福建省同安一中2013届高三理科数学冲刺模拟试卷

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同安一中 2013 届高三理科数学冲刺模拟试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知集合 A ? ? x log 1 x ? ?1? , B ? y y ?

? ? ? ?

? ? ? ?

2

?

2 x ? 1 ,则 A ? ? CR B ? ? (
D. ?

?



A. ? ??,1?

B. ? 0,1?

C. ? 0,1?

2.设 m, n 是空间两条直线, ? , ? 是空间两个平面,则下列选项中不正确的是( ... A.当 m ? ? 时,“ n / / ? ”是“ m // n ”的必要不充分条件 B.当 m ? ? 时,“ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的充分不必要条件 C.当 n ? ? 时,“ n ? ? ”是“ ? ∥ ? ”成立的充要条件
开始 输入 a, b



D.当 m ? ? 时,“ n ? ? ”是“ m ? n ”的充分不必要条件 否 a?b 3.定义某种运算 ? , a ? b 的运算原理如图所示. 是 设 f ( x) ?1 ? x . f ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值为. ( ) S ?a S?b A.-2 B.-1 C.0 D.2 2? ? n 4.设函数 f ( x) ? ( x ? a) ,其中 n ? 3 sin(? ? x)dx , f (0) ? ?3 , ? f ( 0) 输出 S

?

则 f (x) 的展开式中 x 的系数为(

2



结束

A. ?240 B. ?60 C. 240 D. 60 5.已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图和左视图的上半 部分均为边长为 2 的等边三角形,则该几何体的体积为( ) A. ? ?

4 3 3

B. 2? ?

4 3 3

C. ? ? )

2 3 3

D. 2? ?

2 3 3

6.函数 y ?

cos x 的图像大致是( ex

7.在区间 ? ?1,1? 上随机地取两个数 a, b ,则使得关于 x 的方程 x ? ax ? b ? 0 在 ? ?1,1? 和 ?1, 2 ? 内各有一
2

个根的概率为(



A.

1 8

B.

1 4

C.

1 2

D.

7 8


8.在等差数列 {an } 中, a1 ? ?2013 ,其前 n 项和为 S n ,若 A. ?2013 B. ?2012 C. 2012 D. 2013

S2014 S2012 ? ? 2 ,则 S 2013 的值等于( 2014 2012

x2 y 2 9.过双曲线 2 ? 2 ? 1? a, b ? 0 ? 的右焦点 F2 向其一条渐近线作垂线 l ,垂足为 P, l 与另一条渐近线交于 a b
???? ? ???? ? Q 点,若 QF2 ? 2 F2 P ,则双曲线的离心率为(


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A.2

B. 3

C.

4 3

D.

2 3 3

10.设向量 a ? ( a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 ) ,定义一运算: a ? b ? (a1 , a2 ) ? (b1 , b2 ) ? (a1b1 , a2b2 ) 已知 m ? ( , 2) , n ? ( x1 ,sin x1 ) .点 Q 在 y ? f ( x) 的图像上运动,且满足 OQ ? m ? n (其中 O 为坐 标原点) ,则 y ? f ( x) 的最大值及最小正周期分别是(
A. ) D. 2, 4?

?

?

?

?

??

1 2

?

????

??

?

1 ,? 2

B.

1 , 4? 2

C. 2, ?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置. 11.若复数

12. 如图,在平面直角坐标系中,锐角 ?、? 的终边分别与单位圆交于 A、B 两点. 3 5 如果 sin ? ? ,点 B 的横坐标为 ,则 cos( ? ? ) ? . ? 5 13

a ? 2i 为实数,则实数 a ? 1 ? 3i



?x ? y ? 1 ? 13.x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,目标函数 z=ax+2y 仅在 ?2 x ? y ? 2 ?
点(1,0)处取得最小值,则 a 的取值范围是_________. 14.如图,在 ?ABC 中, AB ? 3, AC ? 4, BC ? 5 ,线段 DE 的中点 固定在点 A 处,将线段 DE 在 ?ABC 所在的平面内绕着点 A 任意旋转, 若 DE ? 2 ,则 BD ? CE 的取值范围是

??? ??? ? ?

