2016版《一点一练》高考数学(文科)专题演练:第三章 三角函数、解三角形(含两年高考一年模拟)


第三章 三角函数、解三角形 考点 10 三角函数的概念

两年高考真题演练 5 1.(2015· 福建)若 sin α =-13,且 α 为第四象限角,则 tan α 的值等于( 12 A. 5 5 C.12 ) 12 B.- 5 5 D.-12 )

2.(2015· 四川)下列函数中,最小正周期为π 的奇函数是(
? π? A.y=sin?2x+ ? 2? ? ? π? B.y=cos?2x+ ? 2? ?

C.y=sin 2x+cos 2x 3.

D.y=sin x+cos x

(2014· 新课标全国Ⅰ)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点, P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作 直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函 数 f(x),则 y=f(x)在[0,π ]上的图象大致为( )

4.(2014· 安徽)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π )=f(x)+sin x.当

0≤x<π 时,f(x)=0,则 f? 1 A.2 C.0

?23π ? ?=( ? 6 ?

)

3 B. 2 1 D.-2

5. (2015· 四川)已知 sin α +2cos α =0, 则 2sin α cos α -cos2 α 的值是________. 6.(2015· 广东)已知 tan α =2.
? π? (1)求 tan?α+ ?的值; 4? ?

sin 2α (2)求 2 的值. sin α +sin α cos α -cos 2α -1

7.(2015· 浙江)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c.已知 tan?
? ?π ?=2. 4 +A ? ?

sin 2A (1)求 的值; sin 2A+cos2 A π (2)若 B= 4 ,a=3,求△ABC 的面积.

考点 10

三角函数的概念

一年模拟试题精练 1 1. (2015· 济南一中高三期中)若点(4, a)在 y=x2的图象上, 则 tan a 6π 的值为( A.0 ) 3 B. 3 C.1 D. 3

2.(2015· 贵州调研)点 P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运 2π 动 3 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐标为(
? 1 3? A.?- , ? 2? ? 2 ? 1 3? C.?- ,- ? 2? ? 2

)

B.?-
? ? ?

?

3 1? ? ,- 2 2? 3 1? ? 2 ,2?

D.?-

10π 3.(2015· 乐山市调研)若点 P 在- 3 角的终边上,且 P 的坐标 为(-1,y),则 y 等于( 3 A.- 3 3 B. 3 ) C.- 3
?2 014π ? ?的值为( 3 ? ?

D. 3 )

4.(2015· 山西省二诊)cos? 1 A.2 3 B. 2

1 C.-2

3 D.- 2

?π ? 3 5.(2015· 厦门市质检)若 α∈? ,π ?,sin(π -α)=5,则 tan α ?2 ?

=(

) 4 A.-3 4 B.3 3 C.-4 3 D.4

6.(2015· 泗水二调)设 α 是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一

1 点,且 cos α =5x,则 tan α =( 4 3 3 4 A.3 B.4 C.-4 D.-3

)

7.(2015· 湖北八校一联)下列函数中 ,对于任意 x∈R,同时满 足条件 f(x)=f(-x)和 f(x-π )=f(x)的函数是( A.f(x)=sin x B.f(x)=sin xcos x C.f(x)=cos x D.f(x)=cos2x-sin2x 8.(2015· 南充市第一次适应性考试)已知角 α 的终边经过点 P(2, sin α -cos α -1),则 =( sin α +cos α ) )

1 1 A.3 B.3 C.-3 D.-3 1 9 . (2015·江 西 省 质 检 三 ) 已 知 sin(α - π ) = log8 4 , 且
? 3π π? α∈?- ,- ?,则 tan(-α )的值为( 2 2? ?

)

2 5 2 5 5 5 A.- 5 B. 5 C.- 2 D. 2 10. (2014· 郑州预测)若 sin ?
? ?π ? 1 ?π ? ?= , ? +α?=________. 则 cos - α 4 3 6 ? ? ? ?π ? ?, 2 ,π ? ?

11.(2015· 黄冈中学检测)已知 sin 2α =-sin α ,α ∈? 则 tan α 的值是________.

? ?π ? π? 12.(2015· 湛江市调研)已知函数 f(x)=2sin?2x+ ?+m,且 f? ? 6? ? ?6?

=6. (1)求 m 的值;
?π ? 5π ? π? 28 (2)若 f(θ)= 5 ,且 θ∈? , ?,求 sin?4θ + ?的值. 12 ? 3? ?6 ?

x x x 1 13.(2015· 深圳五校一联)已知函数 f(x)=cos22-sin 2cos 2-2. (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; 3 2 (2)若 f(α)= 10 ,求 sin 2α 的值.

考点 11 三角恒等变换 两年高考真题演练 1.(2015· 新课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= ( ) 3 A.- 2 3 B. 2 1 C.-2 1 D.2 )

1 1 2.(2015· 重庆)若 tan α =3,tan(α+β)=2,则 tan β =( 1 A.7 1 B.6 5 C.7 5 D6

? 3π ? cos?α - ? 10 ? π ? 3.(2015· 重庆)若 tan α =2tan 5 ,则 ? =( π? sin?α - ? 5 ? ?

)

A.1

B.2

C.3

D.4

4.(2015· 浙江)函数 f(x)=sin2 x+sin xcos x+1 的最小正周期是

________,最小值是________.
? x ?π 5.(2015· 湖北)函数 f(x)=4cos22cos? -x?-2sin x-|ln(x+1)|的 ?2 ?

零点个数为________. 6.(2014· 新课标全国Ⅱ)函数 f(x)=sin(x+φ)-2sin φ cos x 的最 大值为________. 7.(2015· 安徽)已知函数 f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x. (1)求 f(x)的最小正周期;
? π? (2)求 f(x)在区间?0, ?上的最大值和最小值. 2? ?

