
一.行程问题
(1)一般行程问题
1、从甲地到乙地有两条公路:一条是全长 600Km 的普通公路,另一条是全长 480Km 的告诉公路。某客车在高 速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快 45Km,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到 乙地所需时间的一半,求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。

2、某 市为治理污水,需要铺设一段全长 3000 米的污水输送管道,为了尽量减少施工对城市交通造成的影响, 实际施工时每天的工效比原计划增加 25%,结果提前 30 天完成了任务,实际每天铺设多长管道?

例2

某工程由甲、乙两队合做 6 天完成,厂家需付甲、乙两队共 8700 元,乙、丙两队合做 10 天完成,厂

2 家需付乙、丙两队共 9500 元,甲、丙两队合做 5 天完成全部工程的 3 ,厂家需付甲、丙两队共 5500 元.
⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天? ⑵若工期要求不超过 15 天完成全部工程,问由哪个队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由. 2、我军某部由驻地到距离 30 千米的地方去执行任务,由于情况发生了变化,急行军速度必需是原计划的 1.5 倍,才能按要求提前 2 小时到达,求急行军的速度。

3. 甲、乙两地相距 828km,一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地,直达快车的平均速度是普通快 车平均速度的 1.5 倍.直达快车比普通快车晚出发 2h,比普通快车早 4h 到达乙地,求两车的平均速度.

三.利润(成本、产量、价格、合格)问题
1、某煤矿现在平均每天比原计划多采 330 吨,已知现在采煤 33000 吨煤所需的时间和原计划采 23100 吨煤的 时间相同,问现在平均每天采煤多少吨。

(2)水航问题
3、轮船顺水航行 80 千米所需要的时间和逆水航行 60 千米所用的时间相同。已知水流的速度是 3 千米/时, 求轮船在静水中的速度。 2、某商品的标价比成本高 p%,当该商品降价出售,为了不亏本,降价幅度不得超过 d%,请用 p 表示 d。

二.工程问题
1、一台甲型拖拉机 4 天耕完一块地的一半,加一天乙型拖拉机,两台合耕,1 天耕完这块地的另一半。乙型 拖拉机单独耕这块地需要几天? 3、一个批发兼零售的文具店规定:凡一次购买铅笔 300 枝以上, (不包括 300 枝) ,可以按批发价付款,购买 300 枝以下, (包括 300 枝)只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔,如果给八年级学生每人购买 1 枝,那么 只能按零售价付款,需用 120 元,如果购买 60 枝,那么可以按批发价付款,同样需要 120 元, (1) 这个八年级的学生总数在什么范围内?

(2) 若按批发价购买 6 枝与按零售价购买 5 枝的款相同,那么这个学校八年级学生有多少人?

五、浓度应用性问题

溶质 例 5 要在 15%的盐水 40 千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为 20%.(浓度问题的基本关系是: 溶液 =
浓度.

四.其它开放性新题型
1、某农场原有水田 400 公顷,旱田 150 公顷,为了提高单位面积产量,准备把部分旱田改为水田,改完之后, 要求旱田占水田的 10%,问应把多少公顷旱田改为水田。

六、货物运输应用性问题 例6 一批货物准备运往某地,有甲、乙、丙三辆卡车可雇用.已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变,

且甲、乙两车单独运这批货物分别运 2 a 次、 a 次能运完;若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时,甲车共 2、某人沿一条河顺流游泳 l 米,然后逆流游回出发点,设此人在静水中的游泳速度为 xm/s,水流速度为 nm/s, 求他来回一趟所需的时间 t。 运了 180t;若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时,乙车共运了 270t. 问:⑴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍; ⑵现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时,货主应付车主运费各多少元?(按每运 1t 付运费 20 元计 算)

(1) 小芳在一条水流速度是 0.01m/s 的河中游泳, 她在静水中游泳的速度是 0.39m/s,而出发点与河边一艘固定 小艇间的距离是 60m,求她从出发点到小艇来回一趟所需的时间。

(2)志勇是小芳的邻居,也喜欢在该河中游泳,他记得有一次出发点与柳树间来回一趟大约用了 2.5min,假 设当时水流的速度是 0.015m/s, 而志勇在静水中的游泳速度是 0.585m/s, 那么出发点与柳树间的距离大约是多少?

