坐标系与参数方程复习


个性化教案

坐标系与参数方程复习
适用学科 适用区域 知识点
数学 新课标

适用年级

高二

课时时长 (分钟) 60

简单图形的极坐标方程、极坐标与直角坐标方程的互化;直线、圆及椭圆 的参数方程、参数方程与普通方程的互化.

教学目标

理解简单图形的极坐标方程与参数方程,掌握极坐标与直角坐标方程的互 化及参数方程与普通方程的互化.

教学重点

极坐标与直角坐标方程的互化及参数方程与普通方程的互化.

教学难点

参数方程的应用

教学过程
一、复习
1. 直线的极坐标方程: 若直线过点 M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为 α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0 -α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点:θ=α; (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a; π b, ?且平行于极轴:ρsin θ=b. (3)直线过 M? ? 2? 2. 圆的极坐标方程: 若圆心为 M(ρ0,θ0),半径为 r 的圆方程为:
2 ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ2 0-r =0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点,半径为 r:ρ=r; (2)圆心位于 M(r,0),半径为 r:ρ=2rcos θ;

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π r, ?,半径为 r:ρ=2rsin θ. (3)圆心位于 M? ? 2? 3. 常见曲线的参数方程:
? ?x=rcos θ, (1)圆 x2+y2=r2 的参数方程为? (θ 为参数). ?y=rsin θ ? ? ?x=x0+rcos θ, (2)圆(x-x0)2+(y-y0)2=r2 的参数方程为? (θ 为参数). ?y=y0+rsin θ ? ?x=acos θ, ? x2 y2 (3)椭圆 2+ 2=1 的参数方程为? (θ 为参数). a b ?y=bsin θ ?
2 ? ?x=2pt , ? (4)抛物线 y =2px 的参数方程为 (t 为参数). ? ?y=2pt 2

? ?x=x0+tcos α, (5)过定点 P(x0,y0)的倾斜角为 α 的直线的参数方程为? (t 为参数). ?y=y0+tsin α ?

4. 直角坐标与极坐标的互化: 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,且在两坐标 系中取相同的长度单位.如图,设 M 是平面内的任意一点,它的直 角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则

? ?x=ρcos θ ? ? ? ,? y ?y=ρsin θ ? ?tan θ= ?x≠0? ?
x

ρ2=x2+y2

二、知识讲解
考点/易错点 1 极坐标与直角坐标的互化
ρ2=x2+y2 x

? ? ? ?x=ρcos θ ? 极坐标方程与普通方程互化核心公式: ,? y ? ?y=ρsin θ ?tan θ= ?x≠0? ?

.

考点/易错点 2

参数方程与普通方程的互化

参数方程化为普通方程,主要用“消元法”消参,常用代入法、加减消元法、利用三角恒等 式消元等.

考点/易错点 3

极坐标与参数方程的综合应用

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解决直线、 圆和圆锥曲线的有关问题, 将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普 通方程,有助于对方程所表示的曲线的认识,从而达到化陌生为熟悉的目的,这是化归与转 化思想的应用.

三、例题精析
【例题 1】在以 O 为极点的极坐标系中,直线 l 与曲线 C 的极坐标方程分别是
π ρcos(θ+ )=3 2和 ρsin2θ=8cos θ,直线 l 与曲线 C 交于点 A、B,求线段 AB 的长. 4 π π π 2 2 【解析】∵ρcos(θ+ )=ρcos θcos -ρsin θsin = ρcos θ- ρsin θ=3 2, 4 4 4 2 2 ∴直线 l 对应的直角坐标方程为 x-y=6. 又∵ρsin2θ=8cos θ,∴ρ2sin2θ=8ρcos θ. ∴曲线 C 对应的直角坐标方程是 y2=8x.
?x-y=6 ?x=2 ?x=18 ? ? ? 解方程组? 2 ,得? 或? , ? ? ? ?y =8x ?y=-4 ?y=12

所以 A(2,-4),B(18,12), 所以 AB= ?18-2?2+[12-?-4?]2=16 2. 即线段 AB 的长为 16 2. 【点评】 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围, 否则点的极坐标将不唯一. (2)在与曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,要注意转化的等价性.