8.(2015· 重庆)已知函数 f(x)=sin?
?



?sin x- 3cos2x. - x 2 ?

?

(1)求 f(x)的最小正周期和最大值;
?π 2π (2)讨论 f(x)在? , 3 ?6 ? ?上的单调性. ?

? π? 9.(2014· 四川)已知函数 f(x)=sin?3x+ ?. 4? ?

(1)求 f(x)的单调递增区间;
?α ? 4 ? π? (2)若 α 是第二象限角,f? ?=5cos?α + ?cos 2α ,求 cos α - 4? ?3? ?

sin α 的值.

考点 11 三角恒等变换 一年模拟试题精练
? π ? 3 1.(2015· 北京东城区高三期末)已知 cos α =4,α ∈?- ,0?, ? 2 ?

则 sin 2α 的值为(

)

3 3 3 7 3 7 A.8 B.-8 C. 8 D.- 8 5 2.(2015· 大庆市质检二)已知 sin α = 2 ,则 sin2α -cos2α 的值 为( ) 1 3 1 3 A.-5 B.-5 C.5 D.5 2 3.(2015· 玉溪一中高三检测)已知 sin α =3,则 cos(π -2α )= ( )

5 1 1 5 A.- 3 B.-9 C.9 D. 3 3 ? ? 4 4. (2015· 山东省实验中学二诊)已知 α∈?π ,2π ?, cos α =-5, ? ?
?π ? 则 tan? -α?等于( ?4 ?

)

1 1 A.7 B.7 C.-7 D.-7 5.(2014· 云南统考)若 sin?
? ?π ? 1 ?π ? ?= ,则 cos? +2α?=( - α 4 3 3 ? ? ?

)

7 1 1 7 A.-8 B.-4 C.4 D.8 6.(2015· 成都市一诊)已知 cos? 2α 的值是( )
?5π ? 3 π ?= ,- <α<0,则 sin + α 2 ? 2 ? 5

24 12 12 24 A.25 B.25 C.-25 D.-25 7.(2015· 绵阳市一诊)已知 cos?
? ?π ? 3 ?= ,那么 sin 2x=( - x 5 4 ?

)

18 24 7 7 A.25 B.±25 C.-25 D.25 8.(2015· 山西省二诊)已知 α 为第三象限角,且 sin α +cos α =2m,sin 2α =m2,则 m 的值为( )

3 3 1 2 A. 3 B.- 3 C.-3 D.- 3
? 3π ? 1 9 . (2015· 泰 安市检 测 ) 已知 sin ?α + ? = 3 , 则 cos 2 α = 2 ? ?

________. 10.(2015· 南京市调研)函数 f(x)=cos2x-sin2x 的最小正周期为 ________.

11.(2015· 乐山市调研)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ ≤π )为偶函数,其图象上相邻的两个最高点间的距离为 2π . (1)求 f(x)的解析式;
? ?3π ? π? 1 ?的值. (2)若 α 为锐角,且 f?α + ?=3,求 sin? + α 3? ? ? 2 ?

考点 12

三角函数的图象和性质

两年高考真题演练
? π? 1.(2015· 山东)要得到函数 y=sin?4x- ?的图象,只需将函数 y 3? ?

=sin 4x 的图象(

)

π π A.向左平移12个单位 B.向右平移12个单位 π π C.向左平移 3 个单位 D.向右平移 3 个单位 2.(2015· 新课标全国Ⅰ)

函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示, 则 f(x)的单调递减区

间为(

)

1 3? ? A.?kπ -4,kπ +4?,k∈Z ? ? 1 3? ? B.?2kπ -4,2kπ +4?,k∈Z ? ? 1 3? ? C.?k-4,k+4?,k∈Z
? ?

1 3? ? D.?2k-4,2k+4?,k∈Z
? ?

3.(2014· 安徽)若将函数 f(x)=sin 2x+cos 2x 的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是( π A. 8 π B. 4 3π C. 8 5π D. 4 )

4.(2014· 新课标全国 Ⅰ)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y
? ? π? π? =cos?2x+ ?,④y=tan?2x- ? 中,最小正周期为π 的所有函数为 6? 4? ? ?

(

) A.②④ B.①③④ C.①②③ D.①③ 5.(2015· 陕西)

如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y =3sin?
? ?π ?+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大 6 x +φ ? ?

值为________. 6.(2015· 天津)已知函数 f(x)=sin ω x+cos ω x(ω>0),x∈R. 若函数 f(x)在区间(-ω, ω )内单调递增, 且函数 y=f(x)的图象关于直

线 x=ω 对称,则 ω 的值为________. 7.(2015· 湖南)已知 ω>0,在函数 y=2sin ω x 与 y=2cos ω x 的 图象的交点中, 距离最短的两个交点的距离为 2 3, 则 ω=________. 1 8.(2015· 重庆)已知函数 f(x)=2sin 2x- 3cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期和最小值; (2)将函数 f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐
?π ? 标不变,得到函数 g(x)的图象,当 x∈? ,π ?时,求 g(x)的值域. ?2 ?

考点 12

三角函数的图象和性质

一年模拟试题精练 1. (2015· 怀化市监测)函数 f(x)=1-2sin2x 的最小正周期是( 1 A.2 B.2 C.2π D.π )

2.(2015· 泰安市检测)设 a=sin 31°,b=cos 58°,c=tan 32°, 则( ) A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.b>c>a 3.(2015· 宝鸡市质检)设 x 是三角形的最小内角,则函数 y=sin x +cos x 的值域是( )

A.(0, 2] B.[- 2, 2]

C.(1, 2] D.?1,
?

?

3+1? ? 2 ?

4.(2015· 绵阳市一诊)在(0,2π )内,使|sin x|≥cos x 成立的 x 的 取值范围是( A.?


