2013-2014学年河南省洛阳市高一(上)期末数学试卷(含答案版)

2013-2014 学年河南省洛阳市高一(上)期末数学试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分) 1.方程 +|2y+2|=0 的解集是( ) A.( ,-1) B.{ ,-1} C.{( ,-1)} D. ,-1

2.直线 3x- y+1=0 的倾斜角是( ) A.30° B.60° C.45° D.150° 2 3.已知圆锥的表面积为 12πcm ,且它的侧面展开图是一个半圆,则圆锥的底面半径为 ( ) cm cm A. B.2cm C.2 D.4cm 4.两直线 3x+y-3=0 与 6x+my+1=0 平行,则它们之间的距离为( ) A.4
1.4

B.
-0.8

C. ,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为(

D. )

5.已知 a=2 ,b=( )

A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a 6.设如图是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )

A. π+12 7.方程 A. B.

B. π+18

C.36π+18 )

D.9π+42

的根所在区间为( C.(1,2)

D.(2,3)

8.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心, 则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 2 2 9.已知集合 A={(x,y)|x +y -6x-8y+20=0},B={(x,y)|kx-y-4k+3=0},则 A∩B 的元 素个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 10.已知实数 x,y 满足方程 x +y -4x+1=0,则 A.[-1,1] B.[, ] C.[,
2 2

的取值范围是( ] D.[0,

) ]

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11.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有 两个动点 E,F,且 EF= ,现有下列结论:

①AC⊥BE; ②平面 AEF 与平面 ABCD 的交线平行于直线 EF; ③异面直线 AE,BF 所成的角为定值; ④三棱锥 A-BEF 的体积为定值,其中错误结论的个数是 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 12.已知函数 f (x) = ( 则 f[lg(lg2)]的值是( A.2 B.6 b 为常数, a>1) + ) ?x2+bx+4 (a, , 且 f[lg (log81000) ]=6, ) C.-6 D.-2

二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分) 13.过点(-1,2)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ______ . 14.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为 ,则 a= ______ . 15.已知 α,β 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,给出下列命题: ①若 m⊥α,m? β,则 α⊥β; ②若 m? β,α⊥β,则 m⊥α; ③如果 m? α,n?α,m,n 是异面直线,那么 n 与 α 相交; ④若 α∩β=m,n∥m,且 n?α,n?β,则 n∥α 且 n∥β. 其中正确命题的序号是 ______ . 16.已知函数 f(x) 是定义在 R 上的增函数, 函数 f (x-1) 的图象关于点 (1,0) 对称.若 2 2 2 2 实数 x,y 满足不等式 f(x -6x+21)+f(y -8y)<0,则当 x>3 时,2x +2y 的取值范围 是 ______ . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70.0 分) 17.已知两直线 l1:ax-2y+1=0 和 l2:x+by-1=0,求满足下列条件的 a,b 的值. (1)l1⊥l2,且直线 l1 过点(-3,-1) ; (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.

18.已知二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)在区间[-1, ]上,函数 y=f(x)的图象恒在直线 y=2x+m 的上方,试确定实数 m 的取值范围.

19.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N、P 分别是棱 DD1、CD、AD 的中点.
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(1)求证:平面 MNP∥平面 A1C1B. (2)将正方体沿平面 A1C1B 截出一个三棱锥 B1-A1C1B,求次棱锥的体积与剩下的几何体 体积的比. (3)求直线 B1D 与直线 MN 所成的角.

20.若 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,对一切 x,y>0,满足 f( )=f(x)-f (y) ,且 f(4)=2. (1)求 f(2)的值; (2)解不等式 f(x+3)-f( )<4.

21.如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 四个侧面都是等边三角形,AC 与 BD 的交点为 O,E 为侧棱 SC 的中点. (1)求证:平面 SA∥平面 BDE; (2)平面 BDE⊥平面 SAC; (3)求二面角 S-AB-C 的余弦值.

22.已知圆 C 过点 Q(1,1) ,且与圆 M: (x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线 2x+y+2=0 对称. (1)求圆 C 的方程; (2)设 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA,PB 是圆 C 的两条切线,A,B 为切点,求四 边形 PABC 面积的最小值.

