2016-2017学年高中数学阶段质量评估1北师大版选修2-3讲义

2016-2017 学年高中数学 阶段质量评估 1 北师大版选修 2-3
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.从甲地到乙地一天有汽车 8 班,火车 3 班,轮船 2 班,某人从甲地到乙地,他共有 不同的走法( A.13 种 C.24 种 ) B.16 种 D.48 种

解析: 应用分类加法计数原理,不同走法共有 8+3+2=13 种. 答案: A 2.某单位有 15 名员工,其中男性 10 人,女性 5 人,现需要从中选出 6 名员工组成考 察团外出参观学习,如果按性别同比例选取,则此考察团的组成方法种数是( A.C10 C.C15
5 3

)

B.C10C5 D.A10A5
4 2 4 2

4

2

解析: 由题意知,要从男性 10 人中选取 4 人,女性 5 人中选取 2 人,故有 C10C5种组 团方法. 答案: B 3.组合数方程 5Cn+Cn=Cn的解是( A.6 C.5 或 1 解析: 代入法,经验证选 B. 答案: B 4.6 个人排队,其中甲、乙、丙 3 人两两不相邻的排法有( A.30 种 C.5 种 B.144 种 D. 4 种
3 5 4 3

) B. 5 D.以上都不对

)

解析: 分两步完成:第一步,其余 3 人排列有 A3种排法;第二步,从 4 个可插空档中 任选 3 个给甲、乙、丙 3 人站有 A4种插法.由分步乘法计数原理可知,一共有 A3A4=144 种. 答案: B 5. 由数字 1、 2、 3、 4、 5 组成没有重复数字的五位数, 其中小于 50 000 的偶数共有( A.60 个 C.36 个 B.48 个 D.24 个 )
3 3 3

解析: 个位上数字只能从 2 与 4 中任选一个, 有 2 种选法, 万位上的数字有 3 种选法, 其余位上的数字有 6 种选法,

1

∴共计 2×3×6=36(个). 答案: C 6.从 6 个人中选出 4 人参加数、理、化、英语比赛,每人只能参加其中一项,其中甲、 乙两人都不参加英语比赛,则不同的参赛方案的种数共有( A.96 C.240 B.180 D.288
4

)

解析: 方法一:分三种情况:①甲,乙都不参加比赛有 A4种;②甲、乙只有一人参加 比赛有 C2·C3·A4种; ③甲、 乙两人都参加比赛有 A3·A4种.故共有 A4+C2·C3·A4+A3·A4= 240(种). 方法二:若不考虑限制条件,从 6 人中选出 4 个参加四项比赛,共有 A6种参赛方案,而 其中甲参加了英语比赛的方案有 A5种,乙参加了英语比赛的方案也有 A5种.故甲、乙两人都 不参加英语比赛的方案种数是 A6-2A5=360-120=240(种). 答案: C
4 3 3 3 4 1 1 3 2 2 4 1 1 3 2 2

x 1 n 7. 在( - ) 的展开式中, 只有第 5 项的二项式系数最大, 则展开式中常数项是( 2 3 x
A.-7 C.-28 B. 7 D.28

)

解析: 只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式共 9 项, 即 n=8,

x 8-r 1 r r 1 8-r 4 r Tr+1=Cr (- ) =C8(-1) ·( ) ·x8- r, 8( )
2 3 2 3

x

当 r=6 时为常数项,T7=7. 答案: B 8. 某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日(端午节假期)值班, 每天安排 2 人, 每人值班 1 天.若 6 位员工中的甲不值 14 日,乙不值 16 日,则不同的安排方法共有( A.30 种 C.42 种 B.36 种 D.48 种 )

解析: 依题意,就乙是否值 14 日分类:第一类,乙值 14 日,则满足题意的方法共有 C4·C4=24 种(注:C4表示从除甲、乙外的 4 人中任选一人参与 14 日的值班的方法数;C4表 示从余下的 4 人中任选两人参与 15 日的值班的方法数);第二类,乙不值 14 日,则满足题 意的方法共有 C4·C3=18 种(注:C4表示从除甲、乙外的 4 人中任选两人参与 14 日的值班的 方法数;C3表示从余下的 3 人中任选一人与乙共同参与 15 日的值班的方法数).因此,满足 题意的方法共有 24+18=42 种.
1 2 1 2 1 2 1 2

2

答案: C 9.(4 -2 ) (x∈R)展开式中的常数项是( A.-20 C.15 解析: 设第 r+1 项为常数项, C62
r 2x(6-r) x
-x 6

) B.-15 D.20

(-2 ) =(-1) ·C62

-x r

r

r 12x-2rx-rx


4 4

∴12x-3rx=0,∴r=4.∴常数项为(-1) C6=15. 答案: C 10.从集合{1,2,3,?,10}中,选出由 5 个数组成的子集,使得这 5 个数中任何两个 数的和不等于 11,则这样的子集共有( A.10 个 C.20 个 ) B.16 个 D.32 个