)

?π 7π ? 5π ? ? B.? , ? , 4 ? 4 ? ?4 ?4

? ? ? 5π ? π ? ?7π C.?0, ? D.?0, ?∪? ,2π ? 4 ? 4? ? 4 ? ? ?

5 . (2015· 赤 峰 市 统 考 ) 已 知 函 数

y = sin(ωx +

? π? φ)?ω >0,0<φ≤ ?,且此函数的图象如图所示,由点 P(ω,φ )的 2? ?

坐标是(

)

? ? π? π? A.?2, ? B.?2, ? 2? 4? ? ? ? ? π? π? C.?4, ? D.?4, ? 2? 4? ? ?

6.(2015· 黄冈市质检)已知函数 y=2015cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ <π ),满足 f(-x)=-f(x),其图象与直线 y=0 的某两个交点的横坐 标分别为 x1,x2,|x1-x2|的最小值为π ,则( π A.ω =2,φ = 4 π C.ω =1,φ = 4 π B.ω =2,φ = 2 π D.ω =1,φ = 2 )

? π ? 7.(2015· 四川省统考 )点 P?- ,2? 是函数 f(x)=sin(ωx+φ)+ ? 6 ?

π m(ω>0, |φ |< 2 )的图象的一个对称中心, 且点 P 到该图象的对称轴 π 的距离的最小值为 2 ,则( A.f(x)的最小正周期是π B.m 的值为 1 π C.f(x)的初相 φ 为 3
?4 ? D.f(x)在?3π ,2π ?上单调递增 ? ?

)

8 . (2015· 怀 化 市 监 测 ) 函 数 y = 2sin ?
?



?单调增区间为 3 -2x ?

?

________. 9. (2015· 烟台市检测)将函数 y=f(x)图象向上平移一个单位长度, π 再向左平移 4 个单位长度,则所得图象对应的函数 y=2cos2x,则 f(x) =________. 1 10.(2015· 武汉市调研)已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)-2.
?π ? 2 (1)若 sin? +α?= 2 ,且 0<α<π ,求 f(α)的值; ?4 ?

(2)当 f(x)取得最小值时,求自变量 x 的集合.

考点 13

解三角形

两年高考真题演练 1.(2015· 广东)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, 3 c.若 a=2,c=2 3,cos A= 2 ,且 b<c,则 b=( A. 3 B.2 2 C.2 D. 3 1 2.(2014· 新课标全国Ⅱ)钝角三角形 ABC 的面积是2,AB=1, BC= 2,则 AC=( ) )

A.5 B. 5 C.2 D.1 2π 3.(2015· 北京)在△ABC 中,a=3,b= 6,∠A= 3 ,则∠B =________. 4.(2015· 重庆)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 1 且 a=2,cos C=-4,3sin A=2sin B,则 c=________. 5.(2015· 湖北)

如图, 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶, 到 A 处时测得 公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上, 行驶 600 m 后到达 B 处, 测得此山顶在西偏北 75°的方向上, 仰角为 30°, 则此山的高度 CD =________m. 6. (2014· 福建)在△ABC 中, A=60°, AC=4, BC=2 3, 则△ABC 的面积等于________. 7.(2015· 天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, 1 b,c.已知△ABC 的面积为 3 15,b-c=2,cos A=-4.
? π? (1)求 a 和 sin C 的值;(2)求 cos?2A+ ?的值. 6? ?

8.(2015· 新课标全国Ⅰ)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B, C 的对边,sin2B=2sin Asin C. (1)若 a=b,求 cos B; (2)设 B=90°,且 a= 2,求△ABC 的面积.

考点 13

解三角形

一年模拟试题精练 1.(2015· 常德市期末统考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边 分别为 a,b,c,若 a=9,b=6,A=60°,则 sin B=( 1 1 3 3 A.-3 B.3 C. 3 D.- 3 2.(2015· 北京西城区高三期末)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所 3 对的边分别为 a,b,c.若 a=2b,sin B= 4 ,则( π A.A= 3 π B.A= 6 ) )

3 2 C.sin A= 3 D.sin A=3

3. (2015· 北京昌平区高三期末)在△ABC 中, ∠A=60°, AC= 2, BC= 3,则∠B 等于( )

A.120° B.90° C.60° D.45° 4.(2015· 黄冈中学检测)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 所对应的 边分别为 a,b,c,若 b=2a sin B,则角 A 等于( A.30° B.45° C.60° D.75° 5.(2015· 临川一中检测)已知△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对 边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为 S,且 2S=(a+b)2-c2,则 tan C 等于( ) )

3 4 3 4 A.4 B.3 C.-4 D.-3 6.(2015· 福州市质检)若△ABC 中 B=60°,点 D 为 BC 边中点, 且 AD=2,∠ADC=120°,则△ABC 的面积等于( )

A.2 B.3 C. 3 D.2 3 7.(2015· 北京朝阳区期末)

如图,塔 AB 底部为点 B,若 C,D 两点相距为 100 m 并且与点 B 在同一水平线上, 现从 C, D 两点测得塔顶 A 的仰角分别为 45°和 30°,则塔 AB 的高约为(精确到 0.1 m, 3≈1.73, 2≈1.41)( A.36.5 B.115.6 C.120.5 D.136.5 8.(2015· 湛江市调研)在△ABC 中,边 a、b 所对的角分别为 A、 π 3 B,若 cos A=-5,B= 6 ,b=1,则 a=( 8 4 16 5 A.5 B.5 C. 5 D.8 9.(2015· 成都市一诊)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, 1 b,c,若 c=2a,b=4,cos B=4,则边 c 的长度为________. 10.(2015· 潍坊市质检) ) )

某中学举行升旗仪式,如图所示,在坡度为 15°的看台上,从 正对旗杆的一列的第一排到最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°, 第一排和最后一排的距离 AB=10 6 m, 则旗杆 CD 的 高度为________m. 11.(2015· 山西省二诊)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别 为 a,b,c,满足(a-b)(sin A-sin B)=csin C-asin B. (1)求角 C 的大小;

3 b (2)若 c= 7,a>b,且△ABC 的面积为2 3,求a的值. 12.(2015· 衡水中学二调)

1 3 如图,△ABC 中,sin2∠ABC= 3 ,AB=2,点 D 在线段 AC 上, 4 3 且 AD=2DC,BD= 3 . (1)求 BC 的长; (2)求△DBC 的面积.

