【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修4课件:第二章 平面向量 2.4.1_图文

阶 段 一

阶 段 三

2.4
阶 段 二

向量的数量积 数量积的定义
学 业 分 层 测 评

第 1 课时

1.了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念.(易错点) 2.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.(重点) 3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂 直的几何问题.(难点)

[ 基础· 初探] 教材整理 1 向量的数量积

阅读教材 P83 的有关内容,完成下列问题.
|a||b|cos θ 叫做 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角是 θ,我们把数量____________ |a||b|cos θ 内积 ,记作 a· 向量 a 和 b 的数量积(或_____) b,即 a· b=___________.

0 规定:零向量与任一向量的数量积为____.

已知|a|=3,|b|=6,则 (1)若 a 与 b 夹角为 0° ,则 a· b=________; (2)若 a 与 b 的夹角为 60° ,则 a· b=________; (3)若 a 与 b 的夹角为 90° ,则 a· b=________. 【解析】 (1)若 a∥b,则 a 与 b 的夹角为 0° ,
∴a· b=|a||b|cos 0° =|a||b|=18. 1 18 (2)a· b=|a||b|cos 60° =3×6× = =9. 2 2 (3)a· b=|a||b|cos 90° =3×6×0=0.

【答案】 (1)18 (2)9 (3)0

教材整理 2

两个向量的夹角

阅读教材 P83 的有关内容,完成下列问题. 1.定义:已知两个非零向量 a,b,如图 241所 → → ∠AOB 称为向量 a 与 b 的夹角. 示.作OA=a,OB=b,则_________
0° ≤θ≤180° 2.范围:_____________.

图 241 0°时,a 与 b 同向;当 θ=______ 180°时,a 与 b 反向. 3.当 θ=___
4.当 θ=______ 时,则称向量 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 90°

试指出图 242 中向量的夹角, → → 图①中向量OA与OB的夹角________; → → 图②中向量OA与OB的夹角________; → → 图③中向量OA与OB的夹角________; → → 图④中向量OA与OB的夹角________.

【答案】 θ 0° 180° θ

图 242

教材整理 3

向量的数量积的运算律及性质

阅读教材 P84 及 P85 链接完成下列问题. 1.向量数量积的运算律:已知向量 a,b,c 和实数 λ.

b·a ; (1)a· b=_________ a·(λb) =_________ λ(a·b) =________ λa·b ; (2)(λa)· b=_________
(3)(a+b)· c=_____________. a·c+b·c

2.数量积的性质:

a2 ; (1)a· a=|a|2 或|a|=_____
(2)|a· b|____| ≤ a||b|;
0 (3)a⊥b?a· b=___.

3.数量积的几何意义: a· b 的几何意义是数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos θ 的乘积. ________

已知|a|=3,|b|=5,a 与 b 的夹角为 45° ,则 a 在 b 上的投影为________;b 与 a 上的投影为________.

2 3 2 【解析】 a 在 b 上的投影为|a|cos 45° =3× = ; 2 2 2 5 2 b 在 a 上的投影为|b|cos 45° =5× = . 2 2
3 2 5 2 【答案】 2 2

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

[ 小组合作型]
向量数量积的运算及几何意义

已知|a|=2,|b|=3,a 与 b 的夹角为 120° ,求: (1)a· b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)· (a+3b).

【精彩点拨】 借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3).

【自主解答】 (1)a· b=|a||b|cos

? 1? ? - 120° =2×3×? ? 2?=-3. ? ?

(2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5. (3)(2a-b)(a+3b)=2a2+5a· b-3b2 =2|a|2+5|a||b|cos 120° -3|b|2 =8-15-27 =-34.

1. 求平面向量数量积的步骤: ①求 a 与 b 的夹角 θ, θ∈[0, π];②分别求|a|和|b|;③求数量积,即 a· b=|a||b|cos θ.要特别注 意书写时,a 与 b 之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接, 也不能省去. 2.较复杂的数量积的运算,需先利用向量数量积的运算律 或相关公式进行化简.

[ 再练一题] 1.已知正三角形 ABC 的边长为 1,求: → → → → (1)AB· AC;(2)AB· BC; → → (3)BC· AC.
→ → 【解】 (1)∵AB与AC的夹角为 60° , 1 1 → → → → ∴AB· AC=|AB||AC|cos 60° =1×1× = . 2 2

→ → (2)∵AB与BC的夹角为 120° , → → → → ∴AB· BC=|AB||BC|cos 120°
? 1? 1 ? ? =1×1×?- ?=- . 2 ? 2?

