【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.3.2双曲线的简单性质练习 北师大版

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【成才之路】2015-2016 学年高中数学 2.3.2 双曲线的简单性质练 习 北师大版选修 1-1

一、选择题 x2 y2
1.双曲线与椭圆16+64=1 有相同的焦点,它的一条渐近线为 y=-x,则双曲线方程

为(  )

A.x2-y2=96

B.y2-x2=160

C.x2-y2=80

D.y2-x2=24

[答案] D

[解析] 由已知 c2=a2-b2=64-16=48,故双曲线中 c2=48,且焦点在 y 轴上,

a b=1,a=b.由 c2=a2+b2 可得 a2=b2=24,故选 D.

π 2.双曲线的渐近线与实轴的夹角为 6 ,则离心率 e 是(  )

10 A. 3

23 B. 3

C. 3

D.2

[答案] B

b3

b

1 23

? ?2+1 +1

[解析] 设双曲线焦点在 x 轴上,则 tanθ=a= 3 ,e= a

=3 =3.

x2 y2

x2 y2

3.双曲线a2-b2=1 与a2-b2=λ(λ≠0)有相同的(  )

A.实轴

B.焦点

C.渐近线

D.以上都不对

[答案] C

x2 y2

x2 y2

b

[解析] a2-b2=λ 的渐近线方程为a2-b2=0,(bx-ay)(bx+ay)=0,即 y=±ax.

4.(2014·河北唐山市一模)双曲线 x2-y2=4 左支上一点 P(a,b)到直线 y=x 的距离

为 2, 则 a+b= (  )

A.-2

B.2

C.-4

D.4

[答案] A |a-b|
[解析]  2 = 2,∴|a-b|=2,

2

1

∵双曲线左支在直线 y=x 上方,

∵a<b,∴a-b=-2,又∵a2-b2=4,∴a+b=-2.

x2 y2

x2 y2

5.(2014·山西大学附中月考)双曲线a2-b2=1 和椭圆m2+b2=1(a>0,m>b>0)的离

心率互为倒数,那么(  )

A.a2+b2=m2

B.a2+b2>m2

C.a2+b2<m2

D.a+b=m

[答案] A

a2+b2

[解析] 双曲线离心率 e1= a ,

m2-b2

椭圆离心率 e2= m ,

a2+b2· m2-b2

由 e1·e2=1 得

am

=1,

化简得 a2+b2=m2.

x2 y2 6.已知双曲线 2 -b2=1(b>0)的左右焦点分别为 F1、F2,其一条渐近线方程为 y=x,点 P( 3,y0)在该双曲线上,则P→F1·P→F2=(  )

A.-12 

B.-2  

C.0  

D.4

[答案] C

[解析] 本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质.

由题意得 b2=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),

又点 P( 3,y0)在双曲线上,∴y20=1,

P→F1 P→F2 ∴ · =(-2-

3,-y0)·(2-

3,-y0)=-1+y20=0,故选 C.

二、填空题

7.已知圆 C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个

焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为________. x2 y2
[答案]  4 -12=1

[解析] 本题考查双曲线的标准方程.

令 x=0,则 y2-4y+8=0 无解.

令 y=0,则 x2-6x+8=0,∴x=4 或 2.

∴圆 C 与 x 轴的交点坐标为(4,0)和(2,0),

故双曲线的顶点为(2,0)、焦点为(4,0),

2

1

x2 y2 故双曲线的标准方程为 4 -12=1.
x2 y2 8.双曲线 4 + b =1 的离心率 e∈(1,2),则 b 的取值范围是________.

[答案] (-12,0)

4-b [解析] ∵b<0,∴离心率 e= 2 ∈(1,2), ∴-12<b<0.

三、解答题

x2 y2

5

9.(1)求与椭圆 9 + 4 =1 有公共焦点,且离心率 e= 2 的双曲线的方程;

5 (2)求虚轴长为 12,离心率为4的双曲线的标准方程.

x2

x2 y2

y2 x2

[答案] (1) 4 -y2=1 (2)64-36=1 或64-36=1

x2 y2 [解析] (1)设双曲线的方程为9-λ-λ-4=1(4<λ<9),则

a2=9-λ,b2=λ-4,

∴c2=a2+b2=5,

5

c2 5 5

∵e= 2 ,∴e2=a2=9-λ=4,解得 λ=5,

x2 ∴所求双曲线的方程为 4 -y2=1.

(2)由于无法确定双曲线的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上,所以可设双曲线标准方程为

x2 y2

y2 x2

a2-b2=1(a>0,b>0)或a2-b2=1(a>0,b>0).

c5 由题设知 2b=12,a=4且 c2=a2+b2,

∴b=6,c=10,a=8.

x2 y2

y2 x2

∴双曲线的标准方程为64-36=1 或64-36=1.

x2 y2 10.已知 F1、F2 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦.如果∠PF2Q=90°,求双曲线的离心率.

[解析] 设 F1(c,0),由|PF2|=|QF2|,∠PF2Q=90°,

2

1

知|PF1|=|F1F2|=2c,|PF2|=2 2c. 由双曲线的定义得 2 2c-2c=2a.
c2 ∴e=a=2 2-2=1+ 2. 所以所求双曲线的离心率为 1+ 2.

一、选择题

x2 y2

1.已知 F1、F2 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,以线段 F1F2 为边作正△

MF1F2,若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为(  )

A.4+2 3

B. 3-1

3+1 C. 2

D. 3+1

[答案] D

[解析] 设线段 MF1 的中点为 P,由已知△F1PF2 为有一锐角为 60°的直角三角形, ∴|PF1|、|PF2|的长度分别为 c 和 3c. 由双曲线的定义知:( 3-1)c=2a,

2 ∴e= 3-1= 3+1.