解析: 和为 11 的数对有(1,10)、(2,9)、(3,8)、(4,7)、(5,6),要使任何两个数的 和不等于 11,只需从 5 个数对中分别任取一个数. ∴满足条件的子集有 C2·C2·C2·C2·C2=32 个. 答案: D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 11.从 5 名运动员中任选 4 名排在编号为 1,2,3,4 的四条跑道上(每条跑道只排一名), 其中某甲不能排在第 1,2 跑道上,那么不同的排法一共有____________种. 解析: 由题意优先考虑甲,分为二类,第一类为甲参加,有 C4·C2A3=48 种;第二类, 甲不参加,有 C4A4=24 种. 故有 48+24=72 种. 答案: 72 12.将标号为 1,2,?,10 的 10 个球放入标号为 1,2,?,10 的 10 个盒子内.每个盒 内放一个球,则恰好有 3 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 ____________种.(以数字作答) 解析: 从 10 个球中任取 3 个,有 C10种方法.取出的 3 个球与其所在盒子的标号不一 致的方法有 2 种. ∴共有 2C10=240 种方法. 答案: 240 1 10 3 13.( x- ) 的展开式中的有理项有____________项. 3 2 x
3 3 4 4 3 1 3 1 1 1 1 1

3

解析:

Tr + 1 = C r 10 ·(

3

x )10 - r·( -

2 x 1 r r 10-2r ) ·C10·x . 2 3 ∴当 r=2,5,8,共 3 项. 答案: 3

1 r 10-r r r r ) = ( - ) ·C 10 ·x ·x - = ( - 2 3 3 3 1

14 . 若 (2x - 3) = a0 + a1(x - 1) + a2(x - 1) + ? + a6(x - 1) , 则 a1 + a3 + a5 = ____________. 解析: 令 x=2 得 1 =a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6① 令 x=0 得 (-3) =a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6② ①-②得 1-3 =2(a1+a3+a5), 1-3 ∴a1+a3+a5= =-364. 2 答案: -364 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 15. (本小题满分 12 分)某单位职工义务献血, 在体检合格的人中, O 型血的共有 28 人,
6 6 6 6

6

2

6

A 型血的共有 7 人,B 型血的共有 9 人,AB 型血的有 3 人.
(1)从中任选 1 人去献血,有多少种不同的选法? (2)从四种血型的人中各选 1 人去献血,有多少种不同的选法? 解析: 从 O 型血的人中选 1 人有 28 种不同的选法,从 A 型血的人中选 1 人有 7 种不 同的选法,从 B 型血的人中选 1 人有 9 种不同的选法,从 AB 型血的人中选 1 人有 3 种不同 的选法. (1)任选 1 人去献血,即无论选哪种血型的哪一个人,这件“任选 1 人去献血”的事情 都能完成,所以由分类加法计数原理,共有 28+7+9+3=47 种不同的选法. (2)要从四种血型的人中各选 1 人,即要在每种血型的人中依次选出 1 人后,这种“各 选 1 人去献血”的事情才完成,所以用分步乘法计数原理,共有 28×7×9×3=5 292 种不 同的选法. 16.(本小题满分 12 分)把 4 个男学生和 4 个女学生平均分成 4 组,到 4 辆公共汽车里 参加售票体验活动,且把同样两人在不同汽车上服务算作不同情况. (1)有几种不同的分配方法? (2)男学生与女学生分别分组,有几种不同的分配方法? (3)每个小组必须是一个男学生和一个女学生,有几种不同的分配方法?
4

解析: (1)男女合一起共 8 人,每车 2 人,可分四步完成,第一辆车有 C8种,第二辆 车有 C6种,第三辆车有 C4种,第四辆车有 C2种,共有不同的分法 C8C6C4C2=2 520(种). C4 C4 (2)男女分别分组,4 个男的平均分成两组共有 =3(种),4 个女的分成两组也有 = 2 2 3(种),故分组方法共有 3×3=9(种),对于每一种分法上 4 辆车,又有 A4种上法,因而不 同的分配方法为 9·A4=216(种).(3)要求男女各 1 个,因此先把男学生安排上车共有 A4种 方法,同理,女学生也有 A4种方法,男女各 1 人上车的不同分配方法为 A4A4=576(种). 17.(本小题满分 12 分)若(3x-1) =a7x +a6x +?+a1x+a0, 求(1)a1+a2+?+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6. 解析: (1)令 x=0,则 a0=-1, 令 x=1,则 a7+a6+?+a1+a0=2 =128 ∴a1+a2+?+a7=129. (2)令 x=-1,则-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0 =(-4) 由
7 7 7 7 6 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2





①-② 1 7 得:a1+a3+a5+a7= [128-(-4) ]=8 256. 2 2

①+② (3)由 得:a0+a2+a4+a6 2 1 = [(a7+a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0)+(-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0)] 2 1 7 = [128+(-4) ]=-8 128. 2 1 n 18.(本小题满分 14 分)已知( +2x) . 2 (1)若展开式中第 5 项、第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式 系数最大的项的系数; (2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项. 解析: (1)因为 Cn+Cn=2Cn,所以 n -21n+98=0. 解得 n=7 或 n=14. 当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5. 35 3 1 4 3 所以 T4 的系数=C7( ) ×2 = , 2 2
3 4 T5 的系数=C4 7( ) ×2 =70. 4 6 5 2

1 2

5

当 n=14 时,展开式中二项式系数最大的项是 T8.
7 1 7 7 所以 T8 的系数=C14( ) ×2 =3432. 2

(2)因为 Cn+Cn+Cn=79,所以 n=12 或 n=-13(舍去). 设 Tk+1 项的系数最大. 1 1 12 12 12 因为( +2x) =( ) (1+4x) , 2 2
? ?C124 ≥C12 4 , ? k k k+1 k+1 ?C124 ≥C12 4 , ?
k k k-1 k-1

0

1

2

所以 9.4≤k≤10.4.

又因为 0≤k≤12 且 k∈N, 所以 k=10.所以展开式中系数最大的项为 T11.
10 10 10 T11=( )12C10 124 x =16 896x .)

1 2

6


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