浙江省温州中学2013-2014学年高二数学上学期期中试卷 理 新人教A版

温州中学 2013 学年第一学期期中考试 高二理科数学试卷
2013.11

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的渐近线方程是 A. x ? ? 1 2. “ m ? 3 ”是“椭圆 A.充分不必要条件 C.充要条件 A.若 x ? 4 ,则 x ? 2 或 x ? ?2
2



) D. y ? ? )

B. y ? ? 2 x

C. y ? ? x (

2 x 2

x2 y 2 ? ? 1 焦距为 2 ”的 4 m

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )
2 B.若 ?2 ? x ? 2 ,则 x ? 4

2 3.命题“若 x ? 4 ,则 ?2 ? x ? 2 ”的逆否命题是(

C.若 x ? 2 或 x ? ?2 ,则 x ? 4
2

D.若 x ? 2 ,或 x ? ?2 ,则 x ? 4
2

4.双曲线 mx 2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? A.

( D. ?



1 4
2 2

B. ?4

C. 4

1 4


5.圆 x ? y ? 2 y ? 3 上的点到直线 x ? y ? 5 ? 0 的距离的最大值是( A. 3 2 ? 1 B. 3 2 ? 2 C. 3 2 ? 2

D. 3 2 ?1

x2 y 2 x2 y 2 6.已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? ?1 ? a ? b ? 0, ?1 ? 0 ? 和双曲线 C2 : 2 ? 2 ? ?2 ? ?2 ? 0 ? , a b m n
给出下列命题: ①对于任意的正实数 ?1 ,曲线 C1 都有相同的焦点; ②对于任意的正实数 ?1 ,曲线 C1 都有相同的离心率; ③对于任意的非零实数 ?2 ,曲线 C2 都有相同的渐近线; ④对于任意的非零实数 ?2 ,曲线 C2 都有相同的离心率. 其中正确的为( A.①③ 7. 直线 l 与双曲线 ) B.①④ C.②③ D.②④

x2 ? y 2 ? 1的同一支相交于 A, B 两点, 线段 AB 的中点在直线 y ? 2 x 上, 2

1

则直线 AB 的斜率为(

A. 4

B. 2

C.

1 2

D.

1 4

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一个焦点,过 F 作直线 l 与一条渐近线平行, a 2 b2 u r u u r u1 M ?M N , 直线 l 与双曲线交于点 M , 与 y 轴交于点 N , 若F 则双曲线的离心率为 ( ) 2
8. F 是双曲线 A. 2 B. 3 C. 5 D. 10

9.已知点 A(?3, 0) 和圆 O : x2 ? y 2 ? 9 , AB 是圆 O 的直径, M 和 N 是 AB 的三等分点,

P (异于 A, B )是圆 O 上的动点, PD ? AB 于 D , PE ? ? ED(? ? 0) ,直线 PA 与 BE
交于 C ,要使 CM ? CN 为定值,则 ? 的值为( A. )

1 8

B.

1 10

C.

1 2

D. 1

10.已知点 P 在 ?ABC 内(包括边界) ,且 AP ? ? AB ? ? AC ,若对于满足条件的 ? 和 ? , 都有 a? ? b? ? 2 成立,则动点 Q (a, b) 形成的平面区域的面积( A. 8 B. 16 C. 32 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) D. 64 )

? x ? 0, ? 11. 设 x, y 满足约束条件 ? y ? 0, 则目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值是______________. ? x ? y ? 1 ? 0, ?
12.直线 x ? y ? 5 ? 0 被圆 x ? y ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 所截得的弦长等于______________.
2 2

13.写出直线 y ? x ? m 与圆 x ? y ? 1相交的一个必要不充分条件:______________.
2 2

14.已知点 Q(m,0) , P 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1的动点. 若点 P 恰在椭圆的右顶点时,P, Q 两 4

点的距离最小,则实数 m 的取值范围为______________. 15 . 设 F1 , F2 是 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 右 焦 点 , 若 该 椭 圆 上 一 点 P 满 足 a 2 b2

O 为圆心,以 b 为半径的圆与直线 PF1 有公共点,则该椭圆离心率 PF 2 ? F 1 F 2,且以原点

e 的取值范围是______________.

2

学号 班级 姓名 ????????????????密????????????????封???????????????线?????????????

温州中学 2013 学年第一学期期中考试 高二理科数学答题卷 2013.11 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。 ) 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.) 11. 14. _____________ 12. ____ ___ 15.

8

9

10

13._____________________

三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.设 p :方程 x2 ? y 2 ? kx ? ky ? k 2 ? 2 ? 0 表示圆;

q :函数 f ( x) ? (k ? 1) x ? 1在 R 上是增函数.
如果 p ? q 是真命题, p ? q 是假命题,求实数 k 的取值范围.