. [?6,4]

15.把已知正整数 n 表示为若干个正整数(至少 3 个,且可以相等)之和的形式,若这几个正整数可以按 一定顺序构成等差数列,则称这些数为 n 的一个等差分拆.将这些正整数的不同排列视为相同的分拆.如:
(1,4,7)与(7,4,1)为 12 的相同等差分拆.问正整数 24 的不同等差分拆的个数是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

? 2? ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单 3 3 3 4? ? cos B ? cosC sin B ? sin C 3 调递减. ABC 中, 、 、 分别为内角 A、B、C 所对的边, 且满足 . ? ? a b c sin A cosC A (Ⅰ)证明: b ? c ? 2a ;
16. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? sin ? x (? ? 0) 在区间 [0,

?

(Ⅱ)如图,点 O 是 ?ABC 外一点,设 ?AOB ? ? (0 ? ? ? ? ) ,

B

OA ? 2OB ? 2 ,当 b ? c 时,求平面四边形 OACB 面积的最大值.

o

?
第 16 题图

A

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17. (本小题满分 13 分)某学校为响应省政府号召,每学期派老师到各个民工子弟学校支教,以下是该学 校 50 名老师上学期在某一个民工子弟学校支教的次数统计结果: 支教次数 人数 根据上表信息解答以下问题: (Ⅰ)从该学校任选两名老师,用? 表示这两人支教次数之和,记“函数 f ( x) ? x ? ? x ? 1 在区间 (4,5) 上
2

0 5

1 10

2 20

3 15

有且只有一个零点”为事件 A ,求事件 A 发生的概率 P ; 1 望 E? .

(Ⅱ)从该学校任选两名老师,用 ? 表示这两人支教次数之差的绝对值,求随机变量 ? 的分布列及数学期

18. (本小题满分 13 分)如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中,?DAB ? 60 .点 E、F 分别在边 CD、CB 上,点 E 与点 C、D 不重合, EF ? AC , EF ? AC ? O .沿 EF 将 ?CEF 翻折到 ?PEF 的位置,使平 面 PEF ⊥平面 ABFED . P (Ⅰ)求证: BD ⊥平面 POA ;
0

(Ⅱ)当 PB 取得最小值时,若点 Q

D E O F B C A B F D E O C

???? ??? ? 满足 AQ ? ? QP ( ? ? 0 ),试探究: A
直线 OQ 与平面 PBD 所成的角是

? 否一定大于 ?并说明理由. 4
19. (本小题满分 13 分)

第 18 题图

如图,设 F 为抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点, P 是抛物线上一动点,
2

3 Q 为线段 OF 的垂直平分线上一点,且点 Q 到抛物线的准线 l 的距离为 . 2
(Ⅰ)求抛物线的方程;(Ⅱ)设点 M 的坐标为 (3,0) ,是否存在 垂直于 x 轴的直线 l ' 被以 PM 为直径的圆截得的弦长为定值?若存在, 求直线 l ' 的方程;若不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 14 分) f ( x) ? 设

( x ? a) ln x , 曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 x ?1

垂直.(Ⅰ)求 a 的值;(Ⅱ) 若 ?x ?[1,??) , f ( x) ? m( x ? 1) 恒成立,求 m 的范围. (Ⅲ)求证:

ln 4 2n ? 1 ? ?
i ?1

n

i 4i ? 1
2

.(n ? N * ).

21. (本小题满分 14 分) 选修 4-2:矩阵及其变换 (1)如图,向量 OA和OB 被矩阵 M 作用后分别变成 OA 和OB ,
/ /

??? ??? ? ?

???? ???? ? ?

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(Ⅰ)求矩阵 M; (Ⅱ)并求 y ? sin( x ? 选修 4-4:坐标系与参数方程

?
3

) 在 M 作用后的函数解析式.

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 (2)在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,在极坐标系(与直角坐标系 ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2

xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? .
(Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A, B .若点 P 的坐标为(3, 5 ) ,求 | PA | ? | PB | . 选修 4-5:不等式选讲 (3)已知 x, y, z 为正实数,且

1 1 1 ? ? ? 1 ,求 x ? 4 y ? 9 z 的最小值及取得最小值时 x, y, z 的值. x y z

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普通高等学校招生全国统一考试(同安一中模拟) 数学(理工农医类)答题卡
一、选择题
01 [ A ] 02 [ A ] 03 [ A ] 04 [ A ] 05 [ A ] [B] [C] [D] [B] [C] [D] [B] [C] [D] [B] [C] [D] [B] [C] [D] 06 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 07 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 08 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 09 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]

