【浙江版】高中数学必修5 第一章1.1.2余弦定理一 学案课件_图文

1.1.2(一) 1.1.2 余弦定理(一) 【读一读学习要求,目标更明确】 1.理解余弦定理的证明. 2.初步运用余弦定理及其变形形式解三角形. 【看一看学法指导,学习更灵活】 1.教材给出了用向量法证明余弦定理的方法,体现了向量在 解决三角形度量问题中的重要作用. 2.余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理可以看作 是余弦定理的特例. 本 课 栏 目 开 关 填一填· 知识要点、记下疑难点 1.1.2(一) 本 课 栏 目 开 关 1.余弦定理 三角形中任何一边的 平方 等于其他两边的平方 的和减去 这两边与它们的 夹角 的余弦的积的 两倍 .即 a2= b2+c2 -2bccos A ,b2=c2+a2-2cacos B ,c2= a2 + b2 - 2abcos C. 填一填· 知识要点、记下疑难点 1.1.2(一) 2.余弦定理的推论 本 课 栏 目 开 关 c2+a2-b2 b2+c2-a2 a2+b2-c2 2ca ;cos C= 2ab . cos A= 2bc ;cos B= 3.在△ABC中: (1)若a2+b2-c2=0,则C= 90° ; (2)若c2=a2+b2-ab,则C= 60° ; (3)若c2=a2+b2+ 2ab,则C= 135° . 研一研· 问题探究、课堂更高效 1.1.2(一) 本 课 栏 目 开 关 问题探究一 利用向量法证明余弦定理 → → → → → 问题 如图所示,设CB=a,CA=b,AB=c,由AB=CB- → CA知 c=a-b.根据这一关系,试用向量的数量积证明余 弦定理. 证明 |c|2=c· c=(a-b)· (a-b) =a· a+b· b-2a· b =a2+b2-2|a||b|cos C. 所以 c2=a2+b2-2abcos C. 同理可以证明:a2=b2+c2-2bccos A, b2=c2+a2-2cacos B. 研一研· 问题探究、课堂更高效 1.1.2(一) 问题探究二 问题 利用坐标法证明余弦定理 如图,以 A 为原点,边 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐 本 课 栏 目 开 关 标系,则 A(0,0),B(c,0),C(bcos A, bsin A),试根据两点间的距离公 式证明余弦定理. 证明 ∵B(c,0),C(bcos A,bsin A). ∴BC2=b2cos2A-2bccos A+c2+b2sin2A, 即 a2=b2+c2-2bccos A. 同理可证:b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C. 研一研· 问题探究、课堂更高效 典型例题 1.1.2(一) 例 1 在△ABC 中,已知 a=2,b=2 2,C=15° ,求 A. 解 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=8-4 3, 所以 c= 6- 2, 本 课 栏 目 开 关 asin C 1 由正弦定理得 sin A= c =2, 因为 b>a,所以 B>A, 所以 A=30° . 小结 解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理,本例中的 条件是已知两边及其夹角,而不是两边及一边的对角,所以 本例的解法应先从余弦定理入手. 研一研· 问题探究、课堂更高效 1.1.2(一) 跟踪训练 1 在△ABC 中, 边 a, b 的长是方程 x2-5x+2=0 的两个根,C=60° ,求边 c. 解 由题意:a+b=5,ab=2. 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a+b)2- 3ab=52-3×2=19.∴c= 19. 本 课 栏 目 开 关 研一研· 问题探究、课堂更高效 1.1.2(一) 例 2 已知三角形 ABC 的三边长为 a=3,b=4,c= 37,求 △ABC 的最大内角. 解 ∵c>a,c>b,∴角 C 最大.由余弦定理, 本 课 栏 目 开 关 得 c2=a2+b2-2abcos C, 即 37=9+16-24cos C, 1 ∴cos C=- , 2 ∵0° <C<180° ,∴C=120° . ∴△ABC 的最大内角为 120° . 小结 已知三边求三角时,余弦值是正值时,角是锐角,余 弦值是负值时,角是钝角. 研一研· 问题探究、课堂更高效 1.1.2(一) 跟踪训练 2 在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=2∶4∶5, 判断三角形的形状. 解 因为 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=2∶4∶5, 所以可令 a=2k,b=4k,c=5k(k>0). (2k)2+(4k)2-(5k)2 c 最大,cos C= <0, 2×2k×4k 所以 C 为钝角, 从而三角形为钝角三角形. 本 课 栏 目 开 关 研一研· 问题探究、课堂更高效 1.1.2(一) 例 3 在△ABC 中,acos A=bcos B,试确定△ABC 的形状. 解 方法一 利用正弦定理化边为角. 本 课 栏 目 开 关 acos A=bcos B ?2Rsin Acos A=2Rsin Bcos B ?sin 2A=sin 2B ?2A=2B 或 2A+2B=π π ?A=B 或 A+B=2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 研一研· 问题探究、课堂更高效 方法二 利用余弦定理化角为边. 1.1.2(一) acos A=bcos B b2+c2-a2 a2+c2-b2 ?a· =b· 2bc 2ac ?a2(c2-a2)=b2(c2-b2) ?a4-b4-a2c2+b2c2=0 ?(a2+b2)(a2-b2)-c2(a2-b2)=0 ?(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, ∴a2=b2 或 a2+b2-c2=0, ∴a=b 或 a2+b2=c2. ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 本 课 栏 目 开 关 研一研· 问题探究

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