17.已知圆 C 的圆心 C 为 (?3, 4) ,且与 x 轴相切. (1)求圆 C 的标准方程;
3

(2) 若关于直线 y ? k ( x ? 1) 对称的两点 M , N 均在圆 C 上, 且直线 MN 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相 切,试求直线 MN 的方程.

18.已知点 A(?2, 0) , B(2, 0) , M (?1, 0) ,直线 PA, PB 相交于点 P ,且它们的斜率之积

4

3 . 4 (1)求动点 P 的轨迹方程;
为? (2)试判断以 PM 为直径的圆与圆 x 2 ? y 2 =4 的位置关系,并说明理由; (3)直线 PM 与椭圆的另一个交点为 N ,求 ?OPN 面积的最大值( O 为坐标原点) .

19.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ? (1)求椭圆 C 的方程;

1 ,一个顶点的坐标为 (0, 3) . 2

5

(2)椭圆 C 的左焦点为 F , 右顶点为 A ,直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 M , N 两点 且 AM ? AN ? 0 ,试问:是否存在实数 ? ,使得 S?FMN ? ? S?AMN 成立,若存在,求出 ? 的 值;若不存在,请说明理由.

y
M F

O
N

A

x

温州中学 2013 学年第一学期期中考试 高二数学参考答案 一、选择题(每题 4 分,共 40 分)
6

题号 1 2 3 答案 C A D 二、填空题(每题 4 分,共 20 分) 11. 0 14. m ? 12. 6

4 D

5 B

6 C

7 D

8 B

9 A

10 B

13. ? 2 ? m ? 2 的必要不充分条件均可

3 2

15. ? , ? 3 7

?1 5 ? ? ?

三、解答题(共 40 分) 16.设 p :方程 x2 ? y 2 ? kx ? ky ? k 2 ? 2 ? 0 表示圆;

q :函数 f ( x) ? (k ? 1) x ? 1在 R 上是增函数.
如果 p ? q 是真命题, p ? q 是假命题,求实数 k 的取值范围. 解: p : ?2 ? k ? 2 , q : k ? 1 由已知得 p 与 q 一真一假. 若 p 真 q 假,则有 ?

??2 ? k ? 2 , ?2 ? k ? 1 ; ?k ? 1
? k ? ?2或k ? 2 ,k ? 2. ?k ? 1
--------------------8 分

若 p 假 q 真,则有 ?

综上所述,实数 k 的取值范围是 ?2 ? k ? 1 或 k ? 2 . 17.已知圆 C 的圆心 C 为 (?3, 4) ,且与 x 轴相切. (1)求圆 C 的标准方程; (x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 16

(2) 若关于直线 y ? k ( x ? 1) 对称的两点 M , N 均在圆 C 上, 且直线 MN 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相 切,试求直线 MN 的方程. 解 : ( 1 ) 圆

C











为 (x ? 3) ? ( y ? 4) ? 16
2 2

-----------------3 分 (2)由已知得直线 y ? k ( x ? 1) 过圆心 C (?3, 4) ,所以 k ? ?1 设直线 MN 的方程为 y ? x ? b , 圆 x ? y ? 2 的圆心到直线 MN 的距离为 2 ,故有
2 2

b 2

? 2,
-----------------8

解得 b ? ?2 , 经检验, 直线 MN 的方程为 y ? x ? 2 分

18.已知点 A(?2, 0) , B(2, 0) , M (?1, 0) ,直线 PA, PB 相交于点 P ,且它们的斜率之积
7

3 . 4 (1)求动点 P 的轨迹方程;
为? (2)试判断以 PM 为直径的圆与圆 x 2 ? y 2 =4 的位置关系,并说明理由; (3)直线 PM 与椭圆的另一个交点为 N ,求 ?OMN 面积的最大值( O 为坐标原点) . 解: (1)设 P( x, y) ,由已知得

y y 3 ? ? ? ( x ? ?2) x?2 x?2 4

x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 , 所 以 点 P 的 轨 迹 方 程 为 ? ? 1 ( x ? ?2) . 化 简 得 4 3 4 3
--------------------3 分 (2)解法 1:设点 P( x0 , y0 ), PB 的中点为 Q ,则 Q (

x0 ? 1 y 0 , ), 2 2

2 2 | PB |? ( x0 ? 1) 2 ? y0 ? x0 ? 2 x0 ? 1 ? 3 ?

