广东高考数学前三题训练6

16.如图, 在三棱锥 S ? ABC 中, 底面 ABC 是边长为 4 的正三角形,侧面 SAC ? 底面 ABC ,

SA ? SC ? 2 3 , M , N 分别为 AB, SB 的中点.(Ⅰ)求证: AC ? SB ;(Ⅱ)求二面角
N ? CM ? B 的大小的余弦值.

S N

C

A

M

B

17.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间 的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥 面工程费用为 (2 ? x ) x 万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因 素,记余下工程的费用为

y 万元。 (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; y 最小?

(Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使

C:
18.已知椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的离心率e ? , 2 2 它的左、右焦点分别为 F1、F2, a b

点 P(2, 3 ) ,点 F2 在线段 PF1 的中垂线上。求椭圆 C 的方程;

16、解: (Ⅰ) 取 AC 的中点 O ,连结 OS, OB .

? SA ? SC, AB ? BC , ? AC ? SO, AC ? OB .
又平面 SAC ? 平面 ABC , 且平面 SAC ? 平面ABC ? AC ,

z S N

C O A x M

B

y

? SO ? 平面 ABC .
如图所示建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 A(2,0,0), B(0,2 3,0),C(?2,0,0), S (0,0,2 2 ), M (1, 3,0), N (0, 3, 2 ) .

??? ? ??? ? AC ? (?4,0,0), SB ? (0, 2 3, ?2 2) .
则 AC ? SB ? 0 ,? AC ? SB . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 CM ? (3, 3,0), MN ? (?1,0, 2 ).设 n = ( x, y, z ) 为平面 CMN 的一个法向量,

? ? ? ?? ?C M ? n ?3 x ? 3 y ?0 , ? ? ? ? ? ?? 0, ? M N? n ?- x ? 2 z ? 取 z ? 1 ,得 x ? 2, y ? ? 6 . ?

? n ?( 2,- 6,1) .又 OS ? (0,0,2 2 ) 为平面 ABC 的法向量, ??? ? n ? OS 1 ??? ? ? ??? ? 3 ?cos < n ? OS >= n ? OS .
1 ? 二面角 N ? CM ? B 的大小的余弦值为 3 . (n ? 1) x ? m,即n= m ?1 x

17.解 (Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩,

y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x=256(
所以

m m -1)+ (2 ? x ) x x x

?

256 x ? m x ? 2m ? 256. x

f '( x) ? ?
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,

256m x
2

1 3 m 3 ? mx 2 ? 2 ( x 2 ? 512). 2 2x

2 令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 512 ,所以 x =64

3

当 0< x <64 时 f '( x) <0,

f ( x) 在区间(0,64)内为减函数;

当 64 ? x ? 640 时, f '( x) >0. f ( x ) 在区间(64,640)内为增函数,

所以 f ( x ) 在 x =64 处取得最小值,此时, 故需新建 9 个桥墩才能使

n?

m 640 ?1 ? ? 1 ? 9. x 64

y 最小

e?
18、解:(1)由椭圆 C 的离心率

2 2

c 2 ? 2 2 2 ,其中 c ? a ? b , 得a
椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) 又点 F2 在线段 PF1 的中垂线上

? F1 F2 |?| PF2 |,? (2c) 2 ? ( 3 ) 2 ? (2 ? c) 2 |
x2 ? 椭圆的方程为 ? y 2 ? 1. 2 解得 c ? 1, a ? 2, b ? 1,
2 2


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