【例题 2】已知直线 l 的参数方程为?

? ?x=4-2t, ?y=t-2 ?

x2 (t 为参数),P 是椭圆 +y2=1 上的任意 4

一点,求点 P 到直线 l 的距离的最大值.
?x=4-2t, ? 【解析】 由于直线 l 的参数方程为? (t 为参数), ? ?y=t-2

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故直线 l 的普通方程为 x+2y=0. x2 因为 P 为椭圆 +y2=1 上的任意一点,故可设 P(2cos θ,sin θ), 4

?sin?θ+π?? 2 2 ? ? 4?? |2cos θ+2sin θ| 其中 θ∈R.因此点 P 到直线 l 的距离是 d= = . 2 2 5 1 +2
π 2 10 所以当 θ=kπ+ ,k∈Z 时,d 取得最大值 . 4 5

【点评】 (1)参数方程化为普通方程,主要用“消元法”消参,常用代入法、加减消元法、 利用三角恒等式消元等.在参数方程化为普通方程时,要注意保持同解变形. (2)参数方程思想的应用,不仅有利于曲线方程的表达,也成为研究曲线性质的有力工 具,如在求轨迹方程、求最值的问题中有广泛的应用.

【例题 3】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为?

? ?x=2cos α, ?y=2+2sin α ?

(α 为参数).

→ → M 是 C1 上的动点,P 点满足\s\up6(→(→)OP=2\s\up6(→(→)OM,点 P 的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的参数方程; π (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ= 与 C1 的异于极点的交点为 3 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB.

?2=2cos α, x y? ? 【解析】(1)设 P(x,y),则由条件知 M?2,2?.由于 M 点在 C 上,所以? y ?2=2+2sin α,
1

x

? ? ?x=4cos α, ?x=4cos α, 即? 从而 C2 的参数方程为? (α 为参数) ?y=4+4sin α. ?y=4+4sin α. ? ?

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sin θ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=8sin θ. π π π 射线 θ= 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1=4sin ,射线 θ= 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2= 3 3 3 π 8sin . 3 所以 AB=|ρ2-ρ1|=2 3. 【点评】(1)曲线参数方程有很多优点: ①曲线上任一点坐标都可用一个参数表示,变元只有一个.特别对于圆、椭圆、双曲线有很 大用处.

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②很多参数都有实际意义,解决问题更方便.比如:
? ?x=x0+tcos α 直线参数方程? (α 为倾斜角,t 为参数),其中|t|=PM,P(x,y)为动点,M(x0, ?y=y0+tsin α ?

y0)为定点. (2)求两点间距离时,用极坐标也比较方便,这两点与原点共线时,距离为 |ρ1-ρ2|,这两点 与原点不共线时,用余弦定理求解.无论哪种情形,用数形结合的方法易得解题思路.

四、课堂运用
【基础】
1.求直线 2ρcos θ=1 与圆 ρ=2cos θ 相交的弦长. 【答案】 3 1 【解析】直线 2ρcos θ=1 可化为 2x=1,即 x= ; 2 圆 ρ=2cos θ 两边同乘 ρ 得 ρ2=2ρcos θ, 化为直角坐标方程是 x2+y2=2x. 1 3 3 将 x= 代入 x2+y2=2x 得 y2= ,∴y=± . 2 4 2 故弦长为 2× 3 = 3. 2

2.在极坐标系中, 曲线 C1: ρ( 2cos θ+sin θ)=1 与曲线 C2: ρ=a(a>0)的一个交点在极轴上, 求 a 的值. 【答案】 2 2

【解析】 ρ( 2cos θ+sin θ)=1, 即 2ρcos θ+ρsin θ=1 对应的普通方程为 2x+y-1=0, ρ=a(a>0)对应的普通方程为 x2+y2=a2. 在 2x+y-1=0 中,令 y=0,得 x= 将? 2 2 ? 代入 x2+y2=a2 得 a= . 2 ? 2 ,0? 2 . 2

?x=t+1, ? 3.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为? (t 为参数),曲线 C 的参数方 ? ?y=2t
2 ? ?x=2tan θ, ? 程为 (θ 为参数). 求直线 l 和曲线 C 的普通方程, 并求出它们的公共点的坐标. ?y=2tan θ ?

