高中高二数学5月月考试题理新人教A版

柳州铁一中 第二学期高二第二次月考 理科数学
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分.考试时间 120 分钟,满分 150 分.请考生按规定用 笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 第 I 卷(共 60 分) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。

1? i 的值等于 ( ) 1? i 2 A. B. 2 C. i D. ? i 2 2. 设集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 2?, B ? ?x | x ? a?,若 A ? B ? ? ,则 a 的取值范围是( A. a ? 2 B. a ? ?2 C. a ? ?1 D. ? 1 ? a ? 2
1.复数 3.下列函数中,在区间(0,1)上为增函数的是 ( A. y ? log 1 x
2

)

) D. y ? x 2 ? x

B. y ?

1 x

C. y ? sin x

1 3 2 4.曲线 y= x -x +5 在 x=1 处的切线的倾斜角是 ( ) 3 3? ? ? ? A. B. C. D. 4 3 4 6 5.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 ? (
C. 6 π 6.若 f(cosx)=cos2x,则 f(sin )等于 ( 12 A. 8 A. 1 2 1 B.- 2 C.- 3 2 B. 7 D. 5 ) D. 3 2

)

?a ? log2 x, ( x ? 2) ? 7.已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? 4 在点 x=2 处连续,则常数 a 的值是 ( , ( x ? 2 ) ? ? x?2

)

A.2 B.3 C.4 D.5 8.7 人坐成一排,若只改变其中 3 人的位置,其他 4 人的位置不变,则不同的改变方法共 有 ( ) A.210 种 B.126 种 C.70 种 D.35 种 → 9.若 M 是△ABC 的重心,则下列向量中与AB共线的是 ( ) → → → → → → A. AB+BC+AC B. AM+MB+BC → → → → → C. AM+BM -CM D.3AM -AC 10.若双曲线

3a x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上横坐标为 的点到右焦点的距离大于它到左准 2 2 a b

线的距离,则双曲线离心率的取值范围是 ( ) A.(1,2) B.(2,+ ? ) C.(1,5) D.(5,+ ? ) 11 .正四面 体的四个顶点都在一个 球面上,且正四面体的 高为 4 ,则球的表面积 为
1

( A.16(12-6 3)? C.36 ? B.18 ?

)

D.64(6-4 2 )? 12.己知关于 x 的方程 的两根分别为椭圆和双曲线的离心率.记分别以 m、 n为 横纵坐标的点 P(m,n)表示的平面区域为 D,若函数 的图象上存在区域 D 上的点,则实数 a 的取值范围为 ( ) A. B. C. D.

第 II 卷(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

1 6 ) 展开式中的常数项为 .(结果用数字表示) x lg( x ? 3) 14.函数 y ? 的定义域是________.(结果用集合形式表示) x?4 15.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点 F 的直线与抛物线交于 P、Q,由 P、Q 分别引其准线的
13. ( x ? 垂线 PH1、QH2 垂足分别为 H1、H2,H1H2 的中点为 M,记|PF|=a,|QF|=b,则|MF|= . 16.AB 垂直于 ?BCD 所在的平面, AC ? 10, AD ? 17, BC : BD ? 3 : 4 ,当 ?BCD 的 面积最大时,点 A 到直线 CD 的距离为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本题满分 10 分) 在 △ ABC 中 , 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 已 知 它 的 周 长 为

2 ?1 , 且

si nA ? si n B?
(1)求 c 边的长;

2 siC n.
1 sin C ,求角 C 的度数. 6

(2)若 △ ABC 的面积为

18.(本题满分 12 分) 广西从今年秋学期开始进行高中新课程教学改革, 八月份在南宁举行一次数学新课程研 讨会, 共邀请全区四城市 50 名一线教师参加, 来自全区四城市的教师人数如下表所示: 城市 南宁市 柳州市 梧州市 桂林市 人数 20 15 5 10 (1) 从这 50 名教师中随机选出 2 名,求 2 人来自同一城市的概率; (2) 若指定从南宁市或柳州市中随机选出 2 名教师发言, 设发言人来自南宁市的教师人 数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

2

19.(本题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 ABB1 A 1 均为正方形, ?BAC ? 90 , 1 , ACC1 A 点 D 是棱 B1C1 的中点. (1)求证: A1D ⊥平面 BB1C1C ; (2)求二面角 D ? AC 1 ? A 的余弦值.

20.(本题满分 12 分). 设函数 f ?x ? ? ln x ? p?x ? 1?, p ? R .

