高中数学~数列的通项及求和的几种方法

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高中数学~~数列的通项及求和的几种方法
1/求数列通项公式
? ? [ 高一数学] 题型:简答题

a1=1

an+1=an+(2n-1)

求 an

问题症结:不会做

考查知识点:
? 已知和与项的关系求通项

难度:中 解析过程:

规律方法: 递推为 an+1=an+f(n)形式的数列,可用累加法求数列通项公式 2、求通项公式
? ? [ 高二数学] 题型:填空题

问题症结:找不到突破口,请老师帮我理一下思路

考查知识点:
? 已知递推关系求通项

难度:中

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解析过程:

? a n ? M ? 3( a n ? 1 ? M ),? a n ? 3 a n ? 1 ? 2 M ,? a n ? 3 a n ? 1 ? 4,? M ? 2 . ? a n ? 2 ? 3( a n ? 1 ? 2 ),? an ? 2= 3 ? 3
n ?1 n

an ? 2 a n ?1 ? 2
n

? 3,? { a n ? 2}以 a1 ? 2 = 3为 首 项 ,为 公 比 的 等 比 数 列 , 3

? 3 ? an ? 3 ? 2.

规律方法:
利用待定系数法,构造等差、等比数列求通项公式 求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求 较高.通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法体现了数学中化未知为 已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法. ① 递 推 公 式 为 a n ?1 ? pa n ? q ( 其 中 p , q 均 为 常 数 , ( pq ( p ? 1) ? 0 ) ) . 把 原 递 推 公 式 转 化 为 :
a n ? 1 ? t ? p ( a n ? t ) ,其中 t ?
q 1? p

,再利用换元法转化为等比数列求解.
lg a n lg a n ? 1

②对于 a n ? a n ?1 ,可构造对数式: a n ? a n ? 1 ? lg a n ? M lg a n ? 1 ?
M

M

? M .

③递推公式为 a n ?1 ? pa n ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq ( p ? 1)( q ? 1) ? 0 ) ):引入辅助数列
n

?b n ? (其中 b n

?

an q
n

) ,得: b n ? 1 ?

p q

bn ?

1 q

再应用①的方法解决.

④递推公式为 a n ? 2 ? pa n ? 1 ? qa (其中 p, 均为常数) q :先把原递推公式转化为 a n ? 2 ? sa n ? 1 ? t ( a n ? 1 ? sa n ) n 其中 s,t 满足 ?
?s ? t ? p ? st ? ? q

,再应用①求解.

⑤递推公式为 a n ? 1 ?

c ? an pan ? d

( c ? p ? d ? 0 )解法:两边取倒数得

1 a n ?1

?

d ca n

?

p c

,然后构造新数列 ?b n ? ,

使 bn ?

1 an

,转化为 b n ? 1 ?

d c

bn ?

p c

,再应用①求解.

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本题知识点:数列的通项及求和的几种方法
概述 所属知识点: [数列] 包含次级知识点: 等差等比数列求通项、已知递推关系求通项、已知和与项的关系求通项、等差等比数列求和、非等差等比数列求和 知识点总结

本节主要包括利用猜想法、公式法、构造法、累差、累乘求数列的通项和利用公式法、分组求和、 裂项求和、错位相减和倒序相加求和等知识点。其中难度较大的是利用构造法求数列的通项和错位相减求 和。解答这类题主要是掌握规律性的东西,然后直接套方法就可以了。 1. 数列中数的有序性是数列定义的灵魂,要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同。 因此在研究数 列问题时既要注意函数方法的普遍性,又要注意数列方法的特殊性。

3.

求通项常用方法 an=(an-an-1+(an-1+an-2)+…+(a2-a1)+a1

①作新数列法:作等差数列与等比数列 ②累差叠加法: 最基本形式是 ③归纳、猜想法 4. 数列前 n 项和常用求法 ①重要公式 1+2+…+n= n(n+1) 12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1) 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2= n2(n+1)2 ②等差数列中 Sm+n=Sm+Sn+mnd,等比数列中 Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn ③裂项求和:将数列的通项分成两个式子的代数和,即 an=f(n+1)-f(n),然后累加时抵消中间的许多项。 应掌握以下常见的裂项:

④错位相减法 ⑤分组求和法 数列通项与和的方法多种多样,要视具体情形选用合适方法。
常见考法

本节知识在段考和高考中是常考内容,多以选择题和填空题形式考查基础知识,以解答题的形式 德智 QQ 学习分享群:261920562

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考查学生对数列的定义的证明、 数列通项的求法和数列的求和问题, 属于难题。 也经常和数列的最值问题、 恒成立问题等联合考查。

误区提醒

解决数列问题时,容易把数列的项数和其它基本量弄错。 【典型例题】 例1 等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前 n 项和为 Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且 b2S2 =64,b3S3=960. (1)求 an 与 bn;

例2 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 n∈N*,点(n,Sn)均在函数 y=bx+r(b >0且 b≠1,b,r 均为常数)的图象上. (1)求 r 的值;

解:(1)由题意,Sn=bn+r, 当 n≥2时,Sn-1=bn 1+r. 所以 an=Sn-Sn-1= bn 1(b-1), 由于 b>0且 b≠1,
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所以当 n≥2时,{an}是以 b 为公比的等比数列,

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