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1 ? 【答案】(2,2),? ?2,-1?.
?x=t+1, ? 【解析】 因为直线 l 的参数方程为? (t 为参数), ?y=2t ?

由 x=t+1 得 t=x-1,代入 y=2t,得到直线 l 的普通方程为 2x-y-2=0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2=2x.
?y=2?x-1?, ? 1 ,-1?. 联立方程组? 2 解得公共点的坐标为(2,2),? 2 ? ? ?y =2x, ?

.

【巩固】 ?x= 2cos t 1.已知曲线 C 的参数方程为? (t 为参数),C 在点(1,1)处的切线为 l,以坐标原点 ?y= 2sin t
为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求 l 的极坐标方程. 【答案】ρcos θ+ρsin θ-2=0

?x= 2cos t 【解析】 由? (t 为参数),得曲线 C 的普通方程为 x2+y2=2. ?y= 2sin t
则在点(1,1)处的切线 l 的方程为 y-1=-(x-1), 即 x+y-2=0.又 x=ρcos θ,y=ρsin θ, 故 l 的极坐标方程为 ρcos θ+ρsin θ-2=0.

? ?x=2cos t, 2.已知动点 P、Q 都在曲线 C:? (t 为参数)上,对应参数分别为 t=α ?y=2sin t ?

与 t=2α(0<α<2π),M 为 PQ 的中点. ①求 M 的轨迹的参数方程; ②将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.
? ?x=cos α+cos 2α, 【答案】①? ②M 的轨迹过坐标原点. ?y=sin α+sin 2α ?

【解析】①依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α), 因此 M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M 的轨迹的参数方程为
?x=cos α+cos 2α, ? ? (α 为参数,0<α<2π). ? ?y=sin α+sin 2α

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②M 点到坐标原点的距离 d= x2+y2= 2+2cos α(0<α<2π). 当 α=π,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点.

【拔高】
? ?x=acos φ 1.在直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的参数方程为? (φ 为参数, a>b>0), 在极坐标系(与 ?y=bsin φ ?

直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直线 l π 2 与圆 O 的极坐标方程分别为 ρsin(θ+ )= m(m 为非零常数)与 ρ=b.若直线 l 经过椭圆 C 的 4 2 焦点,且与圆 O 相切,求椭圆 C 的离心率. 【答案】 6 3

x2 y2 【解析】椭圆 C 的标准方程为 2+ 2=1,直线 l 的标准方程为 x+y=m, a b 圆 O 的方程为 x2+y2=b2, |m| ? ? 2=b 由题意知? ,∴a2-b2=2b2,a2=3b2, ? ? a2-b2=|m| ∴e= c2 a2= 3b2-b2 3b2 = 2 6 3= 3 .

2.在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的参数

?x=tan φ, 方程为? 1 ?y=tan φ
2

1

(φ 为参数),曲线 C2 的极坐标方程为 ρ(cos θ+sin θ)=1,

若曲线 C1 与 C2 相交于 A、B 两点. ①求线段 AB 的长; ②求点 M(-1,2)到 A、B 两点的距离之积. 【答案】① 10 ②|t1t2|=2.