(1)当 p ? 1 时,求函数 f ?x ? 的单调区间;

2 (2)设函数 g ?x? ? xf ?x? ? p 2x ? x ? 1 , 对任意 x ? 1 都有 g ?x ? ? 0 成立,求实数 p 的取 值范围.

?

?

21.(本题满分 12 分) 点 A、B 分别是椭圆

上,且位于 x 轴上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值。

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆 36 20

3

22. (本题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx(a ? 0) 的导函数 f ?( x) ? ?2 x ? 7 ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,

点 Pn (n, S n )(n ? N? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图象上. (1)求数列 ?an ? 的通项公式及 Sn 的最大值; (2)令 bn ?

2an ,其中 n ? N ? ,求 {nbn } 的前 n 项和.

2011 级第二次月考理科数学答案 一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 D C C A D C B C 二. 填空题(每小题 5 分, 共 20 分) 13. 15 14. {x | x ? 3且x ? 4} 15.

9 D 16.

10 B

11 C

12 A

ab

13 5

三. 解答题(共 90 分) 17. 解: (1)由 sin A ? sin B ? 2 sin C 及正弦定理,得

a ? b ? 2c ,又 a ? b ? c ? 2 ? 1 …………………4 分 ? 2c ? c ? 2 ? 1 ? c ? 1 ………………………5 分 1 1 (2)由 S ? ab sin C 又 S ? sin C 2 6 1 1 1 ? ab ? ,又 a ? b ? 2 ……7 分 ? ab sin C ? sin C 3 2 6 2 2 2 2 a ?b ?c (a ? b) ? 2ab ? c 2 1 ? ? ………….9 分 由 cos C ? 2ab 2ab 2
4

?C ? 60o …………………………………………………..10 分 2 18. 解:(1)从 50 名教师随机选出 2 名的方法数为 C50 ? 1225 ,……. 2 分
2 2 2 2 选出 2 人来自同一城市的方法数为 C20 ? C15 ? C5 ? C10 ? 350 ,……4 分

故 2 人来自同一城市的概率为 P ?

(2) ? 的所有可能取值为 0,1,2.

350 2 ? . …………………5 分 1225 7

P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ?
∴ ? 的分布列为

2 C15 3 ? , ……………………………………6 分 2 C 35 17
1 C1 60 20C15 , ……………………………… .7 分 ? 2 C35 119

C2 38 20 ……………………………………… 8 分 ? 2 C 35 119

?
P

0

1

2

………………10 分

3 17

60 119

38 119 E? ? 0 ?

3 60 38 136 8 ? 1? ? 2? ? ? … 17 119 119 119 7

………………….12 分 19. 解.(1)证明:因为侧面 ABB1 A 1 均为正方形, 1 , ACC1 A 所以 AA 1 ? AC, AA 1 ? AB , 所 以 AA1 ? 平 面 ABC , 三 棱 柱

ABC ? A1B1C1 是直三棱柱. 因 为 A1D ? 平 面 A1 B1 C , 所 以 1 CC1 ? A1D ,…………………3 分 D 为 B1C1 中点, 又因为 A 1B 1 ? AC 1 1, 所以 A 1D ? B 1C1 . …………5 分 因为 CC1 B1C1 ? C1 , 所以 A1D ? 平面 BB1C1C . ----(5 分) (2)解: 因为侧面 ABB1 A 1 均为正方形, 1 , ACC1 A

z D C11 A1

B1

x O y C A B

?BAC ? 90 , 所以 AB, AC, AA1 两两互相垂直,如图所示建立直角坐标系 A ? xyz ……6 分 1 1 , 0), B(1, 0, 0), A1 (0, 0,1), D( , ,1) . 设 AB ? 1 ,则 C (0,1 2 2 1 1 A1 D ? ( , , 0), A1C ? (0,1 , ? 1) ,………………………………………8 分 2 2 设平面 A 1 DC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有
? n ? A1 D ? 0 ? x ? y ? 0 ,? , x ? ? y ? ?z , ? ? n ? A1C ? 0 ? y ? z ? 0
5

取 x ? 1 ,得 n ? (1, ?1, ?1) . ………………………………………9 分 又因为

n ? AB n AB

?

1 3

?

3 3

, AB ? 平面 ACC1 A1 ,…………11 分

所以平面 ACC1 A1 的法向量为

AB ? (1,0, 0) ,因为二面角 D ? AC 1 ? A 是钝角.所

3 . -------------(12 分) 3 20.解: (1)当 p =1 时, f ( x) = ln x - x + 1 ,其定义域为 ? 0, ??? .
以,二面角 D ? AC 1 ? A 的余弦值为 ? 所以 f ?( x) ? 由 f ?( x) ?