二、填空题 11.____________________ 13.____________________ 15.____________________ 三、解答题 16.(本题满分 13 分)
B

12.____________________ 14.____________________

C

o

?
第 16 题图

A

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17.(本题满分 13 分)

18.(本题满分 13 分)

P D

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19.(本题满分 13 分)

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20.(本题满分 13 分)

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21.选考题 请从(1)(2)(3)三题中任选两题作答,用 2B 铅笔将所选题目的题号涂黑,并 、 、 将所选题号填入括号中。如果多做,则按所做的前两题计分。 (本题满分 14 分) 21 题( ) 我选做的题号是:[ 1 ]
[2] [3]

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21 题( )

我选做的题号是:[ 1 ]

[ 2 ] [ 3]

同安一中 2013 届高三理科数学冲刺模拟试卷答案
一、选择题: BADCA 二、填空题: 11. ? AAADC 12. ?

2 3

16 65

13. (-4,2)

14. [?6,4]

15.14

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

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16. (本小题满分 13 分)解: (1)由题意知:

2?

?

?

4? 3 ,解得 ? ? ,……2 分 3 2

?

sin B ? sin C 2 - cos B - cosC ? ?sin B cos A ? sin C cos A ? 2 sin A - cos B sin A - cosC sin A sin A cos A

?sin B cos A ? cos B sin A ? sin C cos A ? cosC sin A ? 2 sin A
? sin( A ? B) ? sin( A ? C ) ? 2 sin A ………………………………………………………4 分

?sin C ? sin B ? 2 sin A ??b ? c ? 2a …………………………………………………6 分
(2)因为 b ? c ? 2a,b ? c ,所以 a ? b ? c ,所以 △ABC 为等边三角形

1 3 SOACB ? S?OAB ? S?ABC ? OA ? OB sin ? ? AB 2 2 4 ? sin ? ?

……………………………8 分

3 5 3 ? 5 3 (OA2 ? OB 2 -2OA ? OB cos ? ) ? sin ? - 3 cos? ? ?? ? (0,? ) , ? 2sin (? - ) ? 4 4 3 4

?? -

?

? 2? ?(- , ), 3 3 3

当且仅当 ? -

?
3

?

?
2

即 , ??

5 3 5? 时取最大值, S OACB 的最大值为 2 ? ………………13 分 4 6
2

17.解:(1) 函数 f ? x ? ? x ? ? x ? 1 过 (0, ?1) 点,在区间 4, 上有且只有一个零点, ( 5) 则必有 ?

? f (4)<0 ?16-4? -1<0 15 24 即: ? ,解得: <? < 所以,? ? 4 …………3 分 4 5 , ? f (5)>0 ?25-5? -1>0
2 1 1 C20 ? C10C15 68 ? , 2 C50 245

当 ? ? 4 时, P ? 1

…………6 分

(2) 从该学校任选两名老师,用 ? 表示这两人支教次数之差的绝对值, 则 ? 的可能取值分别是 0,1, 2,3 , 于是 P ?? ? 0 ? ?
2 5 2 10 2 20 2 15 1 5

…………7 分

1 1 1 1 1 C ?C ?C ?C C C10 ? C10C20 ? C15C20 22 2 ? , P(? ? 1) ? ? 2 2 C50 7 C50 49

P(? ? 2) ?

1 1 1 1 C5C20 ? C10C15 10 ? 2 C50 49

P (? ? 3) ?


1 1 C5C15 3 ? …………10 分 2 C50 49

从而 ? 的分布列:

?
P

0

1

2

3

2 22 10 3 7 49 49 49 2 22 10 3 51 ? 的数学期望: E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . …………13 分 7 49 49 49 49
18.(1)证明:∵ 菱形 ABCD 的对角线互相垂直,∴ BD ? AC ,∴ BD ? AO , ∵ EF ? AC ,∴ PO ? EF ∵ 平面 PEF ⊥平面 ABFED ,平面 PEF ? 平面 ABFED ? EF ,且 PO ? 平面 PEF , ∴ PO ? 平面 ABFED , ∵ BD ? 平面 ABFED ,∴ PO ? BD