【解析】 ①由曲线 C1 的参数方程可得曲线 C1 的普通方程为 y=x2(x≠0),

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由曲线 C2 的极坐标方程可得曲线 C2 的直角坐标方程为 x+y-1=0,

?x=-1- 22t, 则曲线 C 的参数方程为? 2 ?y=2+ 2 t
2

(t 为参数),

将其代入曲线 C1 的普通方程得 t2+ 2t-2=0, 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2, 则 t1+t2=- 2,t1t2=-2, 所以 AB=|t1-t2| = ?t1+t2?2-4t1t2= 10. ②由①可得 MA· MB=|t1t2|=2.

课程小结
1. 解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题,将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化 为普通方程,有助于对方程所表示的曲线的认识,从而达到化陌生为熟悉的目的,这是 化归与转化思想的应用.在涉及圆、椭圆的有关最值问题时,若能将动点的坐标用参数 表示出来,借助相应的参数方程,可以有效地简化运算,从而提高解题的速度. 2. 极坐标方程与普通方程互化核心公式:

? ? ? ?x=ρcos θ ? ,? y ?y=ρsin θ ? ?tan θ= ?x≠0? ?
x

ρ2=x2+y2

.

3. 过点 A(ρ0,θ0) ,倾斜角为 α 的直线方程为 ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).特别地,①过点 π A(a,0),垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ=a.②平行于极轴且过点 A(b, )的 2 直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ=b.
2 4. 圆心在点 A(ρ0,θ0),半径为 r 的圆的方程为 r2=ρ2+ρ0 -2ρρ0cos(θ-θ0).

? ?x=x0+tcos θ 5. 重点掌握直线的参数方程? (t 为参数),理解参数 t 的几何意义. ?y=y0+tsin θ ?

课后作业
【基础】
1. 在极坐标系中,求过圆 ρ=6cos θ 的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程.

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【答案】ρcos θ=3. 【解析】把 ρ=6cos θ 两边同乘以 ρ,得 ρ2=6ρcos θ, 所以圆的普通方程为 x2+y2-6x=0, 即(x-3)2+y2=9,圆心为(3,0), 故所求直线的极坐标方程为 ρcos θ=3.
?x=2s+1, ?x=at, ? ? 2.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l1:? (s 为参数)和直线 l2:? ? ? ?y=s ?y=2t-1

(t 为参数)平行,求常数 a 的值. 【答案】a=4
? ?x=2s+1, 【解析】由? 消去参数 s,得 x=2y+1. ?y=s ? ?x=at, ? 由? 消去参数 t,得 2x=ay+a. ? ?y=2t-1

2 1 1 ∵l1∥ l2,∴ = ≠ ,∴a=4. a 2 a π? 3 ? π? 3.如图,在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P? ? 2,4?,圆心为直线 ρsin?θ-3?=- 2 与 极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程. 【答案】ρ=2cos θ.

π? 3 【解析】在 ρsin? ?θ-3?=- 2 中令 θ=0,得 ρ=1, π 2, ?, 所以圆 C 的圆心坐标为(1,0).因为圆 C 经过点 P? 4? ? 所以圆 C 的半径 PC= ? 2?2+12-2×1× 2cos π =1, 4

于是圆 C 过极点,所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ.
?x=5cos φ, ? 4. 在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 ? (φ 为参数 ) 的右焦点,且与直线 ?y=3sin φ ? ?x=4-2t, ? ? (t 为参数)平行的直线的普通方程. ? ?y=3-t

【答案】x-2y-4=0. 【解析】由题设知,椭圆的长半轴长 a=5,短半轴长 b=3,

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从而 c= a -b =4,所以右焦点为(4,0). 将已知直线的参数方程化为普通方程:x-2y+2=0. 1 1 故所求直线的斜率为 ,因此其方程为 y= (x-4),即 x-2y-4=0. 2 2

2

2

【巩固】
1.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标
?x=t2, ? 方程为 ρcos θ=4 的直线与曲线? (t 为参数)相交于 A,B 两点,求 AB 的长. 3 ?y=t ?

【答案】16
?x=t2, ? 【解析】将极坐标方程 ρcos θ=4 化为直角坐标方程得 x=4,将 x=4 代入? 3 ?y=t ?