2.已知 F1、F2 为双曲线 C?x2-y2=1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠F1PF2=60°,

则|PF1|·|PF2|=(  )

A.2  

B.4  

C.6  

D.8

[答案] B

[解析] 该题考查双曲线的定义和余弦定理,考查计算能力.

在△F1PF2 中,由余弦定理得, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2
cos60°= 2|PF1|·|PF2|

2

1

?|PF1|-|PF2|?2-|F1F2|2+2|PF1|·|PF2|



2|PF1|·|PF2|

4a2-4c2

-2b2

=2|PF1||PF2|+1=|PF1|·|PF2|+1,

故|PF1|·|PF2|=4.

5 3.设椭圆 C1 的离心率为13,焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1

的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为(  )

x2 y2 A.42-32=1

x2 y2 B.132-52=1

x2 y2 C.32-42=1

x2 y2 D.132-122=1

[答案] A

[解析] 本题考查椭圆、双曲线的定义.

5 ∵椭圆 C1 的离心率为13,焦点在 x 轴上且长轴长为 26,∴C1 的长半轴为 13,半焦距 为 5,则 C1 的两个焦点 F1(-5,0),F2(5,0),设 C2 上的点 P(x,y),
∴||PF1|-|PF2||=8<|F1F2|=10, x2 y2
∴C2 的轨迹是实轴长为 8,焦距长为 10 的双曲线,方程为:42-32=1,故选 A. x2 y2
4.(2014·吉林延边州质检)已知双曲线 9 - m =1 的一个焦点在圆 x2+y2-x-90=0

上,则双曲线的渐近线方程为(  )

3 A.y=±4x
22 C.y=± 3 x

B.y=±2 2x 32
D.y=± 4 x

[答案] B

[解析] ∵方程表示双曲线,∴m>0,

∵a2=9,b2=m, ∴c2=a2+b2=9+m,∴c= 9+m,

∵双曲线的一个焦点在圆上, ∴ 9+m是方程 x2-x-90=0 的根, ∴ 9+m=9,∴m=72, ∴双曲线的渐近线方程为 y=±2 2x,故选 B.

二、填空题

2

1

x2 y2 5.(2014·三峡名校联盟联考)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为
x2 y2 x-2y=0,则椭圆a2+b2=1 的离心率 e=________.
3 [答案]  2
b1 [解析] 由条件知a=2,即 a=2b, ∴c2=a2-b2=3b2,c= 3b,

c 3b 3

∴e=a= 2b = 2 .

x2 y2

x2 y2

6.(2014·天津市六校联考)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)和椭圆16+ 9 =1 有相

同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________. x2 y2
[答案]  4 - 3 =1 [解析] 椭圆中,a2=16,b2=9,∴c2=a2-b2=7,

7 ∴离心率 e1= 4 ,焦点(± 7,0),
c7 ∴双曲线的离心率 e2=a= 2 ,焦点坐标为(± 7,0), ∴c= 7,a=2,从而 b2=c2-a2=3,
x2 y2 ∴双曲线方程为 4 - 3 =1.

三、解答题

7.根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程.

5 (1)过点 P(3,- 2),离心率 e= 2 .

(2)F1,F2 是双曲线的左、右焦点,P 是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,S△ PF1F2=12 3,且离心率为 2.
x2 y2 [答案] (1)x2-4y2=1 (2) 4 -12=1

[解析] (1)若双曲线的实轴在 x 轴上,

x2 y2 设a2-b2=1 为所求.

5 c2 5

由 e= 2 ,得a2=4.



92 由点 P(3,- 2)在双曲线上,得a2-b2=1. ②

2

1

1 又 a2+b2=c2,由①②得 a2=1,b2=4.
y2 x2 若双曲线的实轴在 y 轴上,设a2-b2=1 为所求.
c2 5 2 9 同理有a2=4,a2-b2=1,a2+b2=c2.
17 解之,得 b2=- 2 (不符,舍去).

故所求双曲线方程为 x2-4y2=1.

x2 y2 (2)设双曲线方程为a2-b2=1,因|F1F2|=2c,
c 而 e=a=2,由双曲线的定义,

得||PF1|-|PF2||=2a=c.

由余弦定理,得

(2c)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2 =(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|(1-cos60°), ∴4c2=c2+|PF1||PF2|.
1 又 S△PF1F2=2|PF1||PF2|sin60°=12 3, ∴|PF1||PF2|=48. ∴3c2=48,c2=16,得 a2=4,b2=12.

x2 y2 故所求双曲线的方程为 4 -12=1.
x2 8.设双曲线 C:a2-y2=1(a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两个不同的点 A,B.

(1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围;

(2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且P→A=152P→B,求 a 的值.

( ) 6

17

,2

[答案] (1) 2

∪( 2,+∞) (2)13

[解析] (1)由 C 和 l 相交于两个不同的点,知方程组Error!有两个不同的实数解.消

去 y 并整理得

(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.①

所以Error!,解得 0<a< 2且 a≠1.

1+a2 1 +1
双曲线的离心率 e= a = a2 .

2

1

6 ∵0<a< 2且 a≠1,∴e> 2 且 e≠ 2,

( ) 6

,2

即离心率 e 的取值范围为 2

∪( 2,+∞).

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1).

∵P→A=152P→B,∴(x1,y1-1)=152(x2,y2-1).

5

由此得 x1=12x2.

由于 x1,x2 都是方程①的根,且 1-a2≠0,

17

2a2 5

2a2

∴12x2=-1-a2,12x2=-1-a2.

2a2 289

17

消去 x2,得-1-a2= 60 .又∵a>0,∴a=13.

2


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