高二数学《圆锥曲线》单元测试题及答案

高二数学《圆锥曲线》单元测试题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1.下列曲线中离心率为 A
x
2

6 2

的是(
y
2

) C
x
2

?

y

2

?1 x
2

2

4 10 ? m ?

B
y
2

x

2

?

?1

?

y

2

?1

4

2

4

6

D

x

2

?

y

2

?1

4

10

2.椭圆 A.4

m?2

? 1 的长轴在 y 轴上,若焦距为 4,则 m 的值为(

)

B.5

C.7

D.8 )
2 2
1 2

3. 设焦点在 x 轴上的双曲线的虚轴长为 2, 焦距为 2 3 , 则该双曲线的渐近线方程是 ( A
y ? ? 2x

B
1 4

y ? ?2 x

C

y ? ?

x

D

y ? ?

x

2 4.抛物线 x ?

y 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是(
15 16
2

)

A.

17 16

B.

C. 0
x ? y
2

D.

7 8

5. 已知 F1 、F2 分别为椭圆

16

9

? 1 的左、 右焦点, 椭圆的弦 D E 过焦点 F1 , 若直线 D E

的倾斜角为 ? ( a ? 0 ) ,则 ? D E F 2 的周长为( A.64 6.若双曲线 值等于( A. 4 B.20
x
2

)

C.16
2 2

D.随 ? 变化而变化
2 2

?

y b

? 1 (b>0)的一条准线恰好为圆 x ? y ? 2 x ? 0 的一条切线,则 b 的

16

) B. 8
x
2

C. 2 3
? y
2

D. 4 3
???? ???? ? P F ? P F2 1 ???? 1 ???? ? ? 2 | P F1 | ? | P F 2 |

7.已知 P 是椭圆

? 1 上的点,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,若



25

9

则△F1PF2 的面积为( A.3 3

) B.2 3 C. 3 D. 3 3

8. 如图, 直线 MN 与双曲线 C:

x2 y2 = 1 的左右两支分别交于 M、 两点, N 2 - a b2 (λ ∈R),

与双曲线 C 的右准线相交于 P 点, F 为右焦点,若|FM|=2|FN|, 又= λ 则实数λ 的取值为( ) 1 1 A. B. 1 C.2 D. 2 3 9.若双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的右支上存在一点,它到右焦点及左准

线的距离相等,则双曲线的离心率的取值范围是( A. (1, 2 ] B. (1, 2 ? 1]

) D. [ 2 ? 1, ? ? )

C. [ 2 , ? ? )

1

10.如图,圆 F: ( x ? 1) ? y
2

2

? 1 和抛物线 x ?

y

2

,过 F 的直线与抛

4
物线和圆依次交于 A、B、C、D 四点,求 AB ? CD 的值是 ( ) A 1 B
x m
2 2

2
? y
2

C
2

3

D

无法确定

11. 椭圆 是( A. m ?

( m ? 1)

? ? 1 的准线平行于向量 n ? ( m , 0 ) ,则 m 的取值范围


1 2

B. m ?

1 2

C. m ?

1 2

且m ? 0

D. m ?

1 2

且m ? 0

12.下列命题: (1) 动点 M 到二定点 A、B 的距离之比为常数 ? ( ? ? 0 且 ? ? 1), 则动点 M 的轨迹是圆; (2) 椭圆
x a
2 2

? x a
2 2

y b ?

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为 y b
2
2 2

2 2

,则 b ? c ;

(3) 双曲线

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的焦点到渐近线的距离是 b ;

2 (4) .已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 ) 上两点 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 且 OA ? OB (O 是坐标原点),

则 y1 y 2 ? ? p . 以上命题正确的是( ) A.(2)、(3)、(4) B. (1)、(4)

C. (1)、(3)

D. (1)、(2)、(3)

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴长在 y 轴上,离心率为 的两个焦点的距离之和是 12,则椭圆的方程是—————————————————— 14. 动圆 M 与圆 C1: ? x ? 2 ? ? y
2 2

3 2

,且 G 上一点到 G

? 1 和圆 C2: ? x ? 2 ? ? y
2

2

? 1 都外切,则动圆 M

圆心的轨迹方程是———————————————— 15. 设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点是 F(1,0) ,直线 l 与抛物线 C 相交于 A、 B 两点,若 AB 的中点为(2,2) ,则直线 l 的方程是————————————————————— 16.已知双曲线 x ?
2

y

2

? 1 ,点 A( ?

5 ,0 ) ,B 是圆 x ? y ?
2

4

?

5

?

