2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第四节双曲线及其性质模拟创新题文


【大高考】 2017 版高考数学一轮总复习 第 9 章 平面解析几何 第四 节 双曲线及其性质模拟创新题 文 新人教 A 版
一、选择题 1.(2016·邯郸市质检)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为 y=- 它的离心率为( A. 5 2 3 B. 2 ) 3 5 C. 5 D. 2 3

x2 y2 a b

5 x,则 2

b b 5 c2-a2 5 c 3 解析 该双曲线的渐近线为 y=± x,故 = ,即 = ,e= = . a a 2 a 2 e 2
答案 B 2.(2016·河南适应性模拟练习)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y=

x2 y2 a b

kx(k>0),离心率 e= 5k,则双曲线方程为( x y A. 2- 2=1 a 4a
C.
2 2

)

x2 y2 B. 2- 2=1 a 5a
D.

x2 y2 2- 2=1 4b b

x2 y2 2- 2=1 5b b

b 5b c x2 y2 解析 由题意知 k= ,所以 = ,c= 5b,a=2b,双曲线方程为 2- 2=1,故选 a a a 4b b
C. 答案 C

x y 6 3.(2014·山西四校联考)若焦点在 x 轴上的双曲线 - =1(m>0)的离心率为 ,则该双 2 m 2
曲线的渐近线方程为( A.y=± 2 x 2 ) B.y=±2x D.y=± 2x
2 2

2

2

1 C.y=± x 2 解析 由题意可得 a =2,b =m,因为 e= = 程为 y=± x=± 答案 A 二、填空题

c a

6 c 2+m 3 ,所以 2= = ,m=1,故渐近线方 2 a 2 2

2

b a

2 x,选 A. 2

4.(2015·河北高阳中学第一次月考)F1、F2 是双曲线 - =1 的焦点,点 P 在双曲线上, 16 20 若点 P 到焦点 F1 的距离等于 9,则点 P 到焦点 F2 的距离等于________.
1

x2

y2

解析 设点 P 到焦点 F2 的距离为 d,则 d-9=±8,解得 d=17 或 d=1(不符合,舍去), 所以 d=17. 答案 17 创新导向题 双曲线的定义应用问题

x2 y2 5.抛物线 y =8x 的焦点 F 与双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)右焦点重合, 又 P 为两曲线的一个 a b
2

公共交点,且|PF|=5,则双曲线的实轴长为( A.1 C. 17-3 解析 抛物线 y =8x 的焦点 F(2,0),由题知:
2

) B.2 D.6

P(3,±2 6).又双曲线的焦点为(-2,0),(2,0).
所以由双曲线的定义知: 2c=|PF1|-|PF2|= 5 +(2 6) - 1+(2 6) =7-5=2. 答案 B 双曲线中点弦问题 6.已知斜率为 2 的直线 l 与双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)交于 A,B 两点,若点 P(2, 1)是 AB 的中点,则 C 的离心率等于( A. 2 C.2 ) B. 3 D.2 2
2 2 2

x2 y2 a b

2

两式相减得 即

2 2 x2 y2 1-x2 1-y2 - =0, a2 b2

(x1-x2)(x1+x2) (y1-y2)(y1+y2) = , 2 2

a

b

x1+x2
化简得 2 y1-y2 = , y1+y2 2 (x1-x2)b2 a 2

2 2 即 2= 2,所以 a=b,

a

b

则离心率 e= = 答案 A

c a

2a

a

= 2,故选 A.

专项提升测试 模拟精选题 一、选择题

x2 y2 7.(2015·河北唐山模拟)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2, a b
在双曲线 C 上存在点 P,满足△PF1F2 的周长等于双曲线 C 的实轴长的 3 倍,则双曲线 C 的离心率的取值范围是( )

? 3? A.?1, ? ? 2? ? 5? C.?1, ? ? 2?

? 3? B.?0, ? ? 2? ? 5? D.?0, ? ? 2?

