广东省深圳市高级中学2014—2015学年高二上学期期中考试数学(理)试卷

  1.若 a∈ R, 则 “ a= 2” 是 “ (a- 1)(a- 2)= 0” 的 (   )

  A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

  C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

  2. 抛物线的焦点为





  A.(0,2) B.(4,0)

C.

D.

  3.若{a,b,c}为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是(  )

  A.a,a+b,a-b 

   B.b,a+b,a-b

  C.c,a+b,a-b

D.a+b,a-b,a+2b

  4.若点 P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在的直线方程为 (   )

  A.2x+y-3=0 B.x-2y+1=0 C.x+2y-3=0 D.2x-y-1=0

  5.命题 p:不等式的解集为{x|0<x<1},命题 q:“A=B”是“sinA=sinB”成立的必要

非充分条件,则

(    )

  A.p 真 q 假 B.p 且 q 为真 C.p 或 q 为假

D.p 假 q 真

  6. 若向量 a=(1,λ,1),b=(2,-1,1)且 a 与 b 的夹角的余弦值为,则λ等于 (   )

  A.2

B.-2

C.-2 或

D.2 或

  7.若点的坐标为,是抛物线的焦点,点在抛物线上移动时,使取得最小值的的坐标为 ()

  A B

CD

  8.已知圆 O:x2+y2=r2,点 P(a,b)(ab≠0)是圆 O 内一点,过点 P 的圆 O 的最短弦所在 的直线为 l1,直线 l2 的方程为 ax+by+r2=0,那么(  )

  A.l1∥l2,且 l2 与圆 O 相离

B.l1⊥l2,且 l2 与圆 O 相切

  C.l1∥l2,且 l2 与圆 O 相交

D.l1⊥l2,且 l2 与圆 O 相离

  第Ⅱ卷 (非选择题共 110 分)

  二.填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分)

  9.已知下列四个命题: ①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角

形全等”的否命题;③“若 m≤1,则方程 x2-2x+m=0 有实根”的逆否命题;④“若 A∩B= B,则 AB”的逆否命题.其中真命题的是_________(填写对应序号即可).

  14. 已知 P 是椭圆上的点,、分别是椭圆的左、右焦点,若,则△的面积为____________.

  三.解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

  15.设 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a>0,q:实数 x 满足 若 p 是 q 的必要不充 分条件,求实数 a 的取值范围.

  17.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交点都在圆 M 上.

  (1)求圆 M 的方程;

  (2)若圆 M 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值.

  18.已知动点 P 与平面上两定点连线的斜率的积为定值.

  (1)试求动点 P 的轨迹方程 C.

  (2)设直线与曲线 C 交于 M、N 两点,当|MN|=时,求直线 l 的方程.

  19.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,H 是正方形 AA1B1B 的中心,AA1=2,C1H⊥平面 AA1B1B,且 C1H=.

  (1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值;

  (2)求二面角 A-A1C1-B1 的正弦值;

  20.已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F(0,),且长轴长与短轴长的比是:1.

  (1)求椭圆 C 的方程;

  (2)若椭圆 C 上在第一象限的一点 P 的横坐标为 1,过点 P 作倾斜角互补的两条不同的直线 PA,PB 分别交椭圆 C 于另外两点 A,B,求证:直线 AB 的斜率为定值;

  (3)在(2)的条件下,求△PAB 面积的最大值.

  高级中学 2014-2015 学年第一学期期中考试

  高二数学(理科)答题卷

  一、选择题(每题 5 分,8 题共 40 分)

  题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案

  二、填空题(每题 5 分,6 题共 30 分)

  9.

10.

  11.

12.

  13.

14.

  三、解答题:(本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)

  15. (本小题满分 12 分)

  16. (本小题满分 12 分)

  17. (本小题满分 14 分)

  18. (本小题满分 14 分)

  19. (本小题满分 14 分)

  20.(本小题满分 14 分)

  高级中学 2014-2015 学年第一学期期中考试

  高二数学(理科)答题卷

  16 .(本小题满分 12 分)

  在正方形 AMDE 中,因为 B 是 AM 的中点,所以 AB∥DE.又因为 AB?平面 PDE,所以 AB∥平面 PDE.

  因为 AB?平面 ABF,且平面 ABF∩平面 PDE=FG,

  所以 AB∥FG………………………5 分

  (2)因为 PA⊥底面 ABCDE,所以 PA⊥AB,PA⊥AE.