2

? 1 上一点,点 M

在双曲线右支上,则 MA ? MB 的最小值是—————————————— 三、解答题 17.经过双曲线 x ?
2

y

2

3

? 1 的左焦点 F1 作倾斜角为

?
6

的弦 AB,

求(1)线段 AB 的长; (2)设 F2 为右焦点,求 ? F 2 AB 的周长。

2

2 18.已知点 C 为 y ? px ? )的准线与 x轴的交点,点 F 为焦点,点 A, B 为抛物线上两 2 ( p 0

个点,若 FA ? FC 。 ? FB 2 ? 0 (1)求证: AB ? x 轴 ; (2)求向量 FA 与 FB 的夹角。

19.已知 A(1,0)和直线 m: x ? 1 ? 0 ,P 为 m 上任一点,线段 PA 的中垂线为 l,过 P 作 直线 m 的垂线与直线 l 交于 Q。 (1)求动点 Q 的轨迹 C 的方程; (2)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系,证明你的结论。

20.设椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1? a ? b ? 0 ? 过 M 2 ,

?

2 、N

?

?

6 ,1 两点,O 为坐标原点,

?

(1)求椭圆 E 的方程;
2 2 (2)若直线 y ? kx ? 4 ? k ? 0 ? 与圆 x ? y ?

8 3

相切,并且与椭圆 E 相交于两点 A、B,求

证: OA ? OB

21. 如图,双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1? a ? 0 , b ? 0 ? 的两条渐近线分别为 l 1 , l 2 ,经过右焦点 F 垂

3

直与 l1 的直线分别交 l 1 , l 2 于 A、B 两点与双曲线交于 C ,D 两点,双曲线的离心率

5 2



(1)求证: OA , AB , OB 依次成等差数列; (2)若 F( 5 , 0) ,求三角形 OCD 的面积。 y L1 B D x C L2 A

O

F

22.已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1? a ? b ? 0 ? 的左顶点 A 和上顶点 D,
10 3

椭圆 C 的右顶点为 B,点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AS、BS 与直线 x ?

分别交于 M、N 两点。 (1)求椭圆方程; (2)求线段 MN 的长度的最小值; (3)当线段 MN 的长度最小时,在椭圆上有两点 T1,T2,使得△T1SB,△T2SB 的面积都为
1 5

,求直线 T1T2 在 y 轴上的截距。

4

圆锥曲线单元测试题答案
一、选择题
题号 1 2 D 3 C 4 B 5 C 6 D 7 A 8 C 9 B 10 A 11 C 12 D 答案 B 二、填空题 13
y
2

?

x

2

?1

14 x ? 0

15 y ? x

16

36

9

10 ? 1

三 、解答题 17.解: 、 F1 ? ? 2 , 0 ? (1) 则直线 AB : y ?
3 3

k ? tan

?
6

?

3 3

设 A ? x1 y1 ? B ? x 2 y 2 ?
2

? x ? 2 ? 代入 3 x 2
1? k
2

? y

2

? 3 ? 0 整理得 8 x ? 4 x ? 13 ? 0

由距离公式 AB ?

? 8

? 3

6分

(2) F 2 A ? 2 x1 ? 1, F 2 B ? 1 ? 2 x 2 、
? F 2 A ? F 2 B ? 2 ? x1 ? x 2 ? ? 2 ?
? ? F 2 AB 的周长 L ? 3 ? 3 3

? x1

? x 2 ? ? 4 x1 x 2 ? 2 ?
2

3 2

3 ? 3 3

6分
? p ? , 0 ), C ? ? ,0 ? , 2 ? 2 ? p

18.解: (1) A ? x1 , x 2 ?

B ?x 2 y 2 ? , F (

p P ? ? ? ? FA ? ? x 1 ? , y 1 ? , FB ? ? x 2 ? , y 2 ? FC ? ? ? p . 0 ? 2 2 ? ? ? ?

由题意得:

x1 ? x 2 ? 3 p . y 1 ? y 2 ? 0
3 2



y 1 ? ? y 2 , 即 x1 ? x 2 ?

3p 2
y1 ? 3 p, y2 ? ? 3 p

A(

p,

?3 ? 3 p ), B ? p , ? 3 p ? 关于 x 轴对称,? AB ? x 轴 ?2 ?

6分

(2)? tan AFG ?

3p 3 2 p? p 2

?

3

即 ? AFG ?

?
3

由对称得 ? AFB ?

2? 3

,即向量 FA 与 FB 的夹角为

2? 3

6分

19.解: (1)设 Q(x,y),由题意知 PQ ? QA ,Q 在以 A 为焦点的抛物线 上,
p 2
5

? 1, p ? 2

Q 点轨迹方程 C 为: y ? 4 x
2

4分
y0 2
? ? y0 ? ? ,PA 中垂线方程: 2 ?

(2)设 P(-1,y0) ,当 y 0 ? 0时 , k PA ? ?

,PA 中点坐标是 ? 0 ,

y ?

2 y0

x?

y0 2

2 ,联立抛物线方程 y ? 4 x 得 y ? 2 y 0 y ? y 0 ? 0 ,有 ? ? 0

2

2

说明直线 l 与曲线 C 始终相切。 当 y 0 ? 0时 时,Q(0,0) 是 y 轴,与曲线 C 相切。 ,l
x a
2 2

8分

20.解:(1)因为椭圆 E:

?

y b

2 2

? 1 (a,b>0)过 M(2,

2 ) ,N( 6 ,1)两点,

2 1 ? 4 ? 1 ? ?1 ? 2 2 ? a2 b2 ? a2 ?a2 ? 8 x y ? ? 8 ? ?1 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ? 1 ? 1 ? a2 b2 ?b2 4 ? ?