参考答案 第三章 三角函数、解三角形 考点 10 【两年高考真题演练】 5 12 1. D [∵sin α=-13, 且 α 为第四象限角, ∴cos α=13, ∴tan 三角函数的概念

α=

sin α 5 =-12,故选 D.] cos α
? ? π? π? 2.B [y=sin?2x+ ?=cos 2x 为偶函数,y=cos?2x+ ?=-sin 2? 2? ? ?

2x 是周期为π的奇函数,故选 B.]
? π? 3.B [由题意知,f(x)=|cos x|·sin x,当 x∈?0, ?时,f(x)= 2? ? ?π ? 1 1 cos x·sin x=2sin 2x;当 x∈? ,π?时,f(x)=-cos x·sin x=-2sin ?2 ?

2x,故选 B.] 4.A [f? f?
?23π? ?17π? 17π ?11π? 17π 11π ?=f? ?+sin ? ?+sin = f + sin 6 6 6 = ? 6 ? ? 6 ? ? 6 ?

?5π? ? π? 1 17π 11π 5π 5π ?+sin ?- ?= .] + sin + sin = 2sin + sin 6 6 6 6 ? 6 ? ? 6? 2

5.-1

[sin α+2cos α=0,

∴sin α=-2cos α,∴tan α=-2, 2sin α·cos α-cos2x 又 ∵ 2sin α cos α - cos α = = sin2α+cos2α
2

2tan α-1 , tan2α+1 2?(-2)-1 ∴原式= =-1.] (-2)2+1 π tan α + tan ? 4 tan α +1 2+1 π? (1)tan?α + ?= = = =- 4? π 1-tan α 1-2 ? 1-tan α tan 4

6.解

3; sin 2α (2) 2 sin α +sin α cos α -cos 2α -1 = = = 2sin α cos α sin α +sin α cos α -(2cos2α -1)-1
2

2sin α cos α sin α +sin α cos α -2cos2α
2

2tan α 2?2 = 2 =1. tan α +tan α -2 2 +2-2
2

7.解

(1)由 tan?
?



? 1 ?=2,得 tan A= . + A 3 4 ?

sin 2A 2tan A 2 所以 =5. 2 = sin 2A+cos A 2tan A+1

1 10 3 10 (2)由 tan A=3,A∈(0,π ),得 sin A= 10 ,cos A= 10 . π a b 又由 a=3,B= 4 及正弦定理sin A=sin B,得 b=3 5.
? π? 2 5 由 sin C=sin(A+B)=sin?A+ ?得 sin C= 5 , 4? ?

1 设△ABC 的面积为 S,则 S=2absin C=9. 【一年模拟试题精练】 1 π a 1.D [∵a=42=2,∴tan 6π=tan 3 = 3.] 2π 2. A [由三角形函数定义可知 Q 点的坐标(x, y)满足 x=cos 3 2π 1 3 =-2,y=sin 3 = 2 ,故选 A.] 10π 2π 10π 2π 3.D [- 3 =-4π+ 3 ,所以- 3 与 3 的终边相同, 2π 所以 tan 3 =- 3=-y,则 y= 3.] 4.C [cos ?
?2 014π? ? 4π 4π? ? = cos ?670π+ ? = cos 3 = cos 3 ? 3 ? ? ?

? π π? 1 ?π+ ?=-cos =- 3 2.] 3? ? ?π ? 3 5.C [∵sin(π-α)=sin α=5,α∈? ,π?, ?2 ?

sin α 4 3 ∴cos α=-5,故 tan α= =-4.] cos α 6.D x [由题意知: x< 0, r= |OP|= x2+16,故 cos α= r =

x 1 x 1 ,又 cos α=5x,∴ 2 =5x,解之得:x=-3, x +16 x +16
2

y 4 ∴tan α=x=-3.] 7.D [由 f(x)=f(-x),f(x-π)=f(x)得 f(x)是 R 上周期为π的 偶函数,f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x 满足要求.] 1 8.D [因为角 α 终边经过点 P(2,-1),所以 tan α=-2,则 1 -2-1 sin α-cos α tan α-1 = = 1 =-3,故选 D.] sin α+cos α tan α+1 -2+1 1 2 2 9.B [sin (α-π)=-sin α,log84=-3,故 sin α=3,又α
? 3π π? 5 ∈ ?- ,- ? ,得 cos α =- 1-sin2α =- 3 , tan( - α) =- 2 2? ?

sin α 2 5 = 5 .] cos α
? ?π ? π 1 ?π 10.4 [? +α?+? -α?= 2 , ?6 ? ?3 ?

故 cos?

?π ?π ? ?π ? 1 ?? ?=cos? -? -α??=sin? -α?= .] + α ?6 ? ?3 ? 4 ?2 ?3 ?? ?π

11. - 3 [-sin α=sin 2α=2sin αcos α, 即 sin α(2cos α +1)=0,
?π ? 1 3 ∵α∈? ,π?,∴sin α≠0,故 cos α=-2,sin α= 2 , ?2 ?

sin α 故 tan α= =- 3.] cos α 12.解
?π ? ?π π? (1)∵f? ?=2sin? + ?+m=2+m=6,∴m=4. 6? ?6? ?3

? π? 28 28 (2)由 f(θ)= 5 ,得 2sin?2θ + ?+4= 5 , 6? ?