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∵ AO ? PO ? O ,∴ BD ? 平面 POA . ………………………5 分 (2)如图,以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz . 设 AO ? BD ? H . 因为 ?DAB ? 60? ,所以 ?BDC 为等边三角形, 故 BD ? 4 , HB ? 2, HC ? 2 3 .又设 PO ? x ,则 OH ? 2 3 ? x , OA ? 4 3 ? x . ??? ??? ??? ? ? ? 所以 O(0,0,0) , P(0,0, x) , B(2 3 ? x, 2,0) ,故 PB ? OB ? OP ? (2 3 ? x, 2, ? x) , ??? ? 所以 PB ? (2 3 ? x) 2 ? 22 ? x 2 ? 2( x ? 3) 2 ? 10 当 x ? 3 时, PB min ? 10 . 此时 PO ? 3 , OH ? 3. ………………………7 分 设点 Q 的坐标为 ? a, 0, c ? ,由前知, OP ? 3 ,则 A(3 3, 0, 0) , B( 3, 2,0) , D( 3, ?2, 0) , P(0,0, 3) . ???? ??? ? ???? ??? ? 所以 AQ ? a ? 3 3, 0, c , QP ? ?a, 0, 3 ? c ,∵ AQ=? QP ,

?

?

?

?

? 3 3 , ?a ? ? a ? 3 3 ? ? ? a, ? ? ? ?1 . ∴? ?? ? c ? 3? ? ? c ? c ? 3? ? ? ? ?1 ?

∴ Q(

3 3 3? ,0, ), ? ?1 ? ?1

???? 3 3 3? ∴ OQ ? ( , 0, ) .………………………10 分 ? ?1 ? ?1 ? ??? ? ? ??? ? ? 设平面 PBD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? PB ? 0, n ? BD ? 0 . ??? ? ??? ? ? 3x ? 2 y ? 3z ? 0, ? ∵ PB ? 3, 2, ? 3 , BD ? ? 0, ?4,0 ? ,∴ ? , ??4 y ? 0 ? ? 取 x ? 1 ,解得: y ? 0, z ? 1 , 所以 n ? (1, 0,1) . ………………………10 分 设直线 OQ 与平面 PBD 所成的角 ? ,

?

?

???? ? OQ ? n ???? ? ∴ sin ? ? cos ? OQ, n ? ? ???? ? ? OQ ? n
1 2

3 3 3? ? ? ?1 ? ?1 2? ( 3 3 2 3? 2 ) ?( ) ? ?1 ? ?1

?

3? ? 2 ? 9 ? ?2

?

9 ? 6? ? ? 2 1 6? 2 ? ? ? 1? .又∵ ? ? 0 ∴ sin ? ? . ∵ ? ? [0, ] ,∴ ? ? . 2 2 9?? 9?? 2 2 4 2

因此直线 OQ 与平面 PBD 所成的角大于
2

? ,即结论成立.………………………13 分 4

p ……………(1分) 2 p 2 又∵点 Q 在线段 OF 的垂直平分线上,且 F 为抛物线 y ? 2 px 的焦点,∴点 Q 的横坐标为 .…(2 分) 4 3 3 3 又∵点 Q 到抛物线的准线 l 的距离为 ,∴ p ? ,即 p ? 2 .………(4 分) 2 4 2 2 ∴抛物线的方程为 y ? 4 x .……………………………(5 分) (Ⅱ)设 PM 的中点为 C ,直线 l ? 的方程为 x ? a ,以 PM 为直径的圆交直线 l ? 于 D, E 两点,记 DE 的中 x ? 3 y1 1 1 点为 H .令 P ( x1 , y1 ) ,则 C ( 1 , ) ,∴ | DC |? | PM |? ( x1 ? 3) 2 ? y12 …(7 分)∵ CH ? DE , 2 2 2 2 x1 ? 3 1 ∴ | CH |?| ? a |? | ( x1 ? 2a ) ? 3 | .…(9 分) 2 2 1 1 ∴ | DH |2 ?| DC |2 ? | CH |2 ? [( x1 ? 3) 2 ? y12 ] ? [( x1 ? 2a) ? 3]2 4 4 2 ? (a ? 2) x1 ? a ? 3a .…………………………………………(11 分)
19.解: (Ⅰ)∵抛物线的方程为 y ? 2 px ,∴直线 l 的方程为 x ? ? 从上式可知,当 a ? 2 时, | DH | ? ?4 ? 6 ? 2 为定值.………(12 分)
2

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∴ | DE |? 2 | DH |? 2 2 为定值,此时直线 l ? 的方程为 x ? 2 .……(13 分)

x?a ? ln x)( x ? 1) ? ( x ? a) ln x ?( x) ? x 20.解:(1) f -----------------------2 分 ( x ? 1) 2 (
1 (1 ? a)2 1 ,? ? ?1 ? a ? 1 ,?a ? 0 . -------------------4 分 2 4 2 1 1 x ln x (2) f ( x) ? , ?x ? (1,??) , f ( x) ? m( x ? 1) ,即 ln x ? m( x ? ) 设 g ( x) ? ln x ? m( x ? ) x ?1 x x
由题设 f ?(1) ? ,即 ?x ? (1,??), g ( x) ? 0 . g ?( x) ?