解析 利用双曲线定义和几何性质建立基本量的关系.不妨设点 P 在双曲线的右支上,则

PF1-PF2=2a,又 PF1+PF2+2c=6a,两式相加得 PF1=4a-c>a+c? 3a>2c,所以离心率 c 3 1<e= < ,故选 A. a 2
答案 A 8.(2016·郑州质量预测)已知双曲线 2- 2=1,a∈R,F1,F2 分别为双曲线的左、右焦点,

x2 y2 a b

O 为坐标原点,点 P 为双曲线上一点满足|OP|=3a,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,
则此双曲线的离心率为( A. C. 21 3 2 7 3
2 2 2

) B. D. 7 3 7 3 3

解析 设 P(x0,y0)(x0≥a),则 x0+y0=9a , 2- 2=1,二者联立得

x2 y2 0 0 a b

3

x2 0=

2

9a +a b

4

2 2

c2

,又因为|PF1|= (x0+c) +y0
2 2 2

2

2

c ?x0 ? c (x0+c) +b ? 2-1?= x0+a,同理可得|PF2|= x0-a,由题意知|PF1|·|PF2|= a ?a ? a c2 a
2 2 2

4c ,所以 2x0-a =4c ,即 2× 答案 A 二、填空题

c2 9a4+a2b2 2 c 21 2 2 2 -a =4c ,整理得 7a =3c ,所以 = . 2 a c a 3

9.(2015·北京朝阳期末)已知双曲线中心在原点,一个焦点为 F1(- 5,0),点 P 在双曲 线上,且线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则此双曲线的方程是______________,离心率是 ________. 解析 由双曲线的焦点可知 c= 5,因为线段|PF1|的中点坐标为(0,2),所以设右焦点 为 F2, 则有 PF2⊥x 轴, 且|PF2|=4, 点 P 在双曲线右支上.所以|PF1|= (2 5) +4 = 36 =6, 所以|PF1|-|PF2|=6-4=2=2a, 所以 a=1,b =c -a =4,所以双曲线的方程为 x - =1,离心率 e= = 5. 4 a 答案 x - =1 4
2 2 2 2 2 2 2

y2

c

y2

5

10.(2015·山东枣庄四校联考)若双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)上存在点 P, 满足以|OP|为边 长的正方形的面积等于 2ab(其中点 O 为坐标原点),则该双曲线的离心率的取值范围是 ________. 解析 设 P(x0,y0),则以|OP|为边长的正方形的面积 S=|OP| =x0+y0=2ab,又 x0+y0≥ 2 b 1 ? 5 ? ?b? 5 a2,所以 2ab≥a2,则 ≥ ,故 e2=1+? ? ≥ ,所以 e∈? ,+∞?. a 2 ?a? 4 ?2 ? 答案 ?
2 2 2 2 2

x2 y2 a b

? 5 ? ,+∞? ?2 ?
创新导向题

双曲线离心率的取值范围问题

x2 y2 11.已知 F 为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,定点 G(0,c),若双曲线上存在一点 P a b
满足|PF|=|PG|,则双曲线的离心率的取值范围是( A.( 2,+∞) ) B.(1, 2)

4

C.[ 3,+∞)

D.(1, 3)

解析 因为 F(-c,0),G(0,c),则由|PF|=|PG|,知点 P 在线段 FG 的垂直平分线上, 即点 P 在 y=-x 上,则直线 y=-x 与双曲线 C 有公共点,所以将 y=-x 代入双曲线方 2 c ?b? 2 2 2 2 2 2 2 程得(b -a )x =a b ,则必有 b -a >0,所以? ? >1,所以 e= = a 2 ?b? 1+? ? > 2. a

? ?

a

? ?

答案 A 双曲线的焦点三角形问题

x y 5 12.已知 P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2 是其焦点,双曲线的离心率是 , a b 4
→ → 且PF1·PF2=0,若△PF1F2 的面积为 9,则 a+b 的值为________. → → 解析 设|PF1|=x,|PF2|=y,则由△PF1F2 面积为 9 及PF1·PF2=0 可得 xy=18, ∴x +y =4c , 5 2 2 2 故(x-y) =4c -36=4a ,又 e= , 4 ∴c=5,a=4,∴b=3,∴a+b=7. 答案 7
2 2 2

2

2

5


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