3. 某校办工厂将总价值为 2000 元的甲种原料与总价值为 4800 元的乙种原料混合后,其平均价比原甲种原 料 0.5kg 少 3 元,比乙种原料 0.5kg 多 1 元,问混合后的单价 0.5kg 是多少元?

分式方程及应用
1、指出下列方程中,分式方程有( ) 4)

1 1 x2 x 1 3 5 2 ? ? 5 ? ? 5;③ 2 x 2 ? 5x ? 0 ;④ ① ;② x? ? 3 ? 0 ;⑤ ? ? 2 ; 2 2 x 3x 2 3 x y 5x 2
A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个

2 ? x x ?1 ? ; x?3 x?4

5)

x 2 4 ? ? 2 x ?1 x ?1 x ?1

运用知识点:分式方程或不等式。 12、某单位组织职工郊游,租用一辆 60 座客车,租金为 1000 元。出发前部分职工因有事不能参加,实际参加的 人数是原计划的 B、

2、分式方程

12 2 1 ? ? 的解为( x ?9 x?3 x?3
2

) A、3

B、-3

C、无解

D、3 或-3

4 ,结果每位职工比原计划多付 5 元车费。问原计划有多少名职工参加这次郊游? 5

3、非零的两个实数 a、b,规定 a*b= -

1 1 5 ? ,若 2*(2x-1)=1,x 为( )A、 b a 6

5 4

C、

3 2

D、

1 6 2m ? x 2 ? 1 ? 无解,则 m 的值为( x?3 x
)A、-1.5 B、1 C、-1.5 或 2 D、-0.5 或-1.5

13、在暴雨到来之前,武警某部承担了一段长 120 米的河堤加固任务,加固 20 米后,接到上级抗旱防汛指挥部 的指示,要求加快施工进度,每天多加固 30 米,这样一共用了 3 天完成了任务.接到指示后,该部队每天加固河 堤多少米? ) D、1+(1-x)=1

4、分式方程

5、分式方程

1 1? x ? ? 1 的两边同乘(x-2) ,约去分母得( x?2 2? x
B、1-(1-x)=x-2

A、1+(1-x)=x-2

C、1-(1-x)=1

6、如果分式方程

x m ? 无解,则 m 的值为( x ?1 x ?1

14、已知不等式组 ? )A、1 B、0 C、-1 D、-2

? x ? 2>m ? n 2009 的解集为-1<x<2,则(m+n) =? ? x ? 1<m ? 1

7、甲、乙两班进行植树活动,根据提供的信息可知:①甲班共树枝 90 棵,乙班共植树 129 棵;②乙班的人数比 甲班的人数多 3;③甲班每人植树是乙班每人植树的 列方程正确的是( )

3 ,若设甲班的人数为 x,则两班的人数各是多少?下列所 4 3 90 129 ? C、 ? 4 x?3 x 3 90 129 ? D、 ? 4 x x?3

15、一组学生乘汽车去旅游,预计共需车费 120 元.后来人数增加了 原来这组学生有多少人?

1 ,车费用仍不变,这样每人可少摊 3 元, 4

90 3 129 ? ? A、 x 4 x?3
8、关于 x 的方程

90 3 129 ? ? B、 x?3 4 x

5ax ? 1 41 ? 的根为 x=2,求 a 的值 2a ? 3 x 2 a ? bx ? 1 的解. x

16、甲、乙两地相距 360km,新修的高速公路开通后,在甲、乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了 50%, 而从甲地到乙地的时间缩短了 2h。试确定原来的平均速度。

9、已知 a ? 1 ? b ? 2 ? 0 ,求方程

10、已知关于 x 的方程

2x ? m ? 3 的解是正数,则 m 的取值范围为? x?2

17、一宾馆,若每间住 5 人,那么 12 人没处住;如果每间住 8 人,则一间房子中还余一些床位。宾馆有?间房 住宿学生有?人

11、解分式方程: 1)

2 3 ?1 ? 3x ? 1 6x ? 2

2)

3 1 4 ? ? 2 x ? 2 x x ? 2x

3)

2 1 ? ?1 x ?1 x ?1
2

18、某校校长暑假将带领校、市级“三好学生”去北京旅游.甲旅行社说: “如果校长买全票,则其余学生可享受 半价优惠.”乙旅行社说: “包括校长在内全部票价 6 折优惠” ,若全票价为 240 元.