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2013-2014 学年河南省洛阳市高一(上)期末数学试卷
答案和解析
【答案】 1.C 2.B 3.B 4.D 5.A 6.D 7.C 8.C 9.C 10.B 11.B 13.2x+y=0 或 x+y-1=0 14.1 15.①④ 16.(26,98) 17.解(1)∵l1⊥l2,∴a×1+(-2)b=0…(1) 又 l1 过点(-3,-1) ,则-3a+2+1=0…(2) 联立(1) (2)可得,a=1,b= . (2)依题意有: 且

12.A

解得:a=1,b=-2 18.解: (1)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c, ∵f(0)=1,∴c=1; 又 f(x+1)-f(x)=2x, 2 2 ∴a(x+1) +b(x+1)+1-ax -bx-1=2x, 即 ,

解得 a=1,b=-1, 2 ∴f(x)=x -x+1; (2)∵f(x)=x -x+1=
2

+ ,

在区间[-1, ]上,f(x)有最小值 f( )= , 即函数有最低点( , ) ; 把 x= ,y= 代入 y=2x+m 中,

解得 m=- ,如图



∴当 m< 时,y=f(x)的图象恒在直线 y=2x+m 的上方. 19.解: (1)证明:连接 AC,∵AA1∥CC1,又 AA1=CC1, ∴四边形 ACC1A1 为平行四边形,AC∥A1C1,AC?平面 A1C1B,∴AC∥平面 A1C1B,
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又 AC∥PN,∴PN∥平面 A1C1B, 同理 MN∥平面 A1C1B,又 MN∩PN=N,∴平面 MNP∥平面 A1C1B; (2) = × ×a×a×a= a3,

∴截去的三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为 1:5; (3)连接 DC1,CD1,∵B1C1⊥平面 CDD1C1,∴DC1 为 DB1 在平面 CDD1C1 内的射影, ∵DC1⊥CD1,又 MN∥CD1,由三垂线定理得:MN⊥DB1,

即直线 B1D 与直线 MN 所成的角为 90°.

20.解: (1)∵f( )=f(x)-f(y) ,且 f(4)=2, ∴f(2)=f( )=f(4)-f(2) , ∴2f(2)=f(4)=2, ∴f(2)=1; (2)∵f(4)=2,f(2)=1,f(x)=f( )+f(y) , ∴f(16)=f(4)+f(4)=2+2=4, ∴f(x+3)-f( )<4=f(16) , 即 f(3x+9)<f(16) , ∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数, ∴ ,解得-3<x< .

∴原不等式的解集为{x|-3<x< }. 21.(1)证明:连接 OE, 因为 E 为侧棱 SC 的中点时, OE 为△SAC 的中位线, 所以 SA∥OE, 因为 SA?平面 BDE,OE? 平面 BDE, 所以 SA∥平面 BDE; (2)证明:因为 SB=SD,O 是 BD 中点, 所以 BD⊥SO, 又因为四边形 ABCD 是正方形,所以 BD⊥AC, 因为 AC∩SO=O,所以 BD⊥平面 SAC, 又因为 BD? 平面 BDE, 所以平面 BDE⊥平面 SAC; (3)解:取 AB 的中点 F,连接 SF,OF,则 SF⊥AB,OF⊥AB, 所以∠SFO 为二面角 S-AB-C 的平面角, 设 AB=2a,则 SF= a,OF=a, 所以 cos∠SFO= = .

22.解: (1)∵圆 C 与圆 M 关于直线 2x+y+2=0 对称
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∴圆心 C 与圆心 M 关于直线 2x+y+2=0 对称 ∵圆 M 的圆心 M(-2,-2)

设 C(x,y) ,则

解得,x= ,y=∴圆 C 的圆心 C( 设圆 C 的方程为 圆 C 过点 Q(1,1) , ∴ ∴ ∴ (2)由题知, S 四边形 PABC=S△PAC+S△PBC ∵△PAC≌△PBC ∴ ∴当切线|PA|最短时,四边形面积最小 ∵ |PC|的最小值为圆心 C 到直线的距离 ∴ ∴四边形 PABC 的最小面积 故:四边形 PABC 面积的最小值为 2. . ) .

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