1 1 ?mx 2 ? x ? m ---6 分 ? m(1 ? 2 ) ? x x x2

①若 m ? 0, g ?( x) ? 0 , g ( x) ? g (1) ? 0 ,这与题设 g ( x) ? 0 矛盾.-----------------8 分 ②若 m ? 0 方程 ?mx ? x ? m ? 0 的判别式 ? ? 1 ? 4m
2 2

当? ? 0, m ? 即 分;当 0 ? m ?

1 时,g ?( x) ? 0 .? g (x) 在 (0,??) 上单调递减, g ( x) ? g (1) ? 0 , 即不等式成立. ----9 ? 2

1 ? 1 ? 4m 2 1 ? 1 ? 4m 2 1 2 ? 0 , x1 ? ? 1 ,当 时,方程 ?mx ? x ? m ? 0 ,其根 x1 ? 2m 2m 2

x ? (1, x2 ), g ?( x) ? 0 , g (x) 递增, g ( x) ? g (1) ? 0 ,与题设矛盾.综上所述, m ?
当 x ? 1 时, m ?

1 ---10 分;(3) 由(2)知, 2

2k ? 1 1? 1? 1 时, ln x ? ? x ? ? 成立. 不妨令 x ? , k ? N* 2? x? 2 2k ? 1

所以 ln

2k ? 1 1 ? 2k ? 1 2 k ? 1 ? 4k 1 k , [ln ? 2k ? 1? ? ln ? 2k ? 1?] ? ? ? ? , k ? N* ?? 2 2k ? 1 2 ? 2k ? 1 2k ? 1 ? 4k ? 1 4 4k 2 ? 1
---------------------12 分

1 1 ? ? ln 3 ? ln1? ? ? 4 4 ? 12 ? 1 ? 1 2 ? ? ln 5 ? ln 3? ? ? 4 4 ? 22 ? 1 ? ? ??????? ? n ? 1 ln 2 n ? 1 ? ln 2 n ? 1 ? , ? ? ? ?? ?4 ? 4 ? n2 ? 1 ?

累加可得

n n 1 i i ln(2n ? 1) ? ? 2 .(n ? N * ). ln 4 2n ? 1 ? ? 2 .(n ? N * ). -----------14 分 4 i ?1 4i ? 1 i ?1 4i ? 1

21.(1)待定系数设 M= ?

? 2 0 ? ? x/ ? 2x ?a b? ? 求得 M ? ? ,-----------4 分 ??? / ? ? 0 2? ?y ? 2y ?c d?

x ? ) -----------7 分 2 3 2 2 (2)解: (Ⅰ) x ? ( y ? 5) ? 5 -----------3 分
再坐标转移法得 y / ? 2sin( ? (Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 t ? 3 2t ? 4 ? 0
2
2 由 ? ? (3 2) ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两根,所以 ? 1

?t ? t 2 ? 3 2 ? ,又直线 l 过点 ?t1 ? t2 ? 4 ?

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(3, 5) ,故结合 t 的几何意义得 | PA | ? | PB | = | t1 | ? | t2 |? t1 ? t2 ? 3 2 -----------7 分
(3)解:由柯西不等式得

x ? 4 y ? 9 z ? [( x ) 2 ? (2 y ) 2 ? (3 z ) 2 ] ? [(

1 2 1 2 1 ) ?( ) ? ( )2 ] x y z

1 1 1 2 ?( x? ?2 y? ?3 z ? ) ? 36 x y z

………4 分

当且仅当 x ? 2 y ? 3z 时等号成立,………5 分,此时 x ? 6, y ? 3, z ? 2 …6 分 所以当 x ? 6, y ? 3, z ? 2 时, x ? 4 y ? 9 z 取得最小值 36………… 7 分

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