1 ? 1 .…………2 分 x

1 ?1 ? 0 得 0 ? x ? 1, x 所以 f ( x ) 的单调增区间为 ? 0,1? ;单调减区间为 ?1, ?? ? .…………5 分

(2)由函数 g ( x) ? xf ( x) ? p(2 x2 ? x ?1) ? x ln x ? p( x 2 ?1) ,得 g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2 px . 由(1)知,当 p =1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 , 即不等式 ln x ? x ? 1 成立. ① 当p?? …………7 分

1 时, g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2 px ? ( x ? 1) ? 1 ? 2 px ? (1 ? 2 p) x ? 0 , 2 即 g(x)在 ?1,??? 上单调递减,从而 g ( x) ? g (1) ? 0 满足题意; …………9 分
② 当?

? 1 1 ? ? p ? 0 时,存在 x ? ?1, ? ? 使得 ln x ? 0,1 ? 2 px ? 0 , 2 2p ? ? ? ? 1 ? ? 上单调递增, 2p ?

从而 g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2 px ? 0 ,即 g(x)在 ?1, ? 从而存在 x0 ? ?1, ?

?

? ③当 p ? 0 时,由 x ? 1 知 g ( x) ? x ln x ? p( x2 ?1) ? 0 恒成立,此时不满足题意. 1 综上所述,实数 p 的取值范围为 p ? ? . …………12 分 2
21. 解.(1)由已知可得点 A(-6,0),F(4,0) 设点 P( x , y ),则 AP =( x +6, y ), FP =( x -4, y ),由已知可得

1 ? ? 使得 g ( x0 ) ? g (1) ? 0 不满足题意; 2p ?

? x2 y 2 ?1 ? ? ……………………………4 分 ? 36 20 2 ?( x ? 6)( x ? 4) ? y ? 0 ?
3 3 5 3 由于 y >0,只能 x = ,于是 y = . 2 2 2 3 5 3 ∴点 P 的坐标是( , )……………………………..6 分 2 2
则 2 x +9 x -18=0,
2

x = 或 x =-6.

6

(2) 直线 AP 的方程是 x - 3 y +6=0. 设点 M( m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是

m?6 2

.

于是

m?6 2

= m ? 6 ,又

-6≤ m ≤6,解得 m =2……………………………………………..8 分 椭圆上的点( x , y )到点 M 的距离 d 有

5 4 9 d 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? x ? 4 x 2 ? 4 ? 20 ? x 2 ? ( x ? ) 2 ? 15 ,……10 分 9 9 2 9 由于-6≤X≤6, ∴当 x = 时,d 取得最小值 15 ……………..12 分 2

22.解:(1)? f ( x) ? ax2 ? bx(a ? 0) ,? f ?( x) ? 2ax ? b 由 f ?( x) ? ?2 x ? 7 得: a ? ?1, b ? 7 ,所以 f ( x) ? ? x 2 ? 7 x …………2 分 又因为点 Pn (n, S n )(n ? N? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图象上,所以有 Sn ? ?n2 ? 7n 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 6 ……………………………………………3 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? ?2n ? 8 ,?an ? ?2n ? 8(n ? N? ) 令 an ? ?2n ? 8 ? 0 得 n ? 4 ,? 当 n ? 3 或 n ? 4 时, Sn 取得最大值 12 ………5 分 综上, an ? ?2n ? 8(n ? N? ) ,当 n ? 3 或 n ? 4 时, Sn 取得最大值 12 …………6 分 (2)由题意得 b1 ? 所以

26 ? 8, bn ? 2?2 n ?8 ? 2? n ? 4

1 bn ?1 1 ? ,即数列 ?bn ? 是首项为 8 ,公比是 的等比数列…………7 分 2 bn 2

故 {nbn } 的前 n 项和 Tn ? 1? 23 ? 2 ? 22 ?

? n ? 2?n?4 ………………①

1 Tn ? 1? 22 ? 2 ? 2 ? ? (n ? 1) ? 2? n ? 4 ? n ? 2? n ?3 …………②..........9 分 2 1 3 2 ? n ?4 ? n ? 2 ? n ?3 所以① ? ②得: Tn ? 2 ? 2 ? ? 2 2 …………………11 分

1 16[1 ? ( )n ] 2 ? n ? 24?n ? 32 ? (2 ? n)24?n ?Tn ? 1 1? 2 …………………12 分

7


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