1) 设学生数为 x,甲旅行社收费为 y 甲,乙旅行社收费为 y 乙,分别计算两家旅行社的收费.(表达式) 2) 当学生数量是多少时,两家旅行社的收费一样? 3) 就学生数 x 讨论,哪家旅行社更优惠.

19、已知方程组 ?

?2 x ? y ? 5m ? 6 的解 x、y 都是正数,求 m 的取值范围. ? x ? 2 y ? ?17

例题 2:某自来水公司水费计算办法如下:若每户每月用水不超过 5 m3,则每立方米收费 1.5 元;若 每户每月用水超过 5 m3,则超出部分每立方米收取较高的定额费用.1 月份,张家用水量是李家用水 2 量的 , 张家当月水费是 17.5 元, 李家当月水费是 27.5 元.超出 5 m3 的部分每立方米收费多少元? 3

分式方程经典习题
1、有两块面积相同的试验田,分别收获蔬菜 900kg 和 1500kg,已知第一块试验田每亩收获蔬菜比 第二块少 300kg,求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克.设一块试验田每亩收获蔬菜 x kg, 根据题意,可得方程( A. ) 课堂练习: 1.小明和同学一起去书店买书,他们先用 15 元买了一种科普书,又用 15 元买了一种文学书.科普 书的价格比文学书高出一半,因此他们所买的科普书比所买的文学书少 1 本,这种科普书和这种文 学书的价格各是多少?
900 1500 900 1500 900 1500 900 1500 ? ? ? ? ;B. ;C. ; D. x ? 300 x x x ? 300 x x ? 300 x ? 300 x 2.某化肥厂计划在 x 天内生产化肥 120 吨, 由于采用了新技术, 每天多生产化肥 3 吨, 实际生产 180 吨与原计划成本生产 120 吨的时间相等,那么适合 x 的方程是( ) 120 180 120 180 120 180 120 180 ? ? ? ? A. B. C. D. x?3 x x?3 x x x?3 x x?3 3.全民健身活动中,组委会组织了长跑队和自行车进行宣传,全程共 10 千米,自行车队速度是长 跑队的速度的 2.5 倍,自行车队出发半小时后,长跑队才出发,结果长跑队比自行车车队晚到了 2 小时候,如果设长跑队跑步的速度为 x 千米/时,那么根据题意可列方程为 ( ) 10 10 1 10 10 ? ? ? 2 ? 0.5 A ?2? B. x 2.5 x 2 2 .5 x x 10 10 10 10 ? 2 ? 0.5 ? 2 ? 0 .5 C ? D. ? x 2. 5 x x 2 .5 x 4、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作.甲队单独工作 2 天完成总量的三分之一, 这时增加了乙队,两队又共同工作了 1 天,总量全部完成.那么乙队单独完成总量需要( ) A.6 天 B.4 天 C.3 天 D.2 天 5、 (2007 河北课改,2 分)炎炎夏日,甲安装队为 A 小区安装 66 台空调,乙安装队为 B 小区安装 60 台空调,两队同时开工且恰好同时完工,甲队比乙队每天多安装 2 台.设乙队每天安装 x 台, 根据题意,下面所列方程中正确的是( )
66 60 ? A. x x ? 2 66 60 ? B. x ? 2 x 66 60 ? C. x x ? 2 66 60 ? D. x ? 2 x

2.在抗震救灾活动中,某厂接到一份订单,要求生产 7200 顶帐篷支援四川灾区,后来由于情况紧急, 接收到上级指示,要求生产总量比原计划增加 20%,且必须提前 4 天完成生产任务,该厂迅速加派人 员组织生产,实际每天比原计划每天多生产 720 顶,请问该厂实际每天生产多少顶帐篷?