→ → (3)∵BC与AC的夹角为 60° , 1 1 → → → → ∴BC· AC=|BC||AC|cos 60° =1×1× = . 2 2

求向量的模 → → 已知向量 OA=a, OB =b,∠AOB=60° ,且 |a |= |b|=4.求 |a+b |, |a
-b|,|3a+b|.

【精彩点拨】 根据已知条件将向量的模利用|a|= a· a转化为数量积的运算 求解.

【自主解答】

1 ∵a· b=|a|· |b|cos∠AOB=4×4× =8, 2

∴|a+b|= ?a+b?2= a2+2a· b+b2 = 16+16+16=4 3, |a-b|= ?a-b?2= a2-2a· b+b2 = 16-16+16=4, |3a+b|= ?3a+b?2= 9a2+6a· b+b2 = 9×16+48+16=4 13.

1.求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系, 要灵活应用 a2=|a|2,勿忘记开方. 2. 一些常见的等式应熟记, 如(a± b)2=a2± 2a· b+b2, (a+b)· (a -b)=a2-b2 等.

[ 再练一题] 2.已知向量 a 与 b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a+b|= 10,则|b|=________. 【解析】 因为|2a+b|= 10,
所以(2a+b)2=10, 所以 4a2+4a· b+b2=10, 又因为向量 a 与 b 的夹角为 45° ,且|a|=1, 2 所以 4|a| +4|a||b|cos 45° +|b| =10,故 4×1 +4×1×|b|× +|b|2=10, 2
2 2 2

整理得|b|2+2 2|b|-6=0, 解得|b|= 2或|b|=-3 2(舍去),故|b|= 2.

【答案】

2

求向量的夹角

已知 a,b 都是非零向量,且 a+3b 与 7a-5b 垂直,a-4b 与 7a- 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角.
【精彩点拨】 解答本题可由已知中两个条件的垂直得到两个等式,从而

a· b 得到 a,b 之间的关系,再由 cos θ= 求得夹角. |a||b|

【自主解答】 由已知,得(a+3b)· (7a-5b)=0, 即 7a2+16a· b-15b2=0,① (a-4b)· (7a-2b)=0, 即 7a2-30a· b+8b2=0,②

①②两式相减,得 2a· b=b2, 1 2 ∴a· b= b , 2 代入①②中任一式,得 a2=b2, 设 a,b 的夹角为 θ, 1 2 b 2 a· b 1 则 cos θ= = = , |a||b| |b|2 2 ∵0° ≤θ≤180° ,∴θ=60° .

1.求向量 a,b 夹角的流程图: a· b 求|a|,|b| → 计算a· b → 计算cos θ= |a||b| → 结合θ∈[0,π],求解θ 2.若两非零向量 a,b 的夹角为锐角?a· b>0 且 a· b≠|a||b|; 两非零向量 a,b 的夹角为钝角?a· b<0 且 a· b≠-|a||b|.

[ 再练一题] 3.已知单位向量 e1,e2 的夹角为 60° ,求向量 a=e1+e2,b=e2-2e1 的夹 角 θ.

【解】 ∵e1,e2 为单位向量且夹角为 60° , 1 ∴e1· e2=1×1×cos 60° = . 2 ∵a· b=(e1+e2)· (e2-2e1) 1 3 =-2-e1· e2+1=-2- +1=- , 2 2

|a|= a = ?e1+e2? = |b|= b2= ?e2-2e1?2 = 1 1+4-4× = 3, 2

2

2

1 1+2× +1= 3, 2

3 1 1 a· b ∴cos θ= =- × =- . |a||b| 2 2 3× 3 又∵θ∈[0° ,180° ] ,∴θ=120° .

[ 探究共研型]
数量积的几何意义

探究 1 设非零向量 a,b,试用数量积“a· b”及|a|,|b|表示 a 在 b 上的投 影. 【提示】 a 在 b 上的投影为|a|cos θ,
a· b a· b 又 cos θ= ,∴|a|cos θ= . |a||b| |b|

探究 2 数量积 a· b=|a||b|cos θ 的几何意义是什么?
【提示】 数量积 a· b 等于 a 的模与 b 在 a 方向上的投影|b|cos θ 的乘积, 或 等于 b 的模与 a 在 b 方向上的投影|a|cos θ 的乘积.