3 2 1 2 1 x0 ? x0 ? 2 x0 ? 4 ? 2 ? x0 , 4 4 2

即以 PB 为直径的圆的圆心为 Q(
2 2

x0 ? 1 y 0 1 , ) ,半径为 r1 ? 1 ? x 0 , 4 2 2

又圆 x ? y ? 4 的圆心为 O(0,0) ,半径 r2 ? 2 ,

| OQ |? (

x0 ? 1 2 y 1 2 1 1 1 3 2 1 2 1 ) ? ( 0 )2 ? x0 ? x0 ? ? (3 ? x0 )? x0 ? x0 ? 1 2 2 4 2 4 4 4 16 2
------------------7

? 1?


1 x0 ,故 OQ ? r2 ? r1 ,即两圆内切. 4

解法 2:由椭圆的定义得 PM ? PN ? 2a ? 4 圆心距 OO ' ?

y P O' M O N x

1 1 PN ? 2 ? PM ? 2 ? O ' M 2 2
2 2

所以以 PB 为直径的圆与圆 x ? y =4 内切.

(3)解法 1: 若直线 PN 的斜率不存在,则 PN : x ? ?1 ,解得 P ? ?1, ? , N ? ?1, ? ? ,

? ?

3? 2?

? ?

3? 2?

8

3 PN ? 3 , S ?PON ? ; 2
若直线 PN 的斜率存在,设直线 PN 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 y 2 得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 , ?1 ? ? ?4 3
设 P ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ? , ? ? 64k 4 ? 4(4k 2 ? 3)(4k 2 ?12) ? 144(k 2 ? 1) ,

? 12(1 ? k 2 ) , PN ? 1 ? k x1 ? x2 ? 1 ? k ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
2 2

原点 O 到直线 PN 的距离 d ?

k 1? k 2



所以 S ?PON

6 1? k 2 k 1 k2 ? k4 ? PN d ? ? 6 2 4k 2 ? 3 (4k 2 ? 3) 2

设 4k ? 3 ? t , 则 t ? 3 ,则有 S ?PON
2

3 1 1 3 ?1 1 ? 1 ?6 ? 2 ? ? ?6 ? ? ? ? ? 16t 8t 16 16 ? t 3 ? 12

2

1 1 ? 3? 0 ? ? ,? S?PON ? ? 0, ? . t 3 ? 2?
综上所述, S ?PON 的最大值为

3 . 2

------------------12 分

解法 2:设直线 PN 的方程为 x ? my ? 1 .

? x ? my ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 得 (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4
设 P ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ? , ? ? 144(m2 ? 1) ,

y1 ? y2 ?

? 12 m2 ? 1 , ? 3m2 ? 4 3m2 ? 4

S?PON

1 6 m2 ? 1 m2 ? 1 ? OM y1 ? y2 ? ?6 2 3m2 ? 4 (3m2 ? 4) 2
2

设 3m ? 4 ? t , 则 t ? 4 ,则有 S ?PON ? 6

t ?1 1 ?1 1 ? 1 ?6 ? ? ? ? ? 2 3t 3 ? t 2 ? 12

2

9

1 1 1 1 3 m ? 0 时,S ?PON 的最大值为 . ------------------12 0? ? , 即t ? 4, ?当 ? , t 4 t 4 2


19.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ? (1)求椭圆 C 的方程;

1 ,一个顶点的坐标为 (0, 3) . 2

(2)椭圆 C 的左焦点为 F , 右顶点为 A ,直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 M , N 两点 且 AM ? AN ? 0 ,试问:是否存在实数 ? ,使得 S?FMN ? ? S?AMN 成立,若存在,求出 ? 的 值;若不存在,请说明理由.

y
M F

O
N

A

x

解: (1)由题意设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), a 2 b2

e?

c 1 ? , b ? 3 , a 2 ? c 2 ? 3 ,解得: a ? 2 . a 2
------------------5 分

?

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

? y ? kx ? m ? 2 2 2 (2)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 (3 ? 4k ) x ? 8mkx ? 4(m ? 3) ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4

? ? 64m2k 2 ?16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 .
? x1 ? x2 ? ? 8mk 4(m2 ? 3) , x ? x ? . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3(m2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2
10

y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m2 ?

A(2,0), AM ? AN ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0 ,

? y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ,
3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ? ? ? 4 ? 0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ,解得 m1 ? ?2k , m2 ? ?

2k ,且满足 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 . 7

当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2,0), 与已知矛盾; 当m ? ?

2k 2 ?2 ? 时, l : y ? k ( x ? ) ,直线过定点 P ? ,0 ? . 7 7 ?7 ?

综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 P ? ,0 ? .

?2 ?7

? ?

F (?1, 0) , S?FMN : S?AMN ? PF : AP ? 3: 4 .
3 S ?AMN . 4 3 3 所以存在 ? ? ,使得 S ?FMN ? S ?AMN . 4 4 S ?FMN ?

------------------12 分

11


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