3.某文化用品商店用 2000 元购进一批学生书包,面市后发现供不应求,商店又购进第二批同样的 书包,所购数量是第一批购进数量的 3 倍,但单价贵了 4 元,结果第二批用了 6300 元。 (1)求第一批购进书包的单价是多少元? (2)若商店销售这两批书包时,每个售价都是 120 元,全部售出后,商店共盈利多少元?

6、 轮船先顺水航行 46 千米再逆水航行 34 千米所用的时间,恰好与它在静水中航行 80 千米所用的 时间相等,水的流速是每小时 3 千米,则轮船在静水中的速度是 ( )千米/时. 7、 某工厂原计划 a 天完成 b 件产品,由于情况发生变化,要求提前 x 天完成任务,则现在每天要 比原计划每天多生产 件产品. 例题 1: 某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多 500 元,所有房屋出租 的租金第一年为 9.6 万元,第二年为 10.2 万元。每年各有多少间房屋出租? 4、某商店在“端午节”到来之际,以 2400 元购进一批盒装粽子,节日期间每盒按进价增加 20%作 为售价,售出了 50 盒;节日过后每盒以低于进价 5 元作为售价,售完余下的粽子,整个买卖过程

共盈利 350 元,求每盒粽子的进价.

5、南宁市 2006 年的污水处理量为 10 万吨/天,2007 年的污水处理量为 34 万吨/天,2007 年平均 每天的污水排放量是 2006 年平均每天污水排放量的 1.05 倍,若 2007 年每天的污水处理率比 2006 年每天的污水处理率提高 40% (污水处理率 污水排放量 ) . (1)求南宁市 2006 年、2007 年平均每天的污水排放量分别是多少万吨?(结果保留整数) (2)预计我市 2010 年平均每天的污水排放量比 2007 年平均每天污水排放量增加 20% ,按照国家 要求“2010 年省会城市的污水处理率不低于 70% ” ,那么我市 2010 年每天污水处理量在 2007 年每 天污水处理量的基础上至少还需要增加多少万吨,才能符合国家规定的要求?
? 污水处理量

9、某书店老板去图书批发市场购买某种图书.第一次用 1200 元购书若干本,并按该书定价 7 元出 售,很快售完.由于该书畅销,第二次购书时,每本书的批发价已比第一次提高了 20%,他用 1500 元所购该书数量比第一次多 10 本.当按定价售出 200 本时,出现滞销,便以定价的 4 折售完剩余 的书. 试问该老板这两次售书总体上是赔钱了, 还是赚钱了 (不考虑其它因素) ?若赔钱, 赔多少? 若赚钱,赚多少?(和第 5 题对比,文字多、问题多,要条理清晰)

10、A、B 两地相距 18 公里,甲工程队要在 A、B 两地间铺设一条输送天然气管道,乙工程队要在 A、 B 两地间铺设一条输油管道. 已知甲工程队每周比乙工程队少铺设 1 公里, 甲工程队提前 3 周开工, 结果两队同时完成任务,求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道?

6、进入防汛期后,某地对河堤进行了加固.该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务.这是 记者与驻军工程指挥官的一段对话:
你们是用 9 天完成 4800 米 长的大坝加固任务的? 我们加固 600 米后,采用新的加固模 式,这样每天加固长度是原来的 2 倍.

11、一个工人加工 300 个零件后,由于改进了操作方法,工作效率提高为原来的 1.5 倍,再加工剩 下的 300 个零件,结果比计划提前 2 小时完成,问前后两种方法每小时各加工多少个零件?

通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数.

7、甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程,乙队先单独做 2 天后,再由两队合作 10 4 天就能完成全部工程. 已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的 , 5 求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天? 8、某超级市场销售一种计算器,每个售价 48 元.后来,计算器的进价降低了 4% ,但售价未变, 从而使超市销售这种计算器的利润提高了 5% . 这种计算器原来每个进价是多少元? (利润 ? 售价 ?
? 利润 ?100% 进价 )

进价,利润率


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