  如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A- xyz, 则 A(0,0,0), B(1,0,0), C(2,1,0), P(0,0,2), F(0,1,1),=(1,1,0)…………7 分

  设平面 ABF 的法向量为 n=(x,y,z),则

  即

  令 z=1,则 y=-1,所以 n=(0,-1,1).……………………….9 分

  设直线 BC 与平面 ABF 所成角为α,则

  sinα=|cos〈n,〉|=||=…………………………………11 分   因此直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小为. ……………………..12 分   17. (本小题满分 14 分)   解:(1)曲线 y=x2-6x+1 与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交点为(3+2 ,0),(3-2 ,0)   故可设 M 的圆心为(3,t),则有 32+(t-1)2=(2 )2+t2,解得 t=1.∴圆 M 的半径为= 3.   ∴圆 M 的方程为(x-3)2+(y-1)2=9…………………………………..6 分   (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:   消去 y,得到方程 2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.   由已知可得,判别式Δ=56-16a-4a2>0.   因此 x1+x2=4-a,x1x2=. ①   由于 OA⊥OB,可得 x1x2+y1y2=0.   又 y1=x1+a,y2=x2+a,∴2x1x2+a(x2+x2)+a2=0. ②   由①②,得 a=-1,满足Δ>0,故 a=-1……………………………………14 分   18. (本小题满分 14 分)   (1)解:设点,则依题意有,…………………3 分   整理得由于,所以求得的曲线 C 的方程为………………………………………6 分   (Ⅱ)由   解得 x1=0, x2=分别为 M,N 的横坐标).………………………10 分   由   ……………………………………………………………………12 分   所以直线 l 的方程 x-y+1=0 或 x+y-1=0.………………………………………14 分   19.(本小题满分 14 分)   如图所示 ,建立空间直角坐标系,点 B 为坐标原点.依题意得 A(2,0,0),B(0,0,0), C(,-,),A1(2,2,0),B1(0,2,0),C1(,,).

  (1)易得=(-,-,),=(-2,0,0),于是 cos〈,〉===. 所以异面直线 AC 与 A1B1

所成角的余弦值为.

………………………………………6 分

  (2)易知=(0,2,0),=(-,-,).

  设平面 AA1C1 的法向量 m=(x,y,z),则即

  不妨令 x=,可得 m=(,0,).

  同样的,设平面 A1B1C1 的法向量 n=(x,y,z),则

  即

  不妨令 y=,可得 n=(0,,).………………………………………10 分

  于是 cos〈m,n〉===,

  从而 sin〈m,n〉=.

  所以二面角 A-A1C1-B1 的正弦值为.………………………………………14 分

  20.(本小题满分 14 分)

  解 (1)设椭圆 C 的方程为+=1(a>b>0).

  由题意,得

  解得 a2=4,b2=2.

  所以椭圆 C 的方程为+=1. ………………………………………4 分

  (2)由题意知,两直线 PA,PB 的斜率必存在,设 PB 的斜率为 k.又由(1)知,P(1,),

  则直线 PB 的方程为 y-=k(x-1).

  由

  得(2+k2)x2+2k(-k)x+(-k)2-4=0. ……6 分

  设 A(xA,yA),B(xB,yB),则

  xB=1·xB=,

  同理可得 xA=.

  则 xA-xB=,yA-yB=-k(xA-1)-k(xB-1)=.

  所以 kAB==为定值.………………………………………9 分   (3)由(2),设直线 AB 的方程为 y=x+m.   由得 4x2+2mx+m2-4=0.   由Δ=(2m)2-16(m2-4)>0,得 m2<8.   此时 xA+xB=-,xA·xB=.   点 P 到直线 AB 的距离 d=,   |AB|=   = .   ∴S△PAB=d·|AB|=·=   当且仅当 m2=8-m2 即 m2=4 时,Smax=.…………………………………14 分   


相关文档

广东省深圳市宝安中学2014-2015学年高二第一学期期中考试数学(理)试题
试题精选_广东省深圳市高级中学2014—2015学年度高二上学期期中考试数学(理)调研试卷_精校完美版
广东省深圳市高级中学2014—2015学年度高二上学期期中考试数学(理) Word版含答案.doc
广东省深圳市高级中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理)试卷
广东省深圳市高级中学2014—2015学年度高二上学期期中考试数学(文)
【数学】广东省深圳市高级中学2014-2015学年高二下学期期中考试(文)
广东省深圳市高级中学2014—2015学年度高二上学期期中考试数学(理)
广东省深圳市高级中学2014—2015学年度高二上学期期中考试数学(理) Word版含答案
广东省深圳市高级中学2014-2015学年高二下期中考试数学(理)试卷及答案
广东省深圳市高级中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试卷
电脑版