? π? 4 即 sin?2θ + ?=5, 6? ? ?π ? π ?π 5π ? ∵θ ∈? , ?,∴2θ + 6 ∈? ,π ?. ?16 12 ? ?2 ? ? π? ∴cos?2θ + ?=- 6? ? ? π? 3 1-sin2?2θ + ?=-5. 6? ?

? ? π? π? ? π? 24 sin?4θ + ?=2sin?2θ+ ?cos?2θ + ?=-25. 3? 6? ? 6? ? ?

13.解

x x x 1 1 (1)由已知,f(x)=cos22-sin 2cos 2-2得 f(x)=2(1+cos

1 1 1 x)-2sin x-2=2(cos x-sin x)= 2 ? π? ? ? 2 cos?x+ 4 ?, 所以 f(x)的最小正周期为 2π ,值域为?-
? ?

2 2? ?. , 2 2?

? π? 3 2 π? 3 2 ? (2)由(1)知,f(α)= 2 cos?α+ ?= 10 ,所以 cos?α + ?=5.所 4? 4? ? ?

以 sin 2α =-cos?



? ? ? π? π? ?=-cos 2?α + ?=1-2cos2?α+ ?=1- + 2 α 4? 4? ?2 ? ? ?

18 7 1 3 2 3 2 = , 或由 f ( α ) = (cos α - sin α ) = 得: cos α - sin α = 25 25 2 10 5 , 18 7 两边平方得:1-sin 2α =25,所以 sin 2α =25.考点 11 三角恒 等变换 【两年高考真题演练】 1. D [sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+ 1 cos 20°sin 10°=sin 30°=2.] 2.A [tan β = tan[(α + β) - α] = tan(α+β)-tan α = 1+tan(α+β)tan α

1 1 2-3 1 = 1 1 7.] 1+2?3
? ?π ? 3π? 3π? π? cos?α- ? sin? +α- ? sin?α+ ? 10 ? 10 ? 5? ? ?2 ? 3.C [ ? = = ? ? π? π? π? sin?α- ? sin?α- ? sin?α- ? 5 5 5 ? ? ? ? ? ?

tan α +1 π π π tan 5 sin αcos 5 +cos αsin 5 2+1 = = = =3.] π π tan α 2-1 sin α·cos 5 -cos αsin 5 -1 π tan 5 4. π 3- 2 1-cos 2x 1 2 [ 函数 f ( x ) = sin x + sin x cos x + 1 = +2sin 2 2

3- 2 π? 3 2 ? 2x+1= 2 sin?2x- ?+2.最小正周期为π.最小值为 2 .] 4? ? 5. 2 x ? ? x ?2cos2 -1?- [f(x)=4cos22sin x-2sin x-|ln(x+1)|=2sin x· 2
? ?

|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x+1)|,令 f(x)=0,得 sin 2x=|ln(x+1)|.在同一 坐标系中作出两个函数 y=sin 2x 与函数 y=|ln(x+1)|的大致图象如图 所示.

观察图象可知, 两函数图象有 2 个交点, 故函数 f(x)有 2 个零点. ] 6. 1 [f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x=sin xcos φ+cos xsin φ- 2sin φcos x=sin xcos φ-cos xsin φ=sin(x-φ). ∴f(x)max=1.] 7.解 (1)因为 f(x)=sin2 x+cos2 x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin

? π? 2x+cos 2x= 2sin?2x+ ?+1, 4 ? ?

2π 所以函数 f(x)的最小正周期为 T= 2 =π .
? π? (2)由(1)的计算结果知,f(x)= 2sin?2x+ ?+1. 4? ? ? π ?π 5π ? π? 当 x∈?0, ?时,2x+ 4 ∈? , ?, 2? 4 ? ? ?4 ?π 5π ? 由正弦函数 y=sin x 在? , ?上的图象知, 4 ? ?4

π π π 当 2x+ 4 = 2 ,即 x= 8 时,f(x)取最大值 2+1; π 5π π 当 2x+ 4 = 4 ,即 x= 2 时,f(x)取最小值 0.
? π? 综上,f(x)在?0, ?上的最大值为 2+1,最小值为 0. 2? ?

8.解

?π ? 3 (1)f(x)=sin? -x?sin x- 3cos2x=cos xsin x- 2 (1+cos ?2 ?

? π? 1 3 3 3 2x)=2sin 2x- 2 cos 2x- 2 =sin?2x- ?- 2 , 3? ?

2- 3 因此 f(x)的最小正周期为π ,最大值为 2 . (2)当 x∈?


π 2π ? ?时,0≤2x- ≤π ,从而 , 3 3 ? ?6

π π π 5π 当 0≤2x- 3 ≤ 2 ,即 6 ≤x≤ 12 时,f(x)单调递增, π π 5π 2π 当 2 ≤2x- 3 ≤π ,即 12 ≤x≤ 3 时,f(x)单调递减.
?π ?5π 5π ? 2π 综上可知,f(x)在? , ?上单调递增;在? , 12 ? 3 ?6 ? 12 ? ?上单调递 ?

减.

9.解

(1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为

? π ? π ?- +2kπ , +2kπ ?,k∈Z. 2 ? 2 ?

π π π 由- 2 +2kπ ≤3x+ 4 ≤ 2 +2kπ ,k∈Z, π 2 kπ π 2 kπ 得- 4 + 3 ≤x≤12+ 3 ,k∈Z. 所以,函数 f(x)的单调递增区间为
? π 2 kπ π 2 kπ ? ?- + ?,k∈Z. 3 ,12+ 3 ? ? 4 ? π? 4 ? π? (2)由已知,有 sin?α + ?=5cos?α+ ?(cos2α -sin2α ),所以, 4? 4? ? ?