已知 a· b=-9,a 在 b 方向上的投影为-3,b 在 a 方向上的投影为 3 - ,求 a 与 b 的夹角 θ. 2 【导学号:06460060】

【精彩点拨】 分别列出 a 在 b 方向上的投影和 b 在 a 方向上的投影,解 方程组便可.

【自主解答】 b ?a· ? |b| =-3, ? 3 b ?a· ? |a| =-2, ? b=-9, ?a·

由题意可知

∴|a|=6,|b|=3, -9 1 a· b ∴cos θ= = =- , |a||b| 6×3 2 2π 又 0≤θ≤π,∴θ= . 3

1.投影是个数量,可正、可负、可为零. 2.计算投影时要分清“谁是投影线”,即 a 在 b 上的投影 a· b a· b 为|a|cos θ= ;b 在 a 上的投影为|b|cos θ= . |b| |a|

[ 再练一题] → → → 4.在△ABC 中,已知|AB|=5,|BC|=4,|AC|=3,求: → → (1)AB· BC; → → (2)AC在AB方向上的投影; → → (3)AB在BC方向上的投影. → → → 【解】 ∵|AB|=5,|BC|=4,|AC|=3,

∴△ABC 为直角三角形,且 C=90° , AC 3 BC 4 ∴cos A= = ,cos B= = . AB 5 AB 5

4 → → → → (1)AB· BC=-BA· BC=-5×4× =-16; 5 3 → → 5×3× 5 9 AC· AB → → → (2)|AC|· cos〈AC,AB〉= = = ; → 5 5 |AB| → → → → BC BC· AB -BA· → → → (3)|AB|· cos〈AB,BC〉= = → → |BC| |BC| 4 -5×4× 5 = =-4. 4

[ 构建· 体系]

1.若|m |=4,|n|=6,m 与 n 的夹角为 135° ,则 m· n=________.
【解析】 m· n=|m ||n|cos
? 135° =4×6×? ?- ?

2? ? =-12 2. 2? ?

【答案】 -12 2

2. 已知|a|=3,|b|=5, 且 a· b=12, 则向量 a 在 b 方向上的投影为________.
【解析】 【答案】 a· b 12 |a|cos θ= = . |b| 5 12 5

3.设|a|=3,|b|=5,且 a+λb 与 a-λb 垂直,则 λ=______.
【解析】 (a+λb)· (a-λb)=a2-λ2b2=9-25λ2=0, 3 ∴λ=± . 5
【答案】 3 ± 5

4.下面给出的关系式中正确的有________. ①0· a=0; ②a· b=b· a; ③a2=|a|2; ④a· b≤|a||b|; ⑤(a· b)2=a2· b2.

【解析】 ①②③正确;④|a|· |b|≥a· b,⑤(a· b)2=a2· b2· cos2θ. 【答案】 ①②③④

1 1 5.已知|a|=1,a· b= ,(a-b)· (a+b)= . 2 2 (1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求|a+b|. 【导学号:06460061】

1 【解】 (1)∵(a-b)· (a+b)=a -b = ,|a|=1, 2
2 2

1 1 1 2 ∴b =a - =1- = ,∴|b|= , 2 2 2 2
2 2

a· b ∴cos θ= = |a||b|

2 = ,又 θ∈[0,π] , 2 2 1× 2

1 2

π π ∴θ= ,故 a 与 b 的夹角为 . 4 4 10 (2)|a+b|= ?a+b? = a +2a· b+b = . 2
2 2 2

我还有这些不足: (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) (2) _________________________________________________ _________________________________________________

学业分层测评(二十一)
点击图标进入…


相关文档

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修4课件:第二章 平面向量 2.1
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修4课件:第二章 平面向量 2.2.1
2020优秀【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修4课件:第二章 平面向量 2.4.1
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修4课件:第二章 平面向量 2.3.2.1
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修4课件:第二章 平面向量 2.3.1
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修4课件:第二章 平面向量 2.4.2
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修4课件:第二章 平面向量 2.2.2
2020优秀【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修4课件:第二章 平面向量 2.5
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修4课件:第二章 平面向量 2.2.3
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修4课件:第二章 平面向量 2.5
电脑版