代数式的范围求解技巧-高考数学解题模板

【高考地位】 求代数式的取值范围问题是代数学习中常见题型,这类问题在今年来的高考试题中略见不鲜,往往会 和不等 式、导数、圆的方程等知识结合在一 起,综合考查学科内综合应 用能力. 解决这类问题,除了考虑 不等式的有关知识外, 还应掌握一定的方法和技巧如代入法、 配方变形法、 估计数值法和构造方程组法等. 其 高考考试题型主要有填空题或选择题,其难度有时较大,其试题难度属中高档题. 【方法点评】 一、代入消元法 使用情景:一般代数式的范围求解 解题模板:第一步 根据已知条件将变量尽可能少的用同一变量表示出来; 第二步 直接代入并结合不等式的性质、导数等知识进行求解其范围; 第三步 得出结论. 例 1 已知 a ? b ? 0 ,且 3a ? 2b ? 6 ? ac ? 4b ? 8 ? 0 ,则 c 的取值范围是 . [来源:学_科_网 Z_X_X_K] 【变式演练 1】设 y ? x 4 ? 4x3 ? 8x 2 ? 8x ? 5 ,其中 x 为任意实数,则 y 的取值范围是( ) (A)一切实数 (B)一切正实数 (C)一切大于或等于 5 的实数 (D)一切大于或等于 2 的实数 2 2 2 【变式演练 2】 a, b, c 是不全相 等的任意实数,且 x ? a ? bc , y ? b ? ac , z ? c ? ab ,则 x, y , z 的取 值范围是( ) (A)都小于 0 (B)都大于 0 (C)至少有一个小于 0 (D)至少有一个大于 0 [来源:Z§xx§k.Com] 二、构造方程组法 使用情景:一般代数式的范围求解 解题模板:第一步 首先将已知条件看成是二元一次方程组; 第二步 然后结合已知条件并运用不等式等相关知识对其进行求解; 第三步 得出结论. 例 2 若 x ? y ? z ? 30 , 3x ? y ? z ? 50 , x, y , z 均为非负数, 则 M ? 5 x ? 4 y ? 2 z 的取值范围是( ) (A) 100 ? M ? 110 (B) 110 ? M ? 120 (C) 120 ? M ? 130 (D) 130 ? M ? 140 . 【变式演练 3】已知实数 a , b 满足 3 a ? 5 b ? 7, s ? 2 a ? 3 b ,则 s 的取值范围是 三、换元转化法 使用情景:一般代数式的范围求解 [来源:学,科,网 Z,X,X,K] 解题模板:第一步 首先将对其进行作适当的换元; 第二步 然后结合已知条件并运用不等式等相关知识对其进行求解; 第三步 得出结论.. 例 3 实数 a , b 满足 a ? ab ? b ? 1 ,且 t ? ab ? a ? b ,那么 t 的取值范围是 2 2 2 2 . . 【变式演练 4】若 x , y 为实数,且 1 ? x 2 ? 4 y 2 ? 2 ,则 x2 ? 2 xy ? 4 y 2 的取值范围是 2 【高考再现】 1. 【2016 高考浙江理数】已知实数 a,b,c( A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则 a2+b2+c2<100 B.若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1,则 a2+b2+c2< 100 C.若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1,则 a2+b2+c2<100 D.若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1,则 a2+b2+c2< 100 2.【2015 高考浙江,理 14】若实数 x, y 满足 x ? y ? 1,则 2x ? y ? 2 ? 6 ? x? 3 y 的最小值是 2 2 ) . 3.【2015 高考浙江,文 6】有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色 2 各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单 位: m )分别为 x , y , z ,且 x ? y ? z ,三种颜色涂料的粉 刷费用(单位:元/ m )分别为 a , b , c ,且 a ? b ? c .在不同的方案中,最低的总费用(单位:元) 2 是( ) B. az ? by ? cx C. ay ? bz ? cx D. ay ? bx ? cz A. ax ? by ? cz 4.【2015 高考重庆,文 14】设 a, b > 0, a + b = 5 ,则 a +1+ b+3 的最大值为________. 5.【 2015 高考天津,文 12】已知 a ? 0, b ? 0, ab ? 8, 则当 a 的值为 值. [t 2 ] ? 2 , 6. 【2015 高考湖北, 理 10】 设 x ?R , 使得 [t ] ? 1 , …, [ x] 表示不超过 x 的最大整数. 若存在实数 t , 时 log2 a ? log2 ? 2b? 取得最大 [t n ] ? n 同时成立 ,则正整数 n 的最大值是( .... ) C .5 D.6 [来源:学*科*网 Z*X*X*K][来源:Zxxk.Com] A.3 B.4 【反馈练习】 1. 【2016-2017 学年河北故城县高级 中学高二上期中数学试卷, 理 6】 设M ? a ? a5 ? 6 N , ?2 aa ? ? 2? 9 2 ? , 则有( ) B. M ? N C. M ? N D. M ? N A. M ? N 2. 【2016-2017 学年辽宁鞍山一中高二上期中考试理数试卷,理 15】已知 1 ? a ? 2, ?2 ? b ? ?1 ,则 值范围是____________(答案写成区间或集合) . a 的取 b 3. 【2017 届上海市实验学校高三 9 月月考数学试卷,理 15】已知 1 ? a ? b ? 3 ,2 ? 2a ? b ? 4 ,则 3a ? b 的取值范围是 . 4. 【2016 届浙江绍兴柯桥区高三教学质量调测二模理数试卷, 理 14】 已知正实数 x , y 满足 x ? 2 y

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