π π sin α cos 4 +cos α sin 4 π π? 4? =5?cos α cos -sin α sin ?(cos2 α -sin2 α ), 4 4? ? 4 即 sin α +cos α =5(cos α -sin α )2(sin α +cos α ). 3π 当 sin α +cos α =0 时, 由 α 是第二象限角, 知 α= 4 +2kπ , k∈Z. 此时,cos α -sin α =- 2. 5 当 sin α +cos α ≠0 时,有(cos α -sin α )2=4. 由 α 是第二象限角,知 cos α -sin α <0,此时 cos α -sin α 5 5 =- 2 .综上所述,cos α -sin α =- 2或- 2 . 【一年模拟试题精练】
? π ? 3 7 1.D [∵α∈?- ,0?,cos α=4,∴sin α=- 4 , ? 2 ?

3 7 ∴sin 2α=2sin αcos α=- 8 .] 3 2.B [sin2α-cos2α=-cos 2α=2sin2α-1=-5.] 1 3.B [cos(π-2α)=-cos 2α=-(1-2sin2α)=-9.]
? 3π? 4 3 4.B [∵α∈?π, ?,cos α=-5,∴sin α=-5, 2 ? ? ?π ? 1-tan α 1 sin α 3 故 tan α= =4,因此 tan? -α?= = .] cos α ?4 ? 1+tan α 7

5.A [cos?
?



? ? ?π ?? ?π ? ?=cos?π-2? -α??=-cos 2? -α? + 2 α 3 3 3 ? ? ? ?? ? ?

=2sin2?
?



? ?1?2 7 ?-1=2?? ? -1=- .] - α 4 8 3 ? ? ? ?5π ? 3 3 ? =- sin α = ,即 sin α =- , α ∈ + α 5 5 ? 2 ?

6.D
? π ? ?- ,0? ? 2 ?

[∵cos ?

4 24 ∴cos α=5,故 sin 2α=2sin αcos α=-25.] 7.C [因为 cos?
? ?π ? 3 ?π ? ?= ,所以 cos 2? -x? - x 5 4 4 ? ? ?

?π ? ?π ? 7 7 =2cos2? -x?-1=-25,即 cos? -2x?=sin 2x=-25.] ?4 ? ?2 ?

8.B [把 sin α+cos α=2m 两边平方可得 1+sin 2α=4m2, 3 又 sin 2α=m2,∴3m2=1,解得 m=± 3 , 3 又α为第三象限角,∴m=- 3 .]
? 3π? 1 7 1 9.-9 [∵sin?α+ ?=3,∴cos α=-3, 2 ? ?

7 ∴cos 2α=2cos2α-1=-9.] 10.π [∵f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x,

2π 2π ∴f(x)的最小正周期为 |ω| = 2 =π.] 11.解 (1)∵图象上相邻的两个最高点间的距离为 2π ,

2π ∴T=2π ,即 ω= T =1, π 又 f(x)为偶函数,则 φ=kπ + 2 (k∈Z). π 又∵φ∈[0,π ],∴φ = 2 , π? ? ∴f(x)=sin?x+2?=cos x.
? ? ? ? π? π? 1 (2)∵α∈?0, ?,cos?α + ?=3, 2? 3? ? ? ? π? ∴sin?α + ?= 3? ? ? π? 2 2 1-cos2?α + ?= 3 , 3? ?

故 sin?

?? ? π? π? ?=-cos α =-cos??α + ?- ? + α 3? 3? ? 2 ? ?? ?3π

? ? 1+2 6 π? π π? π =-cos?α + ?cos 3 -sin?α + ?sin 3 =- 6 .考点 12 3? 3? ? ?

三角函数的图象和性质 【两年高考真题演练】
? ? ? π? π?? 1.B [∵y=sin?4x- ?=sin?4?x- ??, 3? 12?? ? ? ? ? π? ∴要得到函数 y=sin?4x- ?的图象,只需将函数 y=sin 4x 的图 3? ?

π 象向右平移12个单位.]

T 5 1 2.D [由图象知2=4-4=1,∴T=2.由选项知 D 正确.]
? π? 3.C [f(x)=sin 2x+cos 2x= 2sin?2x+ ?,将其图象向右平移 4? ? ? ? ?? π φ 个单位得到 g(x)= 2sin?2?x+ -φ?? 8 ? ? ??

= 2sin?2x+
?

?

? ? ? π π ?的图象.∵g(x)= 2sin?2x+ -2φ?的图象 - 2 φ 4 4 ? ? ?

π π 关于 y 轴对称,即函数 g(x)为偶函数,∴ 4 -2φ=kπ+ 2 ,k∈Z, kπ π 3π 即 φ=- 2 - 8 ,k∈Z,因为当 k=-1 时,φ有最小正值 8 .] 4.C [①y=cos|2x|=cos 2x,T=π. ②由图象知,函数的周期 T=π. ③T=π. π ④T= 2 . 综上可知,最小正周期为π的所有函数为①②③.] 5.8 [由题干图易得 ymin=k-3=2,则 k=5,∴ymax=k+3=8.] π 6. 2
? π? [f(x)=sin ωx+cos ωx= 2sin?ωx+ ?, 4? ?

π π π 3π 由- 2 +2kπ≤ωx+ 4 ≤ 2 +2kπ,k∈Z,得- 4 +2kπ≤ω π x≤ 4 +2kπ,由题意 f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,可知 k=0,

ω ≥ 2 ,又函数 y = f(x) 的图象关于直线 x = ω 对称,所以,
? π π π π? sin?ω2+ ?=1,ω2+ 4 = 2 ,∴ω= 2 .] 4? ?

π

π 7. 2

?y=2sin ωx, ? [由? ?y=2cos ωx, ?