得 t=± 2,从而 y=± 8.所以 A(4,8),B(4,-8).所以 AB=|8-(-8)|=16.

π? 2.在极坐标系中,P 是曲线 ρ=12sin θ 上的动点,Q 是曲线 ρ=12cos? ?θ-6?上的动点, 试求 PQ 的最大值. 【答案】18 【解析】 ∵ρ=12sin θ,∴ρ2=12ρsin θ,∴x2+y2-12y=0, 即 x2+(y-6)2=36. 圆心坐标为(0,6),半径为 6. π? 又∵ρ=12cos? ?θ-6?, π π ∴ρ2=12ρ(cos θcos +sin θsin ), 6 6 ∴x2+y2-6 3x-6y=0, ∴(x-3 3)2+(y-3)2=36, 圆心坐标为(3 3,3),半径为 6. ∴(PQ)max=6+6+ ?3 3?2+?6-3?2=18.

π 3.已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sin θ,曲线 C2 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R), 6 曲线 C1,C2 相交于点 M,N.

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(1)将曲线 C1,C2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求线段 MN 的长. 【答案】(1)y= 3 x 3 (2)MN=2

【解析】 (1)由 ρ=4sin θ,得 ρ2=4ρsin θ, 即曲线 C1 的直角坐标方程为 x2+y2-4y=0, π 3 由 θ= (ρ∈R)得,曲线 C2 的直角坐标方程为 y= x. 6 3 (2)把 y= 3 x 代入 x2+y2-4y=0, 3

1 4 3 4 4 3 得 x2+ x2- x=0,即 x2- x=0, 3 3 3 3 解得 x1=0,x2= 3, ∴y1=0,y2=1. ∴MN= ? 3?2+1=2. 即线段 MN 的长为 2.

【拔高】
1.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆 C1, π? 直线 C2 的极坐标方程分别为 ρ=4sin θ,ρcos? ?θ-4?=2 2. (1)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (2)设 P 为 C1 的圆心,Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点. x=t +a, ? ? 已知直线 PQ 的参数方程为 ? b 3 (t∈R 为参数),求 a,b 的值. ?y=2t +1 ? π? ? π? 【答案】(1)? ?4,2?,?2 2,4? (2)a=-1,b=2.
3

【解析】(1)圆 C1 的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4, 直线 C2 的直角坐标方程为 x+y-4=0.
?x2+?y-2?2=4, ?x1=0, ? ? ? ?x2=2, ? 解? 得? ?x+y-4=0, ?y1=4, ? ?y2=2. ? ?

π π 4, ?,?2 2, ?, 所以 C1 与 C2 交点的极坐标为? 4? ? 2? ? (2)由(1)可得,P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2),(1,3). 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0,

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b ab 由参数方程可得 y= x- +1, 2 2

?2=1, 所以? ab ?- 2 +1=2,

b

解得 a=-1,b=2.

2.在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 分别写出圆 C1, C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. π? ? π? 【答案】(1) ? ?2,3?,?2,-3?. (2)

【解析】 (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2, 圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cos θ.
?ρ=2, ? π 解? 得 ρ=2,θ=± , 3 ?ρ=4cos θ ?

π π 2, ?,?2,- ?. 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为? 3? ? 3? ? 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)方法一
? ?x=ρcos θ, 由? ?y=ρsin θ ?

得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1, 3),(1,- 3). 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为
?x=1, ? ? - 3≤t≤ 3. ? ?y=t ?x=1, ? ? ? - 3≤y≤ 3? ?或参数方程写成? ? ?y=y ? ?

? ?x=ρcos θ, 1 方法二 将 x=1 代入? 得 ρcos θ=1,从而 ρ= . cos θ ?y=ρsin θ ?

于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为
? ?x=1, ? ?y=tan θ ?

?-π ≤θ≤π?. 3? ? 3

课后评价(在各自的系统上进行布置,不在教学案中体现)


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