4分

(2)设 A ? x 1 y 1 ? B ? x 2 y 2 ? ,由题意得: d ?
? y ? 5x ? 4 ? 2 2 化简得 11 x ? 16 联立 ? x 2 y ? ?1 ? 4 ? 8
x1 x 2 ? y 1 y 2 ? x1 x 2 ?

4 1? k
2

?

2 6 3

,k ?

5

2分

5 x ? 24 ? 0 ,有 x 1 ? x 2 ? ?

16 11

5 , x1 x 2 ?

24 11

?

5 x1 ? 4

??

5 x 2 ? 4 ? 6 x 1 x 2 ? 4 5 ( x 1 ? x 2 ) ? 16 =

?

?

320 11

?

144 11
2 2

? 16 ? 0

? OA ? OB

2分
1 2 , 故 tan ? A O B ? tan 2?

2 1 . 1) ( ?

c a

?

5 4

,? a ? 2 b , 设 ? A O F ? ? B O F ? ? , 则 tan ? ? 4 4 3 ??? ? , 令 O A ? 3m

??? ? AB ? ? , 即 ??? ? ? 2 1 ? tan ? 3 OA ??? ? ??? ? ??? ? 满足 O A ? O B ? 2 A B ,? 2 ta n ?

??? ? ??? ? ( m ? 0 ), 则 A B ? 4 m , O B ? 5 m

??? ??? ??? ? ? ? OA , AB , OB 依 次 成 等 差 数 列

6

( 2) 已 知 c = 5 ,? a
2

2

? 4, b =1, 双 曲 线 方 程 为
2

x

2

? y

2

?1

4 设 直 线 AB的 斜 率 为 k,则 k=tan? BFO=tan? AFO=cot? =2 ? l AB : y ? 2 ( x ? 5 ), 代 入 x
2

? y

2

? 1得 1 5 x ? 3 2
2

5 x ? 84 ? 0
2

6分

4 1? k 2
2

? 弦 C D的 长 度 C D ?

? 15

?

5

(3 2

5 ) ? 4 ?1 5 ? 8 4 15 1 2 CD ? d ? 1 2 ? 4 3

?

4 3

设 O到 C D 距 离 为 d,则 d=

5 5

? 2 ,? S ? O C D ?

?2 ?

4 3

22. 解(1)由已知得椭圆 C 的左顶点 A(-2,0),上顶点 D(0,1) ,得 a ? 2 , b ? 1
x
2

故椭圆方程:

? y

2

?1

2分
10 16 k , ) 3 3

4

(2)直线 AS 的斜率 k 显然存在,且大于 0,故设直线 AS: y ? k ( x ? 2 ) ,得 M (
? y ? k ( x ? 2) ? ? 4 ? ? y
2

由? x2

?1

得 ?1 ? 4 k

2

?x

2

? 16 k x ? 16 k
2

2

?4 ? 0

2分

设 S ( x1 , y 1 ), 则( ? 2) x1 ? 从而 y 1 ? 4k 1 ? 4k
2

16 k

2

?4
2

1 ? 4k
2 2

, 得 x1 ? )

2 ? 8k 1 ? 4k

2 2

,

,即 S(

2 ? 8k 1 ? 4k
1 4k

,

4k 1 ? 4k
2

B(2,0) ,直线 BS: y ? ?

( x ? 2)

1 ? ? y ? ? 4k ( x ? 2) 1 ? 16 k 1 ? 10 ? , 得N? ,? ? , MN ? ? 10 3 3k 3k ? ? 3 ? x ? 3 ?
k ? 0,

MN ?

16 k 3

?

1 3k

? 2

16 k 3

?

1 3k

?

8 3

, 当且仅当 k ?

1 4

时,线段 MN 长度最小值是

8 3

(3) k ?

1 4

, 直线 BS 的方程为:

4 2 ?6 4? x ? y ? 2 ? 0 . S ? , ? ? BS ? 5 ?5 5?
2 4

椭圆上有两点使三角形面积为

1 5

,则点 T1,T2 到 BS 的距离等于



2分

7

设直线 T1T2: x ? y ? t ? 0 ,由

t?2 2

?

2 4

, 得 t1 ? ?

3 2

或 t2 ? ?

5 2

?x2 2 ? y ?1 ? 3 2 当 t 1 ? ? , 联立 ? 4 得 5 x ? 12 x ? 5 ? 0 , 检验 ? ? 44 ? 0 .适合 3 2 ? x? y ? 2 ? ?x2 2 ? y ?1 ? 5 2 t 1 ? ? , 联立 ? 4 得 5 x ? 20 x ? 21 ? 0 , 检验 ? ? ? 20 ? 0 .舍去 5 2 ? x? y ? 2 ? 3
2

综上所述,直线 T1T2 在 y 轴上的截距是

4分

8


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