知 sin ωx=cos ωx, 即 sin ωx-cos ωx=0,
? π? ∴ 2sin?ωx- ?=0, 4 ? ? ? π 1 ?π ∴ωx= 4 +kπ,x= ? +kπ?(k∈Z), ω? 4 ? ? 1 ?π ? ? ∴ 两 函 数 交 点 坐 标 为 ?ω? +kπ?, 2? (k = 0 , 2 , 4 , … ) 或 ? ?4 ? ? ? 1 ?π ? ? ? ? +kπ?,- 2?(k=…,-3,-1,1,3,…) ? ?ω? 4 ?

∴最短距离为 8.解

π2 π2 π (2 2) + 2=2 3,∴ ω2 =4,∴ω= 2 .]
2

ω

1 1 3 (1)f(x)=2sin 2x- 3cos2x=2sin 2x- 2 (1+cos 2x).

? π? 1 3 3 3 =2sin 2x- 2 cos 2x- 2 =sin?2x- ?- 2 , 3? ?

因此 f(x)的最小正周期为π ,最小值为-
? π? 3 (2)由条件可知,g(x)=sin?x- ?- 2 . 3? ?

2+ 3 2 .

当 x∈?
?



? ? π ?π 2π ? π? ?时,有 x- ∈? , ?,从而 sin?x- ?的值域 , π 3 2 6 3 3 ? ? ? ? ?

?1- 3 2- 3? ? ?1 ? π? 3 为?2,1?,那么 sin?x- ?- 2 的值域为? , 2 ?. 3? ? ? ? ? 2 ?

故 g(x)在区间?
?



?上的值域是? 2 ,π ? ?

?

?1- 3

2



2- 3? ?. 2 ?

【一年模拟试题精练】 1.D [∵f(x)=cos 2x,

∴f(x)的最小正周期为

2π =π.] |ω|

2.B [∵a=sin 31°=cos 59°<cos 58°,∴a<b, ∵tan 32°= sin 32° cos 58° = >cos 58°, cos 32° cos 32°

∴c>b,故 c>b>a.]
? π? 3.C [∵x 为三角形最小内角,∴x∈?0, ?, 3? ? ? π ?π 7π? π? y=sin x+cos x= 2sin?x+ ?,x+ 4 ∈? , ?, 4? 12 ? ? ?4 ? π? ? 2 ? ∴sin?x+ ?∈? ,1?,故 y∈(1, 2].] 4? ? 2 ? ?

4. A [当 x∈(0, π]时, 不等式为 sin x≥cos x, 解得 x∈?
?



?; 4 ,π ?

?

当 x∈(π,2π)时,不等式为-sin x≥cos x 即 sin x+cos x≤0,
? ?π 7π? 7π? 解得 x∈?π, ?,综上得 x∈? , ?.] 4 ? 4? ? ?4

5.B [由图象可得函数的周期 T=2?? π,得ω=2,将?
?3π

?7π

2π 3π? ?=π,∴ = - 8 ? ω ? 8

? ?3π ? ?代入 y=sin(2x+φ)可得 sin? ?=0, , 0 + φ ? 8 ? ? 4 ?

3π ∴ 4 +φ=π+2kπ(注意此点位于函数减区间上), π ∴φ= 4 +2kπ,k∈Z, π π 由 0<φ≤ 2 可得 φ= 4 ,
? π? ∴点(ω,φ)的坐标是?2, ?.] 4? ?

6.D [∵f(-x)=-f(x),

π ∴φ= 2 +kπ(k∈Z), 又∵φ∈(0,π), π ∴φ= 2 , 故 y=-2 015sin ωx 2π ∵ω>0,∴T= ,

ω

又∵|x1-x2|min=π, π 1 ∴2T= =π,得 ω=1.]

ω

7.D [∵点 P 是函数 y=f(x)的一个对称中心, π ∴m=2,- 6 ω+φ=kπ(k∈Z), π 又 T=4? 2 =2π,则 ω=1, π π 由|φ|< 2 得 φ= 6 , 作图可知选项 D 正确.] 8. ?
?5π ? 11π ? (k∈Z) + k π , + k π 12 ? 12 ?

[f(x) = 2sin ?
?



? = 3 -2x ?

?

? π 5π π? 2cos?2x+ ?,π+2kπ≤2x+ 6 ≤2π+2kπ,k∈Z.即 12 +kπ≤x 6? ?

11π ≤ 12 +kπ,k∈Z.] 9. sin 2x π [y=f(x)是由 y=2cos2x=cos 2x+1 向右平移 4 个单位,

? π? 再向下平移一个单位得到 f(x)=cos 2?x- ?+1-1=sin 2x.] 4? ?

10.解

(1)∵0<α<π ,

π π 5π ∴ 4 < 4 +α< 4 , 又∵sin?
?π ? 2 ?= , + α 2 ?4 ?

π 3π π ∴ 4 +α= 4 ,∴α = 2 , 1 ∴f(α)=cos α (sin α +cos α )-2 π? π π? 1 1 =cos 2 ?sin +cos ?-2=-2; 2 2? ? 1 (2)f(x)=sin xcos x+cos2x-2 1+cos 2x 1 1 =2sin 2x+ -2 2 π? 1 1 2 ? =2sin 2x+2cos 2x= 2 sin?2x+ ?, 4? ? π π ∴当 2x+ 4 =2kπ - 2 ,k∈Z, 3π 即 x=kπ - 8 ,k∈Z 时,f(x)取得最小值,
? ? 3π 此时自变量 x 的集合为?x|x=kπ - ,k∈Z?. 8 ? ?

考点 13 【两年高考真题演练】 1.C

解三角形

[ 由余弦定理 a2 = b2 + c2 - 2bccos A ,得 4 = b2 + 12 -

3 2?b?2 3? 2 ,即 b2-6b+8=0,∴b=4 或 b=2,又 b<c,∴b= 2.] 1 1 1 2.B [S△ABC=2AB·BCsin B=2?1? 2sin B=2, 2 ∴sin B= 2 ,若 B=45°,则由余弦定理得 AC=1,∴△ABC 为直角三角形,不符合题意,因此 B=135°,由余弦定理得 AC2= AB2+BC2-2AB· BCcos B=1+2-2?1? 2??-
? ?

2? ?=5, ∴AC= 5. 2?

故选 B.] π 3.4 2π 6sin 3 bsin ∠A 2 [由正弦定理得 sin ∠B= = = a 3 2 ,因为

π ∠A 为钝角,所以∠B= 4 .] 4. 4 3 3 [由 3sin A=2sin B, 得 3a=2b, ∴b=2a=2?2=3, 在△ABC
? ?

? 1? 中,由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C=22+32-2?2?3??-4?

=16,解得 c=4.] 5.100 6 [依题意,在△ABC 中,AB=600,∠BAC=30°,

600 BC ∠ACB=45°,由正弦定理得 = ,得 BC=300 2,在 sin 45° sin 30° Rt△BCD 中,CD=BC· tan 30°=100 6(m).] AC BC 4 6. 2 3 [在△ABC 中, 根据正弦定理, 得sin B=sin A, 所以sin B

2 3 = ,解得 sin B=1,因为 0°<B<120°,所以 B=90°,所 sin 60° 1 以 C=30°,所以△ABC 的面积 S△ABC=2·AC·BC·sin C=2 3.] 7.解 1 15 (1)在△ABC 中,由 cos A=-4,可得 sin A= 4 .

1 由 S△ABC=2bcsin A=3 15, 得 bc=24,又由 b-c=2,解得 b=6,c=4. 由 a2=b2+c2-2bccos A,可得 a=8. a c 15 由sin A=sin C,得 sin C= 8 .
? π π π? (2)cos?2A+ ?=cos 2A?cos 6 -sin 2A?sin 6 = 6? ?

15-7 3 3 1 2 (2cos A - 1) - ? 2sin A ? cos A = . 2 2 16 8.解 (1)由题设及正弦定理可得 b2=2ac.

又 a=b,可得 b=2c,a=2c. a2+c2-b2 1 由余弦定理可得 cos B= 2ac =4. (2)由(1)知 b2=2ac. 因为 B=90°,由勾股定理得 a2+c2=b2. 故 a2+c2=2ac,得 c=a= 2. 所以△ABC 的面积为 1. 【一年模拟试题精练】 a b 3 1.C [由正弦定理:sin A=sin B得:sin B= 3 .] a b 3 2.A [由正弦定理:sin A=sin B得 sin A= 2 ,

∵△ABC 为锐角三角形, π ∴A= 3 .] BC AC 2 3.D [由正弦定理:sin A=sin B,得 sin B= 2 ,∵AC<BC, ∴B<A,∴B=45°.] a b 2asin B 1 4.A [由正弦定理:sin A=sin B= sin B ,得:sin A=2, ∵△ABC 为锐角三角形,∴A=30°.] 1 5.D [2S=(a+b)2-c2=a2+2ab+b2-c2=2?2absin C 即:c2 =a2+b2+2ab-abcsin C, 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C 得:sin C-2cos C= 2,又 3 4 ∵sin2C+cos2C=1,得:cos C=-5或 cos C=-1(舍),∴sin C=5, sin C 4 故 tan C=cos C=-3.] 6. D [∵∠B=60°, ∠ADC=120°, ∴∠ADB=60°, 故△ABD 为等边三角形,故 BD=DC=AB=2, 1 1 3 因此 S△ABC=2AB·BC·sin B=2?2?4? 2 =2 3.] AB 7.D [∵∠ACB=45°,∴AB=BC,tan∠ADB=tan 30°=BD = AB 100 ,故 AB= ≈136.5.] AB+100 3-1 8.A [由题意得,0<A<π,sin A>0. 4 故 sin A= 1-cos2A=5,

a b b 4 1 8 由正弦定理知,sin A=sin B?a=sin A·sin B=5? =5.] π sin 6 9.4 10.30 [由余弦定理:b2=a2+c2-2accos B 得:a=2,故 c=4.] [∵∠DBA=45°,∠DAC=60°,

∴∠DAB=105°,故∠BDA=30°, AD AB 由正弦定理: = 得 AD=20 3, sin∠DBA sin∠BDA CD=AD· sin 60°=30.] 11.解 (1)△ABC 中,由(a-b)(sin A-sin B)=csin C-asin B,

利用正弦定理可得(a-b)(a-b)=c2-ab, 即 a2+b2-c2=ab. a2+b2-c2 1 π 再利用余弦定理可得,cos C= 2ab =2,∴C= 3 . (2)由(1)可得即 a2+b2-ab=7①, 1 3 又△ABC 的面积为2ab?sin C=2 3, ∴ab=6②. b 2 ①②可得a=3. 12.解 1 3 (1)因为 sin2∠ABC= 3 ,

1 1 所以 cos∠ABC=1-2?3=3. △ABC 中,设 BC=a,AC=3b, 4a 则由余弦定理可得 9b2=a2+4- 3 ① 在△ABD 和△DBC 中,

16 4b2+ 3 -4 由余弦定理可得 cos∠ADB= , 16 3 3 b 16 b2+ 3 -a2 cos∠BDC= . 8 3 3 b 因为 cos∠ADB=-cos∠BDC, 16 16 4b2+ 3 -4 b2+ 3 -a2 所以有 =- , 16 3 8 3 3 b 3 b 所以 3b2-a2=-6,② 由①②可得 a=3,b=1,即 BC=3. 1 2 2 (2)由(1)得△ABC 的面积为2?2?3? 3 =2 2, 2 2 所以△DBC 的面积为 3 .


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